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1、3.2 排队论在电话网中的应用 n 一方面由于通信网中信息流是随机的，另一方面，出于成本效益的考虑，网络中的公共资源有限的，所以发生排队现象是不可避免的。本节讨论电话网中的一些情况。n在通信的话务工程中，业务量是指在指定的时间内线路被占用的总时间。n业务量的单位为时间，例如秒。n了解一个地区的呼叫量时非常重要的，它对网络设计有很大的影响，而在电信网建成之后，测试呼叫量也是重要的日常工作，其统计数据可为管理网络和优化网络运行提供背景资料。n为了将排队论又用于电话网，用Poisson过程模拟电话呼叫的到达，这在用户数较多，并且无大量重复呼叫时，效果良好；并且假设电话呼叫持续时间为负指数分布，此时的
2、服务员数为信道数或中继数。n设每秒到达的呼叫数为，而平均服务持续时间为-1，记a=/，在通信工程中，常将它称为呼叫量，单位为erl。下面的例子解释它的合理性。n例3.2 求M/M/的稳态分布和平均队长。n状态转移图为：n队长分布是一个Poisson分布.n系统中的平均顾客数为：n而a也是平均占用服务台的数目，这也正好指明了a的单位应为erl。同时，若想真实地测定一个地区的呼叫量，信道数应该比较大才能准确。同时这个例说明对于M/M/系统，到达顾客流为Poisson过程时，系统中的的队长为Poisson分布，这个结果在分析溢出话务流的特征时有应用。n 在实际的电话网中,表明电话网质量的主要指标为呼
3、损。在工程中定义为：n n经过以上的讨论，我们用M/M/m(m)模型来拟合电话网中的交换机，其中m为中继线，记n那么 n这是著名的Erlang公式，它表明了系统中的中继线全满的概率，也称为阻塞率。因为在阻塞期间也未必有顾客的到来，所以有：。但一般二者差别不大，常混用（应用背景不一样）。n由前面排队论的知识知道，呼叫量a被拒绝的概率为 ，从而系统的通过量为：。它也是m条线路被占用的平均数，从而线路利用率 。n当一个电话呼叫要经过k次转接时，若每段上的呼损为 （i=1,2,k）那么近似计算总呼损为 。n这个关系只有在各段之间业务量完全独立时才成立，在一般情况下是不满足的。在讨论干线网时，由于业务量
4、的巨大汇集，业务量独立的假设近似得到满足，这个近似公式更加准确。n下面讨论一下全网平均呼损的计算。在上面讨论了端对端呼损的计算基础上，可以计算网络的平均呼损。n如果网络用图G=(V,E)表示，ai,j表示端i和端j之间的话务量，ci,j表示端i和端j之间的呼损，那么全网平均呼损如下计算：n网络平均呼损的结果取决于许多因素，如网络拓扑结构、网络的容量配置、网络业务的路由规划等。网络平均呼损是电话网络优化的重要指标。n下面将要讨论一下集中的好处。n例3.3：若呼损为2%,请计算30个信道能满足多少业务量；而若将30个信道化为3组又如何？n解：通过计算或查表，对30各信道，业务量为a=21.9erl
5、；n而对于10个信道,=5.08erl.n因为 与a有较大的差距，故集中能带来很大的好处。n换一种方式说明,如果呼损为10%,看看对不同的话务量需要多少中继线?n如果 a=1,m=3,=31%;n如果 a=10,m=13,=70.5%;n如果 a=100,m=96,=94%;说明的问题是一样的。n例3.3说明业务越集中中继线效率越好，现在的电信网的发展也正顺应这个趋势。n有许多应用问题，不能简单应用Erlang 公式。若是M/M问题，可以列出状态转移图，建立状态方程并利用归一条件求解。下面的例子说明了这种方法。n例3.4：有限用户即时拒绝系统()n定义状态变量为队长k。n模型：非纯 M/M/m
6、(n)问题。状态转移图如下：求解：求解：令令递推：递推：.归一求：归一求：时间阻塞率时间阻塞率 呼损呼损 以以为例为例代入得代入得当当时亦可得时亦可得可见：可见：N时时实际中可取实际中可取N5m即可近似即可近似 例例3.5：主备线即时拒绝系统：主备线即时拒绝系统二种输出线路二种输出线路 A：主用线主用线 B：备用线（备用线（A溢出时使用溢出时使用B）目标与假设：目标与假设：0表示空闲，表示空闲，1表示占用表示占用x表示表示a线，线，y表示表示b线线定义状态集合定义状态集合:(x，y）=00，01，10，11状态转移图和方程状态转移图和方程:（1）（2）（3）（4）令令解得解得:呼损呼损系统利用
7、率系统利用率:此时利用率同此时利用率同M/M/2(2)例例3.6公用备线即时拒绝系统公用备线即时拒绝系统 如图如图,A,B公用一条备线公用一条备线 状态为三维矢量状态为三维矢量(x,y,z),分别表示三线的空闲状况分别表示三线的空闲状况状态图状态图:状态方程状态方程:归一化条件归一化条件:令令解得解得:A路呼损，路呼损，B路呼损，路呼损，在在，条件下，二者相等：条件下，二者相等：其中其中公用备线与两个主备系统的比较公用备线与两个主备系统的比较右图省一条备用线，今讨论省此线对呼损的右图省一条备用线，今讨论省此线对呼损的影响，取影响，取A路呼损。路呼损。左图左图右图右图当当0：s=0，r0:r0，
8、s0：r=s=0：归一化：归一化：下面解一种特例：下面解一种特例：A队队优先，不拒绝优先，不拒绝B队队非非优优先先,即即时时拒拒绝绝或或B队队顾顾客客见见线线空空才才用用稳态方程稳态方程:(3)为一维差分方程为一维差分方程,通解形式通解形式线路空闲率和通解：线路空闲率和通解：效率效率M/M/1中中 此例中此例中()效率有所增加效率有所增加，但加大优先队等待时间；，但加大优先队等待时间；(若若,=,标准标准M/M/1解解)二者之比二者之比:呼损呼损:A队队:不拒绝不拒绝,无呼损无呼损,B队队:即时拒绝。即时拒绝。n在例3.4中，输出线C承担的是A和B的溢出话务量之和，其概率特征较为复杂，可以计算
9、溢出话务量的期望值和方差。现将结果陈述如下：呼叫量a由m条中继线承载，溢出话务量的均值为：n由于均值和方差不等，溢出话务量肯定不是Poisson流，虽然溢出话务量的特征复杂，但对它的研究是很有必要的。这是因为：电话呼叫一般不是唯一路由的。n唯一路由管理简单，但网络利用率不高，可靠性也不好；故而两个城市之间的电话呼叫一般均有第一路由，第二路由等等。这样，在许多中继群上承载的第二路由业务就是第一路由业务量的溢出部分。一般看来，中继路由上的呼叫量是直达话务量和溢出话务量之和，虽然不再是Poisson流，为了简单起见，我们仍用Poisson流来近似分析。下面例3.5表明备用路由能很好地改善网络性能。n
10、例3.8 网络由3个节点组成，每对节点之间的中继线数目和呼叫量均已确定，如图所示：n路由表为：n 第一路由 第一路由na12 (1,2)(1,3),(3,2)na13 (1,3)(1,2),(2,3)na23 (2,3)(2,1),(1,3)n假设Aij是链路（i,j）承载的业务量之和，则链路（i,j）的阻塞率为：n计算的方法遵照后面的说明，具体过程不再演算，经过迭代，最后得到：n而如果没有迂回路由的话；n注意，电话网提供的质量应该是一致的，从而应比较阻塞率的最大值和平均值这两个指标。前例采用备用路由最大阻塞率略有下降，但在大和复杂的网络中，效果会明显很多。当然这是用网络控制复杂为代价，综合利
11、用网络资源得到的。在4中的一个例子，一个4端点的全连接网络，每边的容量为2，每对节点之间的呼叫量为1erl，有两个备用路由。全网平均呼损由0.2下降到0.134,效果比较明显.n下面将上面的例一般化说明方法，为了简单起见,网络结构是三角形，路由也有两种选择：直达和迂回。Bi,j表示边(i,j)阻塞率，pi,j表示端对端呼损，ai,j表示端对端话务量，Ai,j表示边(i,j)承载的话务量，mi,j表示边(i,j)的容量。下面来计算网络的平均呼损：n首先，考虑边承载的话务量的计算n可以迭代求方程组中的边阻塞率Bi,j，然后根据下面的公式计算端对端呼损pi,j，n最后可以计算网络的平均呼损:n最后，当网络较大时，计算量较大，可以用计算机迭代求解；同时应该能够看出，不同的路由规划会有不同的网络平均呼损。