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1、第一二章时间序列分析本讲稿第一页，共五十五页第一节第一节 时间序列分析的一般问题时间序列分析的一般问题时间序列的含义时间序列是指被观察到的以时间为序排列的数据序列。时间序列可以以表格的形式或图形的形式表现。例：本讲稿第二页，共五十五页上海180指数某时间段的变化本讲稿第三页，共五十五页国际航运乘客资料（单位：千人）本讲稿第四页，共五十五页19461970美国各季生产者耐用品支出（单位：十亿美元）本讲稿第五页，共五十五页1952年1994年我国社会消费品零售总额（单位：亿元）本讲稿第六页，共五十五页时间序列分析的目的：(1)预测序列未来的发展方向。(2)分析序列的基本趋势、季节和随机项的构成。(
2、3)分析待定的数据集合、模拟理论模型，尤其是建立数学模型，进而进行模型的结构分析和实证研究。本讲稿第七页，共五十五页4.按序列的分布规律来分：高斯型时间序列和非高斯型时间序列。时间序列的主要分类：1.按所研究的对象的多少分：一元时间序列和多元时间序列。2.按时间的连续性分：离散时间序列和连续时间序列。3.按序列的统计特性分：平稳时间序列和非平稳时间序列。本讲稿第八页，共五十五页第二节第二节 时间序列的建立时间序列的建立我们把获取时间序列以及对其进行检查、整理和预处理等工作，称为时间序列的建立。本讲稿第九页，共五十五页时间序列数据的采集相应于时间的连续性，系统在不同的时刻上的响应常常是时间t的连
3、续函数。为了数字计算处理上的方便，往往只按照一定的时间间隔对所研究系统的响应进行记录和观察，我们称之为采样。相应地把记录和观察时间间隔称为采样间隔。通常采样采用等间隔采样。本讲稿第十页，共五十五页离群点（Outlier）离群点（Outlier）是指一个时间序列中，远离序列一般水平的极端大值和极端小值。对时间序列离群点分析的方法，有时也被称作稳健估计（RobustEstimation），该方法最早由Box和Anderson于1955年提出。本讲稿第十一页，共五十五页1.离群点（Outlier）产生的原因：（1）采样误差；（2）系统各种偶然非正常因素影响。2.离群点的数理描述：(1)它们是既定分布
4、中的极端点（extemepoint），它们虽与数据主体来自同一分布，但本身应以极小的概率出现；(2)这种点与数据集的主体并非采自同一分布，而是在采集数据过程中受到其他分布的“污染”，致使现有数据集掺入不应有的“杂质”。本讲稿第十二页，共五十五页3.离群点（Outlier）的类型：（1）加性离群点（AdditiveOutlier），造成这种离群点的干扰，只影响该干扰发生的那一个时刻T上的序列值，而不影响该时刻以后的序列值。（2）更新离群点（InnovationalOutlier），造成离群点的干扰不仅作用于XT，而且影响T时刻以后序列的所有观察值。本讲稿第十三页，共五十五页（3）水 平 移 位
5、离 群 点（Level ShiftOutlier）,造成这种离群点的干扰是在某一时刻T，系统的结构发生了变化，并持续影响T时刻以后的所有行为，在数列上往往表现出T时刻前后的序列均值发生水平位移。（4）暂时变更离群点(TemporaryChangeOutlier),造成这种离群点的干扰是在T时刻干扰发生时具有一定初始效应，以后随时间根据衰减因子的大小呈指数衰减。（请大家观看四种离群点的演示试验）本讲稿第十四页，共五十五页（1）直接进行剔除；（2）对数据模型进行修正处理分析。4.离群点（Outlier）的处理方法：本讲稿第十五页，共五十五页缺损值（Missingvalue）的补足依据系统运动轨迹或
6、变化趋势，运用一定的方法对缺损值进行估计、推测，以补足缺损的数值。本讲稿第十六页，共五十五页第三节第三节 确定性时序分析方法概述确定性时序分析方法概述一个时间序列往往是以下几类变化形式的叠加或耦合：长期趋势变动（T）季节变动（S）循环变动（C）不规则变动（R）本讲稿第十七页，共五十五页常见的确定性时间序列模型：()混合模型()加法模型()乘法模型本讲稿第十八页，共五十五页确定性时序分析方法：1.移动平均法 设观测序列为,正整数NT。一次移动平均值计算公式为：本讲稿第十九页，共五十五页二次移动平均值计算公式为：本讲稿第二十页，共五十五页移动平均模型的特点：(1)等加权；(2)与RandomWal
7、k相比，对反转的反应滞后，平均滞后(N+1)/2期；(3)无现成统计理论用于预测区间的推导，要根据样本的数据计算标准差做经验估计。移动平均模型在数据处理中常用作预处理，用于消除周期波动（取N为周期长度）和减弱随机干扰的影响。本讲稿第二十一页，共五十五页2.指数平滑法,为加权系数，01，设观测序列p次指数平滑公式为：一次指数平滑公式为：二次指数平滑公式为：本讲稿第二十二页，共五十五页一次指数平滑模型（SimpleExponentialSmoothing,SES）的特点：非等加权，距离越近权数越大；平滑指数为连续变量，可以通过最小均方误（meansquarederror）计算出最最佳的平滑系数；对
8、反转平均滞后1/；预测区间比RandomWalk窄；ARIMA模型的特例，ARIMA(0,1,1),MA的系数为1-。本讲稿第二十三页，共五十五页二次指数平滑模型（Linear(double)ExponentialSmoothing,LES）常用于含线性趋势数据;三次指数平滑模型（Quadratic(triple)SmoothingModle）常用于含曲线趋势的数据。本讲稿第二十四页，共五十五页3.时间回归法(1)线性方程:(2)二次曲线：(3)指数曲线：(4)修正指数曲线：本讲稿第二十五页，共五十五页(5)Gompertz（龚帕兹）曲线：(6)Logistic（逻辑斯谛）曲线：(7)振动曲线
9、：f(t)为多项式（请同学们看一个实例）本讲稿第二十六页，共五十五页4.季节周期预测法(1)乘法型季节模型(2)加法型季节模型本讲稿第二十七页，共五十五页第四节 随机时间序列分析的几个基本概念随机过程(StochasticProcess)随机过程是一簇随机变量Xt,tT，其中T表示时间t的变动范围，对每个固定的时刻t而言，Xt是一普通的随机变量，这些随机变量的全体就构成一个随机过程。当t=0,1,2,时，即时刻t只取整数时，随机过程Xt,tT可写成如下形式，Xt,t=0,1,2,。此类随机过程Xt是离散时间t的随机函数，称它为随机序列或时间序列。对于一个连续时间的随机过程的等间隔采样序列，即X
10、t,t=0,1,2,就是一个离散随机序列。本讲稿第二十八页，共五十五页时间序列的概率分布和数值特征1.时间序列的概率分布 一个时间序列的概率分布可以用它有限维分布簇来描述时间序列所有的一维分布是：，F-1()，F0()，F1(),所有二维分布是：Fij(，)，i，j=0,1,2,(ij)一个时间序列的所有有限维分布簇的全体，称为该序列的有限维分布簇。本讲稿第二十九页，共五十五页2.时间序列的均值函数一个时间序列的均值函数是指：其中：EXt表示在t固定时对随机变量Xt的求均值，它只一维分布簇中的分布函数Ft()有关。本讲稿第三十页，共五十五页3.时间序列的协方差函数与自相关函数协方差函数：其中F
11、t,s(X,Y)为（Xt，Xs）的二维联合分布。自相关函数：本讲稿第三十一页，共五十五页时间序列的自协方差函数有以下性质：对称性：非负定性：为对称非负定矩阵。自相关函数同样也具有上述性质且有(t,t)=1。对任意正整数m和任意m个整数k1,k2,km，方阵本讲稿第三十二页，共五十五页平稳随机过程严平稳：如果对于时间t的任意n个值和任意实数，随机过程的n维分布满足关系式：则称为严平稳过程。本讲稿第三十三页，共五十五页宽平稳：若随机过程的均值（一阶矩）和协方差存在，且满足则称为宽平稳随机过程。本讲稿第三十四页，共五十五页严平稳与宽平稳的关系：1.严平稳不等于宽平稳；2.宽平稳不等于严平稳；3.对于
12、严平稳序列，如果其二阶距存在，其必为宽平稳，反之则一般不成立；4.对于高斯序列，严平稳与宽平稳是等价的。本讲稿第三十五页，共五十五页平稳时间序列自协方差函数和自相关函数设平稳时间序列的均值为零，即。自协方差函数：自相关函数：本讲稿第三十六页，共五十五页平稳序列的自协方差函数有以下性质：对称性：非负定性：为非负定矩阵。自相关函数同样也具有上述性质。m阶自协方差阵有界性：本讲稿第三十七页，共五十五页平稳序列的样本统计量样本均值：时间序列无法获得多重实现，常用时间均值代替总体均值。上式的估计是无偏的。本讲稿第三十八页，共五十五页样本自协方差函数第一式是有偏估计，第二式是无偏估计，但有效性不如第一式。
13、本讲稿第三十九页，共五十五页几类特殊的随机过程（序列）：1.纯随机过程：随机过程如果是由一个不相关的随机变量的序列构成的，则称其为纯随机过程。2.白噪声序列（Whitenoise）：如果时间序列满足以下性质：（1）（2）式中，当ts时，简称白噪声。称此序列为白噪声序列，本讲稿第四十页，共五十五页3.独立同分布序列：如果时间序列中的随机变量Xt,t=0,1,2,为相互独立的随机变量，而且具有相同的分布，称这样的时间序列为独立同分布序列。4.二阶矩过程：若随机过程对每个 二阶矩过程。的均值和方差存在，则称之为5.正态过程：若正态分布，则称的有限维分布都是为正态随机过程。本讲稿第四十一页，共五十五页
14、第二章第二章 平稳时间序列模型平稳时间序列模型(单变量）单变量）选择单变量时间序列的原因一是对相关序列间的可能关系还缺乏可靠的先验信息。单变量时间序列建模是一个有用的简化手段，并可以进行有效的短期预测；例如例如，金融市场里面的股票走势、利率变化等等。金融市场里面的股票走势、利率变化等等。随机时间序列分析模型，就是要通过序列过去的变化特征随机时间序列分析模型，就是要通过序列过去的变化特征来预测未来的变化趋势来预测未来的变化趋势。本讲稿第四十二页，共五十五页二是如果有关经济结构的理论已相当成熟，则这个结构的某种表现将是对该结构中的每个内生变量都给出一个与单变量模型方程相同的方程形式。例如，例如，对
15、于如下最简单的宏观经济模型：这里，Ct、It、Yt分别表示消费、投资与国民收入。Ct与与Yt作作为为内内生生变变量量，它它们们的的运运动动是是由由作作为为外外生生变变量量的投资的投资It的运动及随机扰动项的运动及随机扰动项 t的变化决定的。的变化决定的。tttCYCaaaa+=-12110本讲稿第四十三页，共五十五页上述模型可作变形如下：两个方程等式右边除去第一项外的剩余部分可看成一个综合性的随机扰动项，其特征依赖于投资项It的行为。如如果果It是是一一个个白白噪噪声声，则消费序列Ct就成为一个1阶阶自自回回归归过过程程AR(1)，而收入序列Yt就成为一个(1,1)阶阶的自回归移动平均过程的自
16、回归移动平均过程ARMA(1,1)。ttttICCaaaaaaaa1111011211111-+-+-+-=-tttttIIYYaaaaaaaaa11121101121111111-+-+-+-=-本讲稿第四十四页，共五十五页第一节自回归模型一阶自回归模型AR(1)其中Xt零均值平稳序列，t为随机扰动。AR(1)的特点：Xt对Xt-1有线性相关关系t为独立正态同分布序列本讲稿第四十五页，共五十五页AR（1）与普通一元线性回归一元线性回归一阶自回归两个变量，Y为随机变量，X为确定性变量；一个变量，为随机变量；为白噪声序列，还可假定 为正态分布。本讲稿第四十六页，共五十五页随机游动模型模型的特性：
17、系统具有极强的一期记忆性；在t-1时刻，系统的一步超前预测可表示成无限独立随机变量和的形式：本讲稿第四十七页，共五十五页一般自回归模型AR(n)其中：为白噪声，本讲稿第四十八页，共五十五页第二节第二节 移动平均模型移动平均模型一阶移动平均模型MA（1）其中：为白噪声。MA(1)模型的基本假设为：(1)Xt仅与其前一时刻进入系统的扰动t-1有一定的依存关系；(2)t为白噪声。本讲稿第四十九页，共五十五页一般移动平均模型MA(m)其中：（1）Xt仅与有关，而与（j=m+1,m+2,）无关；(2)t为白噪声。本讲稿第五十页，共五十五页AR模型和MA模型的比较：AR模型可以写成无穷阶MA模型的形式，体
18、现出AR模型对随机干扰的长效记忆性。对于不同系数的AR(n)序列，受到随机干扰后变化方向是不同的，对于不同系数的MA(m)序列，随机冲击并不改变其变化方向，也就是说随机冲击对于MA模型来说并不是一个“严重问题”。本讲稿第五十一页，共五十五页第三节第三节 自回归移动平均自回归移动平均(ARMA)模型模型ARMA(n,m)模型模型其假设条件与其假设条件与AR模型相同模型相同本讲稿第五十二页，共五十五页补充练习学会EVIEWS软件的基本操作，结合本章所学的的模型，练习用软件模拟相关模型。本讲稿第五十三页，共五十五页本讲稿第五十四页，共五十五页时间序列分析主讲教师李志强山东工商学院统计学专业本讲稿第五十五页，共五十五页