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1、2.1.1 向量的物理背景与概念向量的物理背景与概念2.1.2 向量的几何表示向量的几何表示2.1.3 相等向量与共线向量相等向量与共线向量向量向量(vector)：既有大小，又有方向的量。：既有大小，又有方向的量。数量数量：只有大小，没有方向的量。：只有大小，没有方向的量。思考思考:时间时间,路程路程,功是向量吗功是向量吗?速度速度,加速度是向量吗加速度是向量吗?向量的两要素：方向、大小向量的两要素：方向、大小1.什么是向量？向量和数量有何不同？什么是向量？向量和数量有何不同？2.向量如何表示？向量如何表示？AB几何表示几何表示向量向量常用常用有向线段有向线段表示：有向线段的长表示：有向线段
2、的长度表示度表示向量的大小向量的大小，箭头所指的方向表示，箭头所指的方向表示向量的方向。向量的方向。注注:以以A为起点，为起点，B为终点的有向线段记为为终点的有向线段记为 线段线段AB的长度记作的长度记作 （读为（读为模模）；）；也可以表示：也可以表示：大小记作大小记作:FG练习练习:1.:1.温度有零上和零下之分，温度是向量吗？为什么？温度有零上和零下之分，温度是向量吗？为什么？2.2.向量向量 AB AB 和和 BA BA 同一个向量吗？为什么？同一个向量吗？为什么？我们所说的我们所说的向量向量，与，与起点无关起点无关，用有向线段表示向量时，用有向线段表示向量时，起点可以取任意位置。起点可
3、以取任意位置。所以数学中的向量也叫所以数学中的向量也叫自由向量自由向量.如图：他们都表示如图：他们都表示同一个向量同一个向量。不是，温度只有大小，没有方向。不是，温度只有大小，没有方向。不是，方向不同不是，方向不同aa说明说明1 1：有向线段有向线段与与向量向量的区别：的区别：有向线段有向线段：有固定起点、大小、方向有固定起点、大小、方向向量向量：可选：可选任意点任意点作为作为向量的起点、有大小、有方向。向量的起点、有大小、有方向。ABCDABCD有向线段有向线段ABAB、CDCD是是不同的不同的。向量向量 ABAB、CD CD 是是同一个向同一个向量量。说明说明2 2：3.什么是零向量和单位
4、向量？什么是零向量和单位向量？零向量：零向量：长度为长度为0的向量，记为的向量，记为 ；单位向量：单位向量：长度为长度为1的向量的向量.注注:零向量，单位向量都是只限制大小，不确定方向的零向量，单位向量都是只限制大小，不确定方向的.4.什么是平行向量？什么是平行向量？方向方向相同相同或或相反相反的非零向量叫的非零向量叫平行向量平行向量.注：注：1.1.若是两个平行向量，则记为若是两个平行向量，则记为2.2.我们规定，零向量与任一向量平行，即对任意向量我们规定，零向量与任一向量平行，即对任意向量 ，都有都有三、向量之间的关系：三、向量之间的关系：练习练习.判断下列各组向量是否平行？判断下列各组向
5、量是否平行？ABCABC向量的平行与线段的平行有什么区别向量的平行与线段的平行有什么区别?例例1.试根据图中的比例尺以及三地的位置试根据图中的比例尺以及三地的位置,在图中分别用在图中分别用 向量表示向量表示A地至地至B、C两地的位移，并求出两地的位移，并求出A地至地至B、C两地的实际距离两地的实际距离(精确到精确到1km).1:80000005.什么是相等向量和共线向量？什么是相等向量和共线向量？长度长度相等相等且方向且方向相同相同的向量叫的向量叫相等向量相等向量注：注：1.若向量若向量 相等，则记为相等，则记为 ；2.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来任意两个相等的非零向量，都可
6、用同一条有向线段来 表示，并且与有向线段的表示，并且与有向线段的起点无关起点无关。abc a=b=cA1B1=A2B2=A3B3=A4B4A1B1A2B2A3B3A4B4 平行向量又叫做共线向量平行向量又叫做共线向量各向量的终点与直线各向量的终点与直线l之间有什么关系？之间有什么关系？如：如：abc（）（）平行向量：平行向量：方向方向相同相同或或相反相反的的非零向量非零向量叫做平行向量叫做平行向量 (parallel vectors)。记记作作 a b cb c规规定：定：0与任一向量平行。与任一向量平行。问：问：把一组平行于直线把一组平行于直线l的向量的起点平移到直线的向量的起点平移到直线l
7、上的上的 一点一点O，这时它们是不是平行向量？，这时它们是不是平行向量？ol.COC=cAOA=a OB=b B11个个例例1如图设如图设O是正六边形是正六边形ABCDEF的中心，写出图中的中心，写出图中 与向量与向量OA相等的向量。相等的向量。OA=DO=CB变变式一：与向量式一：与向量OA长长度相等的向量度相等的向量 有多少个？有多少个？变变式二：是否存在与向量式二：是否存在与向量OA长长度相等，方向度相等，方向 相反的向量？相反的向量？存在，为存在，为 FECB、DO、FE变变式三：与向量式三：与向量OA长长度度相等的相等的共共线线向量有哪些？向量有哪些？例例1.如图，设如图，设O是正六
8、边形是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与的中心，分别写出图中与 相等的向量。相等的向量。OABCDEFBC相同相同相等相等B练习：练习：如图如图,EF,EF是是ABCABC的中位线的中位线,AD,AD是是BC BC 边是的中边是的中 线线,在以在以A A、B B、C C、D D、E E、F F为端点的有向线为端点的有向线 段表示的向量中请分别写出段表示的向量中请分别写出（1 1）与向量）与向量CDCD共线的向量有共线的向量有_个个,分别是分别是_；（2 2）与向量）与向量DFDF的模一定相等的向的模一定相等的向量有量有_个个,分别是分别是_；（3 3）与向量）与向量DEDE相等的向量有
9、相等的向量有_个个,分别是分别是_。ABCDEF7DC,DB,BD,FE,EF,CB,BC5FD,EB,BE,EA,AE2CF,FA如图如图,D,D、E E、F F分别是分别是ABCABC各边上的中点，四边形各边上的中点，四边形BCMFBCMF是平行四边形，请分别写出是平行四边形，请分别写出：（1 1）与）与EDED共线的向量；共线的向量；（2 2）与）与FEFE共线的向量；共线的向量；（3 3）与）与EDED相等的向量；相等的向量；（4 4）与）与FEFE相等的向量。相等的向量。ABCDFEM解：（解：（1）DE、BF、FB、FA、AF、CM、MC（2）EF、BD、DB、DC、CD、EM、M
10、E（3 3）FBFB、AFAF、MCMC（4）BDBD、DCDC、EMEM课本课本 P8687例例3.如图，某人想要从点如图，某人想要从点A出发绕阴影部分走一圈，他可按图中出发绕阴影部分走一圈，他可按图中提供的向量行走，则将这些向量按顺序排列为提供的向量行走，则将这些向量按顺序排列为 。ABCDE1.什么是向量？向量和数量有何不同？什么是向量？向量和数量有何不同？向量：向量：即有大小又有方向的量即有大小又有方向的量（数量：数量：只有大小，没有方向的量）只有大小，没有方向的量）向量的向量的模模向量的向量的长度长度在质量、重力、速度、加速度、身高、面积、体积这些在质量、重力、速度、加速度、身高、面积、体积这些量中，哪些是数量？哪些是向量？量中，哪些是数量？哪些是向量？数量有：数量有：质量、身高、面积、体积质量、身高、面积、体积向量有：向量有：重力、速度、加速度重力、速度、加速度