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1、一、相似矩阵与相似变换的概念第1页/共23页1.等价关系等价关系二、相似矩阵与相似变换的性质第2页/共23页定理定理1设设n阶方阵阶方阵A和和B相似，则有相似，则有（）（）（）（）A和和B的特征多项式相同，即的特征多项式相同，即注：以上结论其逆不一定成立注：以上结论其逆不一定成立第3页/共23页推论推论 若若 阶方阵阶方阵A A与对角阵与对角阵第4页/共23页相似，求相似，求x,y.第5页/共23页证明三、利用相似变换将方阵对角化第6页/共23页第7页/共23页命题得证命题得证.第8页/共23页说明说明 如果如果 阶矩阵阶矩阵 的的 个特征值互不相等，个特征值互不相等，则则 与对角阵相似即与对
2、角阵相似即 A A 一定可以对角化一定可以对角化推论如果 的特征方程有重根，此时不一定有 个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量，还是能对角化第9页/共23页例例2 2 判断下列实矩阵能否化为对角阵？判断下列实矩阵能否化为对角阵？解解第10页/共23页解之得基础解系第11页/共23页求得基础解系求得基础解系第12页/共23页解之得基础解系解之得基础解系故故 不能化为对角矩阵不能化为对角矩阵.第13页/共23页A能否对角化？若能对角能否对角化？若能对角例例3 3解解第14页/共23页解之得基础解系第15页/共23页所以 可对角化.第16页/共23页注意
3、注意即矩阵即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应要相互对应第17页/共23页四、小结相似矩阵相似矩阵 相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好的性质，除了课堂内介绍的以外，还有：的性质，除了课堂内介绍的以外，还有：第18页/共23页相似变换与相似变换矩阵相似变换与相似变换矩阵这种变换的重要意义在于这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种简化对矩阵的各种运算运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算
4、，从而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对角矩阵的运算角矩阵的运算相似变换相似变换是对方阵进行的一种运算，它把是对方阵进行的一种运算，它把A变成，而可逆矩阵变成，而可逆矩阵 称为进行这一变换的称为进行这一变换的相似变换矩阵相似变换矩阵第19页/共23页思考题例例1 设设(1)求求A的特征值的特征值(2)求求的特征值的特征值(3)设设B相似于相似于A,求求第20页/共23页例例 设三阶方阵设三阶方阵A有特征值有特征值：对应的特征向量对应的特征向量(1)求求(2)求求第21页/共23页例例3 相似，求相似，求x,y.第22页/共23页感谢您的观看！第23页/共23页