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1、第2章计算机控制系统基础12023/4/101本讲稿第一页，共七十三页本章主要内容1.1 1.1 信号的采样与信号的采样与Z变换变换1.21.2 离散控制系统分析离散控制系统分析1.31.3 计算机控制系统的总线技术计算机控制系统的总线技术1.41.4 本章小结本章小结 2023/4/102本讲稿第二页，共七十三页第一节第一节 Unit 1 信号的采样与信号的采样与Z变换变换2023/4/103本讲稿第三页，共七十三页本节主要内容本节主要内容n信号变换理论信号变换理论 nZ变换变换 2023/4/104本讲稿第四页，共七十三页2.1.1 2.1.1 信号的采样、量化、恢复及采样保持器信号的采样
2、、量化、恢复及采样保持器典型的计算机控制系统的结构如图典型的计算机控制系统的结构如图1 1所示所示 r(t)A/D转换数字控制器(计算机)y(t)u(t)u*(t)u(kT)e(kT)D/A转换保持器被控对象采样器e*(t)e(t)图图1典型计算机控制系统结构框图典型计算机控制系统结构框图2023/4/105本讲稿第五页，共七十三页数字控制器(计算机)y(t)u(t)u*(t)u(kT)e(kT)r(t)保持器被控对象e*(t)e(t)图图2计算机控制系统结构简化框图计算机控制系统结构简化框图TTl为了突出重点，只讨论影响系统动态特性的基本问题。为了便于数学为了突出重点，只讨论影响系统动态特性
3、的基本问题。为了便于数学上分析和综合，在分析和设计计算机控制系统时，常常假定上分析和综合，在分析和设计计算机控制系统时，常常假定A/DA/D、D/AD/A转换器的精度足够高，使得量化误差可以忽略，于是转换器的精度足够高，使得量化误差可以忽略，于是A/DA/D、D/AD/A只只存在物理上意义而无数学上意义。即：数字信号与采样信号存在物理上意义而无数学上意义。即：数字信号与采样信号e e(kTkT)与与e e*(t t)，u u(kTkT)与与u u*(t t)是等价的。图是等价的。图1 1可进一步简化为如图可进一步简化为如图2 2所示。所示。2023/4/106本讲稿第六页，共七十三页 控制对象
4、中各点信号一般均为连续模拟信号，由于计算机是串行工控制对象中各点信号一般均为连续模拟信号，由于计算机是串行工作的，必须按一定的采样间隔作的，必须按一定的采样间隔(称为采样周期称为采样周期)对连续信号进行采样，将对连续信号进行采样，将其变成时间上是断续的信号才能进入计算机。所以，它除有连续模拟信其变成时间上是断续的信号才能进入计算机。所以，它除有连续模拟信号外，还有离散模拟、离散数字、连续数字等信号形式，是一种混合信号外，还有离散模拟、离散数字、连续数字等信号形式，是一种混合信号系统。号系统。计算机控制系统的信号形式计算机控制系统的信号形式计算机控制系统的信号形式计算机控制系统的信号形式连续模拟
5、信号：时间是连续的，幅值是模拟量。如连续模拟信号：时间是连续的，幅值是模拟量。如、离散模拟信号：时间是离散的，幅值是模拟量。如离散模拟信号：时间是离散的，幅值是模拟量。如离散离散信号：时间是离散的，幅值是离散量。如离散离散信号：时间是离散的，幅值是离散量。如、离散数字信号：时间是离散的，幅值是数字量。如离散数字信号：时间是离散的，幅值是数字量。如10101010连续数字信号：时间是连续的，幅值是数字量。如计算机内存信号连续数字信号：时间是连续的，幅值是数字量。如计算机内存信号2023/4/107本讲稿第七页，共七十三页1 1信号的采样过程信号的采样过程 n 在计算机控制系统中，信号是以脉冲序列
6、或数字序列的方在计算机控制系统中，信号是以脉冲序列或数字序列的方式传递的，把连续信号变成数字序列的过程叫做采样过程；实式传递的，把连续信号变成数字序列的过程叫做采样过程；实现采样的装置叫采样开关。现采样的装置叫采样开关。l采样过程的原理见图采样过程的原理见图3所示，其中采样开关为理想的采样所示，其中采样开关为理想的采样开关，它从闭合到断开以及从断开到闭合的时间均为零。采开关，它从闭合到断开以及从断开到闭合的时间均为零。采样开关平时处于断开状态，其输入为连续信号样开关平时处于断开状态，其输入为连续信号f(t)，在采样开，在采样开关的输出端得到采样信号关的输出端得到采样信号f*(t)。2023/4
7、/108本讲稿第八页，共七十三页tf(t)0 T 2T 3T 4T 5T tf*(t)0 T 2T 3T 4T 5T (b)连续信号 (c)采样信号图图3信号的采样过程信号的采样过程f*(t)f(t)T(a)采样开关 2023/4/109本讲稿第九页，共七十三页 f(t)为被采样的连续信号，f*(t)是经采样后的脉冲序列，采样开关的采样周期为T。若采样开关的接通时间为无限小，则采样信号f*(t)就是f(t)在开关合上瞬时的值，即脉冲序列 f(0)，f(T)，f(2T)，f(KT)，对于实际系统，当t0 时，f(t)=0，故有：可用理想脉冲函数将采样后的脉冲序列f*(t)表示成：2023/4/1
8、010本讲稿第十页，共七十三页 采样开关可以看作是脉冲调制器，采样过程看作是脉冲调采样开关可以看作是脉冲调制器，采样过程看作是脉冲调制过程，制过程，采样信号采样信号 是由理想脉冲序列所组成，幅值由是由理想脉冲序列所组成，幅值由 在在时刻时刻 的值确定。的值确定。Question:Question:从信号的采样过程可知，经过采样，从信号的采样过程可知，经过采样，不是取全部时间上的信号值，而是取某些时刻的不是取全部时间上的信号值，而是取某些时刻的值。这样处理会不会造成信号的丢失呢？值。这样处理会不会造成信号的丢失呢？根据 函数的性质，其中 为理想采样开关的数学模型：2023/4/1011本讲稿第十
9、一页，共七十三页n 计算机控制系统是利用离散的信号进行控制运算，计算机控制系统是利用离散的信号进行控制运算，这就带来一个问题：采用离散信号能否实施有效的控这就带来一个问题：采用离散信号能否实施有效的控制，或者连续信号所含的信息能否由离散信号表示，制，或者连续信号所含的信息能否由离散信号表示，或者从离散信号能否一定能代表原来的连续信号。或者从离散信号能否一定能代表原来的连续信号。2 2采样定理采样定理例如：有两个不同的连续信号例如：有两个不同的连续信号f f1(1(t t)和和f f2(2(t t)，假设选，假设选择采样周期都为择采样周期都为T T，如图，如图4 4所示，从图中可以看出，所示，从
10、图中可以看出，f f1(1(t t)和和f f2(2(t t)具有相同的采样信号具有相同的采样信号f f*(*(t t)，这说明，这说明f f*(*(t t)未必能完全反映或近似的反映连续信号。未必能完全反映或近似的反映连续信号。2023/4/1012本讲稿第十二页，共七十三页tf(t)f*(t)f2(t)f1(t)0 T 2T 3T 4T 图图4两个不同的连续信号的采样过程两个不同的连续信号的采样过程2023/4/1013本讲稿第十三页，共七十三页香农香农(Shannon)采样定理采样定理 n 一一个个连连续续时时间间信信号号f f(t t)，设设其其频频带带宽宽度度是是有有限限的的，其其最
11、最高高频频率率为为maxmax(或或f fmaxmax)，如如果果在在等等间间隔隔点点上上对对该该信信号号f f(t t)进进行行连连续续采采样样，为为了了使使采采样样后后的的离离散散信信号号f f*(t t)能能包包含含原原信信号号f f(t t)的的全全部部信信息息量量。则则采采样样角角频频率率只只有满足下面的关系：有满足下面的关系：s s22maxmaxl采样后的离散信号采样后的离散信号f f*(*(t t)才能够无失真地复现才能够无失真地复现f f(t t)。否则不。否则不能从能从f f*(*(t t)中恢复中恢复f f(t t)。其中，。其中，maxmax是最高角频率，是最高角频率，
12、ss是是采样角频率。它与采样频率采样角频率。它与采样频率fsfs、采样周期、采样周期T T的关系为：的关系为：2023/4/1014本讲稿第十四页，共七十三页 采样周期采样周期T的选择方法的选择方法 常见被控对象采样周期参考常见被控对象采样周期参考被控物理量被控物理量采样周期采样周期T备注备注流量流量15(s)优先选用优先选用2s压力压力310(s)优先选用优先选用8s液面液面68(s)优先选用优先选用7s温度温度1520(s)优先选用纯滞后时间优先选用纯滞后时间成份成份1520(s)优先选用优先选用18s位置位置1050(ms)优先选用优先选用30ms2023/4/1015本讲稿第十五页，共
13、七十三页2 2信号的量化信号的量化 执行量化动作的装置是执行量化动作的装置是A/DA/D转换器，把在转换器，把在范围内变化的采样信号范围内变化的采样信号 通过字长为通过字长为 的的A/DA/D转换器，转换器，变换成（变换成（）范围内的某个数字量。）范围内的某个数字量。定义：定义：将时间上离散、幅值上连续变化的离散模拟信号将时间上离散、幅值上连续变化的离散模拟信号 用一组二进制数码来逼近的过程称为信号的量化。用一组二进制数码来逼近的过程称为信号的量化。量化单位定义为 ，是二进制数的最低有效位对应的整量单位。量化过程是一个小数归整过程，所以量化误差为 2023/4/1016本讲稿第十六页，共七十三
14、页2 2信号的恢复过程与采样保持器信号的恢复过程与采样保持器n 在在计计算算机机控控制制系系统统中中的的执执行行机机构构和和控控制制对对象象的的输输入入信信号号一一般般为为连连续续信信号号，这这就就必必须须将将计计算算机机输输出出的的数数字字信信号号序序列列还还原原成成连续信号，这就是信号的恢复过程。连续信号，这就是信号的恢复过程。l由于采样信号在两个采样点时刻上才有值，而在由于采样信号在两个采样点时刻上才有值，而在两个采样点之间无值，为了使得两个采样点之间为两个采样点之间无值，为了使得两个采样点之间为连续信号过渡，以前一时刻的采样值为参考基值作连续信号过渡，以前一时刻的采样值为参考基值作外推
15、，使得两个采样点之间的值不为零值，这样来外推，使得两个采样点之间的值不为零值，这样来近似连续信号。将数字信号序列恢复成连续信号的近似连续信号。将数字信号序列恢复成连续信号的装置叫采样保持器。装置叫采样保持器。2023/4/1017本讲稿第十七页，共七十三页n已知某一采样点的采样值为已知某一采样点的采样值为f f(kTkT)，将其连续信号，将其连续信号f f(t t)在该点邻域展开成泰勒级数为：在该点邻域展开成泰勒级数为：外推的项数称为保持器的阶数。外推的项数称为保持器的阶数。取等式右端第一项近似，有取等式右端第一项近似，有 f f(t t)f f(kTkT)kTkTt t(k k+1)T+1)
16、T称零阶保持器，表示为称零阶保持器，表示为ZOHZOH。取等式右端两项之和近似，有取等式右端两项之和近似，有 kTkTt t(k k+1)+1)T T 称一阶保持器。称一阶保持器。同样，可以取等式前同样，可以取等式前n n项之和近似，就构成了项之和近似，就构成了n n阶保持器。阶保持器。2023/4/1018本讲稿第十八页，共七十三页n 在计算机控制系统中，最广泛采用的一类保持器是在计算机控制系统中，最广泛采用的一类保持器是零阶保持器。零阶保持器将前一个采样时刻的采样值零阶保持器。零阶保持器将前一个采样时刻的采样值f f(kTkT)恒定地保持到下一个采样时刻恒定地保持到下一个采样时刻(k(k+
17、1)+1)T T。也就是说。也就是说在区间在区间 kTkT，(k k+1)+1)T T 内零价保持器的输出为常数。内零价保持器的输出为常数。如图如图5 5所示。所示。0 T 2T 3T 4T 5T f(kT)tf(t)0 T 2T 3T 4T 5T f(t)t图图5 5 应用零阶保持器恢复的信号应用零阶保持器恢复的信号2023/4/1019本讲稿第十九页，共七十三页n 可以认为零阶保持器在(t)作用下的脉冲响应h(t)，如图6所示n 而h(t)又可以看成单位阶跃函数1(t)与1(t-T)的迭加，h(t)=1(t)-1(t-T)1h(t)0 T t图图6零阶保持器的脉冲响应零阶保持器的脉冲响应取
18、拉氏变换，得零阶保持器的取拉氏变换，得零阶保持器的传递函数传递函数:2023/4/1020本讲稿第二十页，共七十三页零阶保持器的传递函数为零阶保持器的传递函数为其频率特性为其频率特性为则幅频特性为则幅频特性为相频特性为相频特性为 其中其中 ，intint为取整符号，对应的幅频及为取整符号，对应的幅频及相频特性如图相频特性如图7 7所示。所示。2023/4/1021本讲稿第二十一页，共七十三页图7 零阶保持器的幅频特性及相频特性从从频频率率特特性性看看出出，零零阶阶保保持持器器具具有有低低通通滤滤波波特特性性，但但不不是是理理想想的的低低通通滤滤波波器器，由由零零阶阶保保持持器器恢恢复复的的信信
19、号号与与原原信信号号相相比比有有一一定定的的畸畸变变。此此外外，零零阶阶保保持持器器会会带带来来附附加加相相移移，不不利利于于闭闭环环系系统统的的稳定稳定2023/4/1022本讲稿第二十二页，共七十三页2.1.2 Z变换变换 已知连续信号已知连续信号f(t)经过采样周期为经过采样周期为T的采样开关后，的采样开关后，变成离散的脉冲序列函数变成离散的脉冲序列函数f*(t)即采样信号。即采样信号。1 1 Z Z变换的定义变换的定义 对上式进行拉氏变换，则对上式进行拉氏变换，则2023/4/1023本讲稿第二十三页，共七十三页根据广义脉冲函数的性质，可得：根据广义脉冲函数的性质，可得：2023/4/
20、1024本讲稿第二十四页，共七十三页n 上式中，上式中，F F*(s s)是离散时间函数是离散时间函数f f*(t t)的拉氏变换，因复变量的拉氏变换，因复变量s s含在指数含在指数e e-kTs-kTs中是中是超越函数不便于计算，故引一个新变量超越函数不便于计算，故引一个新变量z=ez=eTsTs，并将并将F F*(s s)记为记为F F(z z)则则需要说明的几点：需要说明的几点：1）任意项）任意项 具有明确的物理意义：具有明确的物理意义：表示幅值，表示幅值，z z的幂次表示的幂次表示该采样脉冲出现的时刻。该采样脉冲出现的时刻。式中式中F F(z z)就称为离散函数就称为离散函数f f*(
21、*(t t)的的Z Z变换。变换。2023/4/1025本讲稿第二十五页，共七十三页2)上述求取上述求取Z变换方法称为单边变换方法称为单边Z变换（当变换（当 时时 而而 称为双边称为双边Z变换，在控制系统中，变换，在控制系统中，通常只研究单边通常只研究单边Z变换。变换。3）如如果果两两个个不不同同的的时时间间函函数数 和和 ，,但但其其采采样样值值完完全全重重复复,即即 ，则则 ，说说明明Z Z变变换换 与与或或离离散散函函数数 是是一一一一对对应应的的，但但是是 与与之之间间的的对对应应关关系系却却不不惟惟一一。从从这这个个意意义义上上来来说说，连连续续时时间间函函数数与与相相应应的的离离散
22、散时时间间函函数数具具有有相同的相同的Z变换，即变换，即2023/4/1026本讲稿第二十六页，共七十三页2 2 Z Z变换的求法变换的求法 求取离散时间函数的求取离散时间函数的Z Z变换有多种方法，我们介绍常用的三种。变换有多种方法，我们介绍常用的三种。（1 1）级数求和法）级数求和法 将离散时间函数写成展开式的形式将离散时间函数写成展开式的形式 根据无穷级数求和公式根据无穷级数求和公式 其中其中 即可求出函数的变换即可求出函数的变换 对上式取拉氏变换，得对上式取拉氏变换，得 2023/4/1027本讲稿第二十七页，共七十三页例例2.1求求f(t)=af(t)=at/T t/T 函数（函数（
23、a为常数）的为常数）的Z变换。变换。解：根据解：根据Z变换定义有变换定义有2023/4/1028本讲稿第二十八页，共七十三页例2-1 求单位阶跃函数求单位阶跃函数的的Z变换。变换。解：根据解：根据Z变换定义，有变换定义，有2023/4/1029本讲稿第二十九页，共七十三页（2 2）部分分式法）部分分式法 设连续时间函数的拉氏变换为有理函数，设连续时间函数的拉氏变换为有理函数，将展开成部分分式的形式为（将展开成部分分式的形式为（无重极点无重极点）其中其中 为常数，为常数，因此，连续函数的因此，连续函数的Z变换可以由有理函数求出变换可以由有理函数求出2023/4/1030本讲稿第三十页，共七十三页
24、设设为为的的重极点，则重极点，则其中系数其中系数则的则的Z变换为变换为2023/4/1031本讲稿第三十一页，共七十三页例例 已知函数已知函数，求，求解：解：有两个单极点有两个单极点、，则则、，展开为部分分式之和展开为部分分式之和所以所以2023/4/1032本讲稿第三十二页，共七十三页（3 3）留数法）留数法 如果函数如果函数 为严格的真有理分式，为严格的真有理分式，则则 的的Z Z变换可直接由下式求得变换可直接由下式求得 式中，式中，（）为全部极点，其中有）为全部极点，其中有 个非重极点和个非重极点和 个重极点，个重极点，为重极点的重数。为重极点的重数。2023/4/1033本讲稿第三十三
25、页，共七十三页常用信号的常用信号的Z变换变换1单位脉冲信号单位脉冲信号 2单位阶跃信号单位阶跃信号2023/4/1034本讲稿第三十四页，共七十三页3单位速度信号单位速度信号2023/4/1035本讲稿第三十五页，共七十三页4指数信号指数信号2023/4/1036本讲稿第三十六页，共七十三页5正弦信号正弦信号2023/4/1037本讲稿第三十七页，共七十三页3 Z反变换 已知已知Z变换表达式变换表达式 ，求相应离散序列，求相应离散序列 或或 的过程称为的过程称为Z反变换，记为反变换，记为 常用的常用的Z反变换方法反变换方法(只介绍其中常用的两种方法)：（1）长除法）长除法（2）部分分式法）部分
26、分式法（3）留数计算法）留数计算法 2023/4/1038本讲稿第三十八页，共七十三页（1）长除法设 是 或 的有理函数，即用长除法展成按用长除法展成按升幂排列的幂级数：升幂排列的幂级数：由Z变换定义得：比较两式得：则2023/4/1039本讲稿第三十九页，共七十三页(2)部分分式展开法部分分式展开法 将将 通过部分分式展开为低阶的分式之和，通过部分分式展开为低阶的分式之和，再利用查表法分别求各项的再利用查表法分别求各项的Z反变换，反变换，然后相加得到然后相加得到设已知的设已知的Z变换函数无重极点，且变换函数无重极点，且先求出先求出的极点的极点，再将再将展开为分式之和展开为分式之和然后逐项查表
27、得到然后逐项查表得到 最后写出对应的采样函数最后写出对应的采样函数，2023/4/1040本讲稿第四十页，共七十三页例例求求的的Z反反变换变换解：采用部分分式展开，得查变换表，得到所以，即2023/4/1041本讲稿第四十一页，共七十三页 应当注意，经 反变换得到的 只是在采样时刻 与 在该时刻的值 相等，而 在其他时刻的值可以任意。Z变换的过程中可以查阅常用函数的Z变换表.2023/4/1042本讲稿第四十二页，共七十三页（1）线性定理）线性定理设设a,a1,a2为为任任意意常常数数，连连续续时时间间函函数数f(t),f1(t),f2(t)的的Z变换分别为变换分别为F(z),F1(z),F2
28、(z)、及，则有、及，则有4 4 Z Z变换变换的性质和定理的性质和定理 同拉氏变换的基本性质相对应，同拉氏变换的基本性质相对应，Z Z变换也可以推导一些重要性变换也可以推导一些重要性质，这些性质可以简化质，这些性质可以简化Z Z变换的使用。变换的使用。2023/4/1043本讲稿第四十三页，共七十三页（2）位移滞后定理）位移滞后定理设设连连续续时时间间函函数数在在t0时时，f(t)=0，且且f(t)的的Z变变换换为为F(z)，则则滞滞后后个个采采样样周周期期的的函函数数的的Z变变换换为为证明：证明：2023/4/1044本讲稿第四十四页，共七十三页（3）位移超前定理）位移超前定理设设连连续续
29、时时间间函函数数f(t)的的Z变变换换为为F(z)，则则超超前前个个采样周期的函数采样周期的函数的的Z变换为变换为证明：证明：2023/4/1045本讲稿第四十五页，共七十三页（4）初值定理）初值定理 设连续时间函数设连续时间函数f(t)的的Z变换为变换为F(z)，且极限，且极限 存在，则有存在，则有证明：证明：所以所以 2023/4/1046本讲稿第四十六页，共七十三页（5）终值定理）终值定理设设连连续续时时间间函函数数f(t)的的Z变变换换为为F(z)，且且存存在在，在在单位圆上及单位原外无极点，则有单位圆上及单位原外无极点，则有证明：证明：2023/4/1047本讲稿第四十七页，共七十三
30、页(6)时域离散卷积定理时域离散卷积定理设设连连续续时时间间函函数数f(t)和和g(t)的的Z变变换换分分别别为为F(z)及及G(z)，若定义若定义则则证明从略2023/4/1048本讲稿第四十八页，共七十三页(7)(7)复位移定理复位移定理 设设a为任意常数，连续时间函数为任意常数，连续时间函数f(t)的的Z变换为变换为F(z)，则，则有有证明：证明：2023/4/1049本讲稿第四十九页，共七十三页(8)(8)复域微分定理复域微分定理设连续时间函数设连续时间函数f(t)的的Z变换为变换为F(z)，则有，则有证明：证明：2023/4/1050本讲稿第五十页，共七十三页(9)(9)复域积分定理
31、复域积分定理设连续时间函数设连续时间函数f(t)的的Z变换为变换为F(z)，且极限，且极限 存在，存在，则有则有证明：证明：令令则则上式两边对求导，得上式两边对求导，得上式两边积分，有上式两边积分，有利用初值定理，整理得利用初值定理，整理得2023/4/1051本讲稿第五十一页，共七十三页第二节第二节 Unit 2离散控制系统的分析离散控制系统的分析2023/4/1052本讲稿第五十二页，共七十三页 离散控制系统的特性分析是从系统的数学模离散控制系统的特性分析是从系统的数学模型出发，对系统的稳定性、准确性、快速性三个型出发，对系统的稳定性、准确性、快速性三个方面的特性进行分析，从分析结果可以定
32、量评价方面的特性进行分析，从分析结果可以定量评价系统的优劣，同时明确系统的性能指标（稳定裕系统的优劣，同时明确系统的性能指标（稳定裕量、稳态误差及动态指标等）与系统模型的结构量、稳态误差及动态指标等）与系统模型的结构和参数之间的定性与定量关系，用于指导计算机和参数之间的定性与定量关系，用于指导计算机控制系统的设计。控制系统的设计。2023/4/1053本讲稿第五十三页，共七十三页本节主要内容本节主要内容n离散控制系统的数学描述离散控制系统的数学描述 n离散控制系统的稳定性分析离散控制系统的稳定性分析 n计算机控制系统的过渡过程分析计算机控制系统的过渡过程分析 n计算机控制系统的稳态准确度分析计
33、算机控制系统的稳态准确度分析 2023/4/1054本讲稿第五十四页，共七十三页2.2.1 2.2.1 离散控制系统的数学描述离散控制系统的数学描述 计算机控制系统在本质上属于离散控制系统，而离散控制系统的性能分析和控制器计算机控制系统在本质上属于离散控制系统，而离散控制系统的性能分析和控制器设计的前提是要具备系统的数学描述，前述设计的前提是要具备系统的数学描述，前述Z Z变换是描述与分析离散信号的和离散系统变换是描述与分析离散信号的和离散系统的有力工具，仅局限于线性定常离散系统的有力工具，仅局限于线性定常离散系统。1 1线性定常离散系统的差分方程及其求解线性定常离散系统的差分方程及其求解什么
34、是线性定常系统？什么是线性定常系统？(1)差分的定义差分的定义一阶前向差分的定义为一阶前向差分的定义为 n n阶前向差分的定义为阶前向差分的定义为 同理，一阶后向差分的定义为同理，一阶后向差分的定义为 n n阶后向差分的定义为阶后向差分的定义为 2023/4/1055本讲稿第五十五页，共七十三页0前向差分与后向差分 差分与连续函数的微差分与连续函数的微分相对应。不同的是差分相对应。不同的是差分有前向差分和后向差分有前向差分和后向差分之别。见图分之别。见图 所示，连所示，连续函数经采样后为续函数经采样后为 ，在时刻，其采样值为，在时刻，其采样值为 为简便计，常写作为简便计，常写作 2023/4/
35、1056本讲稿第五十六页，共七十三页(2)线性定常离散系统的差分方程线性定常离散系统的差分方程 设设单单输输入入单单输输出出计计算算机机控控制制系系统统某某一一时时刻刻输输入入为为 ，输输出出为为 ，式中式中 均为常系数，且均为常系数，且 差分方程的阶次是由最高阶差分的阶次而定的，其数值等于方程中自差分方程的阶次是由最高阶差分的阶次而定的，其数值等于方程中自变量的最大值和最小值之差变量的最大值和最小值之差 则描述线性定常离散系统动态过程的则描述线性定常离散系统动态过程的n n阶非奇次后向差分方程的一般形式阶非奇次后向差分方程的一般形式为为2023/4/1057本讲稿第五十七页，共七十三页(3)
36、差分方程的求解差分方程的求解 用用Z变换求解常系数线性差分方程和用拉氏变换解微分方程很相似。先利用变换求解常系数线性差分方程和用拉氏变换解微分方程很相似。先利用初始条件，将差分方程转换成为变量的代数方程，再求出初始条件，将差分方程转换成为变量的代数方程，再求出Z反变换。反变换。举例举例 已知连续系统微分方程为：已知连续系统微分方程为：将之离散化，再求对应的前向差分方程及其解。将之离散化，再求对应的前向差分方程及其解。解：解：用各阶前向差分方程代替原方程中的各阶导数，用各阶前向差分方程代替原方程中的各阶导数，得：得：依差分定义：依差分定义：所以，离散系统差分方程为所以，离散系统差分方程为相应于差
37、分方程，可以通过递推求解，通过计算机编程可以很方便实现：相应于差分方程，可以通过递推求解，通过计算机编程可以很方便实现：2023/4/1058本讲稿第五十八页，共七十三页对差分方程通过对差分方程通过Z变换的方式求解变换的方式求解代入初始条件：代入初始条件：查表，查表，Z Z反变换为反变换为 所以，所以，2023/4/1059本讲稿第五十九页，共七十三页2 2计算机控制系统的计算机控制系统的Z Z传递函数传递函数(1)Z传递函数的定义传递函数的定义定义：定义：离散控制系统在零初始条件下，系统输出序列的离散控制系统在零初始条件下，系统输出序列的Z Z变换变换 与输入序列的与输入序列的Z Z变换变换
38、 之比为离散系统的之比为离散系统的Z Z传递函数。传递函数。即即 如果系统是通过如果系统是通过 阶线性定常离散系统的后向差分方程表示，即阶线性定常离散系统的后向差分方程表示，即2023/4/1060本讲稿第六十页，共七十三页在零初始条件下，在零初始条件下，Z传递函数可以通过差分方程的传递函数可以通过差分方程的Z变换求得，变换求得，Z传递函数是复变量传递函数是复变量 的有理分式形式的有理分式形式通过离散系统的单位脉冲响应序列的通过离散系统的单位脉冲响应序列的Z变换也可以求得变换也可以求得Z传递函数，即传递函数，即其中，其中，是单位脉冲响应函数是单位脉冲响应函数 的离散表示形式的离散表示形式202
39、3/4/1061本讲稿第六十一页，共七十三页(2)Z传递函数的代数运算规则传递函数的代数运算规则(a)(a)开环串联运算，两个环节之间开环串联运算，两个环节之间有采样开关有采样开关时时(b)(b)开环串联运算，两个环节之间开环串联运算，两个环节之间没有采样开关没有采样开关时时2023/4/1062本讲稿第六十二页，共七十三页对于并联环节的Z传递函数显然有 即 2023/4/1063本讲稿第六十三页，共七十三页典型计算机控制系统的闭环典型计算机控制系统的闭环Z传递函数传递函数系统输出系统输出偏差偏差经采样后的偏差信号经采样后的偏差信号 2023/4/1064本讲稿第六十四页，共七十三页所以输输出
40、出的离散信号的离散信号为为取Z变换，得到闭环系统的Z传递函数为 其中为广义对象2023/4/1065本讲稿第六十五页，共七十三页3 3S平面到平面到Z平面的变换平面的变换S平面与Z平面的映射关系可由来确定，设则有则有2023/4/1066本讲稿第六十六页，共七十三页图 2-8 S平面与Z平面的映射关系2023/4/1067本讲稿第六十七页，共七十三页2.2.2 2.2.2 离散控制系统的稳定性分析离散控制系统的稳定性分析 1 1离散系统的稳定性概念和稳定条件离散系统的稳定性概念和稳定条件 所谓稳定性，对于线性定常连续系统和线性定常离散系统，所谓稳定性，对于线性定常连续系统和线性定常离散系统，就
41、是在有界输入作用下，系统的输出也是有界的。就是在有界输入作用下，系统的输出也是有界的。S S平面的虚轴是连续系统稳定与不稳定的分界线，平面的虚轴是连续系统稳定与不稳定的分界线，而线性定常离散系统稳定的条件是，即所有的闭环而线性定常离散系统稳定的条件是，即所有的闭环Z Z传递函数的极点均应分布在传递函数的极点均应分布在Z Z平面的单位圆内。平面的单位圆内。2023/4/1068本讲稿第六十八页，共七十三页表2-3 Z平面与S平面的影射关系对应表S平面Z平面稳定性讨论，虚轴，单位圆稳定边界，左半部分，单位圆内稳定 且为常数，虚轴的平行线为常数，同心圆稳定，右半部分，单位圆外不稳定，实轴正实轴不稳定
42、 为常数，实轴的平行线端点为原点的射线不稳定2023/4/1069本讲稿第六十九页，共七十三页图2-9 连续系统与离散系统的极点分布稳定域2023/4/1070本讲稿第七十页，共七十三页2 2离散系统的稳定性的判定方法离散系统的稳定性的判定方法（1）直接求取方法）直接求取方法（2）劳斯稳定判别法）劳斯稳定判别法双线性变换定义为双线性变换定义为（或（或 ）其中其中均为复变量均为复变量 W平面的实部为平面的实部为W平面的虚平面的虚轴对应轴对应于于2023/4/1071本讲稿第七十一页，共七十三页图2-10 Z平面与W平面的映射关系2023/4/1072本讲稿第七十二页，共七十三页例2-5 设系统的特征方程为试用W平面的劳斯判据判别稳定性解：将解：将代入特征方程得代入特征方程得两边乘两边乘化简后得化简后得由劳斯表由劳斯表 1202400-180402023/4/1073本讲稿第七十三页，共七十三页