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1、信息安全数学基础环和域基础知识第1页，此课件共48页哦环的定义环(Ring):一个非空集合S上有两种运算：加法“+”和乘法“”，如果这两种运算满足以下性质，就称为环：1.(R,+)是一个交换群，加法单位元记为0（称为零元）；2.R关于乘法“”满足结合律:(ab)c=a(bc),并有单位元,记为1；3.分配律成立:(a+b)c=ac+bc,c(a+b)=ca+cb.4.注：0是抽象的写法，不同于整数中的0.5.“+”和“”是抽象的运算第2页，此课件共48页哦环的例子（1）在通常的加法和乘法运算下，Z,Q,R 和 C都是环，加法单位元为0，乘法单位元为1。第3页，此课件共48页哦环的例子（2）对任
2、意n0，在模n加法和模n乘法下，Zn是一个环。加法单位元为0，乘法单位元为1。第4页，此课件共48页哦环的例子(3)多项式环 Zx第5页，此课件共48页哦环中的零元对于环中的任意元素a,都有0a=a0=0一般地，0与1不相等，否则1a=a,而0a=0，这表明环中只有一个元素，平凡情形，一般不考虑所以0关于乘法没有可逆元第6页，此课件共48页哦环的几个性质设R是一个环,a,b R,有:a(-b)=(-a)b=-(ab)(-a)(-b)=ab 第7页，此课件共48页哦交换环 类似于交换群的定义，如果一个环关于乘 法运算具有可交换性，就称它为交换环。第8页，此课件共48页哦无零因子环设R是一个环,如
3、果存在a,bR,a0,b0,但ab=0,那么称R是有零因子环,否则称R是无零因子环.ab=0 a=0或b=0.第9页，此课件共48页哦无零因子环的性质性质1.设R是无零因子环,那么1.若a0,ab=ac,则b=c;2.若a0,ba=ca,则b=c.性质2.设R是无零因子环,那么R中非零元的加法阶相等,或者为,或者为素数.第10页，此课件共48页哦子环、理想和商环第11页，此课件共48页哦子环(subring)设R是一个环,S是R的非空子集,如果S关于R的运算也构成环,则称S是R的子环.第12页，此课件共48页哦理想(Ideal)设R是一个环,I是R的一个子环,如果a I,rR,有ra R,ar
4、 R,则称I是R的一个理想.第13页，此课件共48页哦理想的例子Fx为数域F上的一元多项式环,I=a1x+a2x2+anxn|aiF,n N,即I是由所有常数项为0的多项式构成的集合,则I是Fx的理想.第14页，此课件共48页哦主理想由R中一个元素a生成的理想称为主理想.第15页，此课件共48页哦商环设I是环R的理想,在加法商群R/I上定义如下乘法 (x+I)(y+I)=(x+y)+I 则R/I关于加法和乘法构成一个环.第16页，此课件共48页哦环同态设R和R是两个环,f是R到R的一个映射,如果a,bR,均有 f(a+b)=f(a)+f(b),f(ab)=f(a)f(b),那么称f是R到R的环
5、同态映射.如果f是满射,那么称R和R同态;如果f是双射,那么称R和R同构.类似的有环同态基本定理第17页，此课件共48页哦概念的类比群群环环正规子群理想循环群主理想商群商环第18页，此课件共48页哦域的定义 域(Field)非空集合F，若F中定义了加和乘两种运算，且满足：n1)F关于加法构成阿贝尔群，加法恒等元记为0n2)F中所有非零元素对乘法构成阿贝尔群，乘法恒等元记为1n3)加法和乘法之间满足分配律则F与这两种运算构成域每一个非零元都是可逆元的有单位元的交换环如实数域复数域有理数域第19页，此课件共48页哦域的例子（1）在通常的加法和乘法运算下，Q,R 和 C 都是域。第20页，此课件共4
6、8页哦域的例子（2）令p是一个素数，在模p加法和模p乘法 运算下，Zp是一个域.也记为Fp或者GF(p).第21页，此课件共48页哦 注意：整数环Z不是域；当n是合数时，Zn不是域。有限群、子群、商群和群的阶的概念可 以直接推广到环和域中。第22页，此课件共48页哦域的特征F是域，其特征char(F)定义为单位元1的加法阶,即使得 的最小自然数n，如果不存在这样的自然数，那么记char(F)=.性质：性质：如果char(F)有限，那么一定是素数.第23页，此课件共48页哦域的例子（3）第24页，此课件共48页哦构造方法 域上的多项式环不可约多项式第25页，此课件共48页哦利用不可约多项式构造有
7、限域Z ZpFx Fx/f(x)Fp=Zpp为素数F为p阶有限域f 为n次不可约多项式Fx/f(x)为pn阶有限域第26页，此课件共48页哦域上的多项式的带余除法 设F是一个域，f,g是Fx中的两个多项式，且g不为0，类似于整数的除法：f=gq+r，其中，q,r是Fx中的两个多项式，且deg(r)deg(g).第27页，此课件共48页哦带余除法的例子 f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1F2x g(x)=x3+x+1F2x q=x2+x,r=x2+1第28页，此课件共48页哦不可约多项式 定义定义:设F是一个域，f(x)Fx,f(x)的次数为正数，若f(x)=g(x)h(x)，其中f(x)
8、,h(x)Fx,则g(x)和h(x)中必有一个为常数多项式,那么称f(x)是不可约的.第29页，此课件共48页哦 注意：多项式的可约性依赖于该多项式定义在什么样的代数结构上.一个多项式在一种代数结构上不可约，但可能在另一种代数结构上就是可约的.第30页，此课件共48页哦例 对于二次多项式f(x)=x2-2x+2：.v（1）在复数域上可约；v（2）在实数域上不可约；v（3）在F3上不可约.第31页，此课件共48页哦利用不可约多项式构造域定义:Fx是域F上的多项式环,f,g,rFx,g0,满足f=gq+r,deg(r)deg(g),称r为f除以g的余式,记为rf(mod g).考虑Fx中所有多项式
9、模g(x)的余式,将这些集合称为Fx模g(x)的多项式,记为Fx/g(x).第32页，此课件共48页哦利用不可约多项式构造域 令F是一个域，f(x)是Fx中的一个非零多项式，那么Fx/f(x)是一个环，当且仅当 f(x)在F上不可约时，Fx/f(x)是一个域.第33页，此课件共48页哦 f(x)是Fx中的一个不可约多项式，当F是域时，Fx/f(x)是一个域.将f(x)称为域Fx/f(x)的定义多项式.第34页，此课件共48页哦定理 令F为含有p个元素的域，f(x)是F上的n次不可约多项式，那么域Fx/f(x)中元素的个数是pn.Fx/f(x)是Fx中所有次数小于deg(f)=n、系数取遍F中所
10、有p个元素的多项式全体构成的集合.共有pn个这样的多项式.第35页，此课件共48页哦 注意：在此定理中，并没有假设p是素数，事实上，F可以是任意域，称Fx/f(x)为由基域F通过域扩张得到的扩域.第36页，此课件共48页哦Pn 阶域的存在性Zp是阶为p的域；对任意的有限域F和任意的正整数n，Fx中一定存在n次不可约多项式.推论 对于每一个素数p和每一个正整数n，都存在一个阶为pn的有限域.第37页，此课件共48页哦域Fpx/f(x)中结构是很清楚的，它仅是所有次数小于n、系数在Fp的所有多项式的集合；在同构的意义下，这是唯一的阶为pn的有限域.第38页，此课件共48页哦第39页，此课件共48页
11、哦例：由GF(2)上的既约多项式p(x)=x4+x+1扩成GF(24)4 4位向量形式位向量形式 多项式形式多项式形式 生成元幂形式生成元幂形式 指数形式指数形式 0000 0 0 -0001 1 a0 0 0010 x a1 1 0100 x2 a2 2 1000 x3 a3 3 0011 x+1 a4 4 0110 x2+x a5 5 1100 x3+x2 a6 6第40页，此课件共48页哦4 4位向量形式位向量形式 多项式形式多项式形式 生成元幂形式生成元幂形式 指数形式指数形式 1011 x3+x+1 a7 7 0101 x2+1 a8 8 1010 x3+x a9 9 0100 x2
12、 a10 10 0111 x2+x+1 a11 11 1110 x3+x2+x a12 12 1111 x3+x2+x+1 a13 13 1101 x3+x2+1 a14 14 1001 x3+1 a15 15第41页，此课件共48页哦例子(1)实数域:R不可约多项式 f(x)=x2+1Rx/f(x)(ax+b)+(cx+d)=(a+c)x+(b+d)(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd =(ad+bc)x+(bd-ac)(mod f(x)第42页，此课件共48页哦Rx/f(x)Cax+b ai+b第43页，此课件共48页哦求逆 g(x)=ax+b(a0)第44页，此课件共48页哦例子(2)二元域F20+0=10+1=1 1+0=11+1=000=001=0 10=011=1不可约多项式f(x)=x8+x4+x3+x+1第45页，此课件共48页哦加法第46页，此课件共48页哦乘法第47页，此课件共48页哦求逆第48页，此课件共48页哦