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1、高数例题第六章定积分的应用第1页，此课件共37页哦三.用定积分来表达的量 应具备的条件1.是与一个变量 的变化区间 有关的量。2.量 对于区间 具有数量的可 加性。3.部分量 的近似值可表示为 ,其中 上已知 的连续函数。第2页，此课件共37页哦四、求 的定积分表达式的步骤（元素法）1.选取适当的积分变量,并确定它的变化区 间 。2.求出相应于 上的任意一个小区间 上的部分量 的近似值称为量 的元素,记作 即3.以量 的元素 为被积表达式,在 上做定积分,得 ,这就是所求量 的积分表达式,这种方法称作定积分的元素法(微元法)，称为所求量 的元素。第3页，此课件共37页哦例1计算由两条拋物线 所
2、围成的图形的面积。第4页，此课件共37页哦 6-2定积分在几何学上的应用一、平面图形的面积1、直角坐标情形例1计算抛物线 与直线 所围成的图形的面积。第5页，此课件共37页哦例2曲线 轴所围图形面积，用定积分可表示 为 。第6页，此课件共37页哦例3设 ，问 取何值时,图中阴影部分的面积 之和最小？第7页，此课件共37页哦例4.求椭圆 所围成的图形的面积。第8页，此课件共37页哦2、极坐标情形(一)曲边扇形的面积 如图曲边扇形由 及射线 围成，在 上连续,且 ,则曲边扇形的面积为 第9页，此课件共37页哦例5计算阿基米德螺线 上相应于 从0变到 的一段弧与极轴所围成的图形的面积。第10页，此课
3、件共37页哦例6 计算心形线所围成的图形的面积。第11页，此课件共37页哦 4、几种特殊曲线的图形 4其它各种曲线图形见教材。第12页，此课件共37页哦例7.双纽线 所围成的区域面积可用定积分表示为().A.B.C.D.第13页，此课件共37页哦例8.求由曲线直线 及 所围成的图形的面积。第14页，此课件共37页哦二、体积(一)旋转体的体积1、定义：旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体,这直线叫做旋转轴。2、体积的求法(1)由连续曲线 所围成的曲边梯形绕 轴旋转一周而成的旋转体的体积。第15页，此课件共37页哦例9连结坐标原点 及点 的直线，直线及 轴围成一个直角三角形
4、，将它绕轴旋转构成一个底半径为 ，高为的圆锥体，计算这圆锥体的体积。第16页，此课件共37页哦例10.计算由椭圆 所围成的图形绕 轴旋转而成的旋转体(叫做旋转椭球体)的体积 第17页，此课件共37页哦(2)由连续曲线 ，直线 轴所围成的曲边梯形,绕 轴旋转一周而成的旋转体的体积为：第18页，此课件共37页哦例11计算由摆线相应于 的一拱,直线所围成的图形分别绕轴、轴旋转而成的旋转体的体积。第19页，此课件共37页哦例12.设平面图形A由所确定的图形A绕直线旋转一周所得旋转体的体积。第20页，此课件共37页哦例13在椭圆 绕其长轴旋转成的椭球体上,沿长轴方向打一圆孔,使剩下部分的体积恰好等于椭球
5、体体积的一半,试求该圆孔的直径.第21页，此课件共37页哦(二)平行截面面积为已知的立体的体积 已知立体在过点 轴的两个平面之间，且垂直于轴的截面面积为 为连续函数，则第22页，此课件共37页哦例14.一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角 ,计算这平面截圆柱体所得立体的体积.第23页，此课件共37页哦例15求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为h的正劈锥体的体积。第24页，此课件共37页哦例16.证明由平面图形 绕 轴旋转所成的旋转体的体积为第25页，此课件共37页哦三、平面曲线的弧长(一)平面曲线弧长的概念1、定义：设A,B是曲线弧上的两个端点，在弧 上依次
6、任取分点 ，并依次连接相邻的分点得一折线，当分点的数目无限增加且每个小段 都缩向一点时,如果此折线的长的极限存在,则称此极限为曲线弧的弧长,并称此曲线弧 是可求长的。第26页，此课件共37页哦2、定理：光滑曲线弧是可求长的。(二)弧长的求法1、参数方程情形设曲线弧由参数方程给出,其中 在 上具有连续导数;且 不同时为零。则第27页，此课件共37页哦例17.计算摆线 的一拱 的长度。第28页，此课件共37页哦2、直角坐标情形 设曲线弧由直角坐标方程 给出 上具有一阶连续导数.则 第29页，此课件共37页哦 同样,若曲线弧的直角坐标方程为 在 上具有一阶连续导数第30页，此课件共37页哦例18.计
7、算曲线 上相应于 从 到 的一段弧的长度。第31页，此课件共37页哦 例20求曲线 的弧长。第32页，此课件共37页哦例21求曲线在 的全长第33页，此课件共37页哦3、极坐标情形 设曲线弧由极坐标方程 给出，其中 在 上具有连续导数.则 第34页，此课件共37页哦例21.求阿基米德螺线相应于从0到 一段的弧长.第35页，此课件共37页哦一、变力沿直线所做的功例1把一带电荷量+q的点电荷放在r轴上坐标原点O处，它产生一个电场，这个电场对周围的电荷有作用力，由物理学知道，如果有一个单位正电荷放在这个电场中，距离原点O为r的地方，那么电场对它的作用力的大小为，当这个单位正电荷在电场中从 处沿r轴移动到处时，计算电场力F对它所作的功。6-3定积分在物理学上的应用第36页，此课件共37页哦例2在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体,在等温条件下,由于气体的膨胀，把容器中的一个活塞（面积为 S）从点 处推移到点 b 处,计算在移动过程中气体压力所做的功。第37页，此课件共37页哦