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1、第4章 扩散方程的数值解法及其应用1本讲稿第一页，共三十页4.1 4.1 一维导热问题一维导热问题一、一维导热问题的通用控制方程一、一维导热问题的通用控制方程坐标系空间变量x面积因子A(x)直角x1圆柱rr球rr22本讲稿第二页，共三十页一、一维导热问题的通用控制方程（续）一、一维导热问题的通用控制方程（续）3本讲稿第三页，共三十页二、用控制容积积分法导出离散形式二、用控制容积积分法导出离散形式假设：（源项线性化）4本讲稿第四页，共三十页二、用控制容积积分法导出离散形式（续）二、用控制容积积分法导出离散形式（续）分段线性插值（中心差分）5本讲稿第五页，共三十页三、界面上当量导热系数的确定方法三
2、、界面上当量导热系数的确定方法根据界面上热流密度连续的原则：根据界面上当量导热系数的含义：调和平均法：6本讲稿第六页，共三十页三、界面上当量导热系数的确定方法（续）三、界面上当量导热系数的确定方法（续）算术平均法：调和平均法优于算术平均法。导热系数发生阶跃变化时的处理方法：(1)把阶跃面作为控制容积的分界面。(2)把阶跃面设置成一个节点的位置。（更准确）7本讲稿第七页，共三十页四、一维非稳态导热方程及其离散化四、一维非稳态导热方程及其离散化采用全隐格式离散：8本讲稿第八页，共三十页四、一维非稳态导热方程及其离散化（续）四、一维非稳态导热方程及其离散化（续）令：得：其中：9本讲稿第九页，共三十页
3、4.2 4.2 多维非稳态导热问题的全隐格式多维非稳态导热问题的全隐格式一、三种正交坐标系中的全隐离散方程(1)直角坐标系非稳态项：10本讲稿第十页，共三十页一、三种正交坐标系中的全隐离散方程（续）源项：扩散项：11本讲稿第十一页，共三十页一、三种正交坐标系中的全隐离散方程（续）整理得：其中：12本讲稿第十二页，共三十页一、三种正交坐标系中的全隐离散方程（续）(2)圆柱轴对称坐标系13本讲稿第十三页，共三十页一、三种正交坐标系中的全隐离散方程（续）(3)极坐标系14本讲稿第十四页，共三十页二、三种坐标系中全隐格式的通用离散形式三种坐标系的区别：x-y x-r q-r东西坐标 x x q 引入尺
4、度系数SX南北坐标 y r r 引入名义半径R通用离散形式：15本讲稿第十五页，共三十页二、三种坐标系中全隐格式的通用离散形式（续）16本讲稿第十六页，共三十页二、三种坐标系中全隐格式的通用离散形式（续）17本讲稿第十七页，共三十页4.3 4.3 源项及边界条件的处理源项及边界条件的处理一、非常数源项的线性化处理说明：1、当源项为未知量的函数时，线性化处理比假定为常数更合理。2、线性化处理是建立代数方程所必须的。3、为了保证代数方程迭代求解收敛，要求SP0。4、SP绝对值的大小影响到迭代过程中温度的变化速度。18本讲稿第十八页，共三十页一、非常数源项的线性化处理（续）-举例19本讲稿第十九页，
5、共三十页二、边界条件的处理1、补充边界节点代数方程的方法第2类BC：内节点法Dx=0，得第3类BC：得：由控制容积平衡法导出离散方程物理意义明确。对于不规则区域，可用区域扩充法使之成为规则区域。20本讲稿第二十页，共三十页二、边界条件的处理（续）21本讲稿第二十一页，共三十页二、边界条件的处理（续）2、附加源项法P点的通用方程：22本讲稿第二十二页，共三十页二、边界条件的处理（续）第3类BC：23本讲稿第二十三页，共三十页二、边界条件的处理（续）附加源项法的实施步骤：(1)计算与边界相邻的内部节点控制容积的附加源项SC,ad及SP,ad，并将它们分别加入到该控制容积原有的SC，SP中去。(2)
6、令该边界上节点的导热系数lB=0，以使aW=0。(3)按常规方法建立起内节点的离散方程，并在内节点的范围内求解代数方程组。(4)获得收敛的解以后按Fourier导热定律或Newton冷却公式解出未知的边界温度。24本讲稿第二十四页，共三十页二、边界条件的处理（续）3、两种处理方法的比较附加源项法优于补充节点方程法 (1)有利于用统一模式来处理三种边界条件。(2)可以缩小计算区域。(3)节省计算时间。25本讲稿第二十五页，共三十页4.4 4.4 求解离散方程的三对角阵算法求解离散方程的三对角阵算法及交替方向隐式算法及交替方向隐式算法一、三对角阵算法（TDMA）Thomas算法将：消元与回代写成：
7、目的：26本讲稿第二十六页，共三十页一、三对角阵算法（续）先求P1，Q1：27本讲稿第二十七页，共三十页一、三对角阵算法（续）第1类边界条件下TDMA实施i=1：由于T1已知，应取P1=0，Q1=T1依此可以求得P、Q TM1已知求解步骤：(1)消元过程从i=2开始，取P1=0，Q1=T1 (2)回代过程从i=M2开始，28本讲稿第二十八页，共三十页一、三对角阵算法（续）0029本讲稿第二十九页，共三十页二、交替方向隐式算法Peaceman-Rachford ADI格式非稳态问题交替方向隐式算法(Implicit)与 ADI稳态非线性问题交替方向迭代法(Iteration)在本质上是一致的。30本讲稿第三十页，共三十页