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1、3.2 3.2 时间序列的协整检验时间序列的协整检验与误差修正模型与误差修正模型 一、长期均衡关系与协整一、长期均衡关系与协整 二、协整的二、协整的E-G检验检验 三、协整的三、协整的JJ检验检验 四、关于均衡与协整关系的讨论四、关于均衡与协整关系的讨论 五、结构变化时间序列的协整检验五、结构变化时间序列的协整检验六、误差修正模型六、误差修正模型 一、长期均衡与协整分析一、长期均衡与协整分析Equilibrium and Cointegration1、问题的提出、问题的提出经经典典回回归归模模型型（classical classical regression regression modelm
2、odel）是是建建立立在在平平稳稳数数据据变变量量基基础础上上的的，对对于于非非平平稳稳变变量量，不不能能使使用用经经典典回归模型，否则会出现回归模型，否则会出现虚假回归虚假回归等诸多问题。等诸多问题。由由于于许许多多经经济济变变量量是是非非平平稳稳的的，这这就就给给经经典典的的回回归归分分析析方方法带来了很大限制。法带来了很大限制。但但是是，如如果果变变量量之之间间有有着着长长期期的的稳稳定定关关系系，即即它它们们之之间间是是协协整整的的（cointegration)cointegration)，则则是是可可以以使使用用经经典典回回归归模模型型方方法建立回归模型的。法建立回归模型的。例例如如
3、，中中国国居居民民人人均均消消费费水水平平与与人人均均GDPGDP变变量量的的例例子子,从从经经济济理理论论上上说说，人人均均GDPGDP决决定定着着居居民民人人均均消消费费水水平平，它它们们之之间间有着长期的稳定关系，即它们之间是协整的。有着长期的稳定关系，即它们之间是协整的。经经济济理理论论指指出出，某某些些经经济济变变量量间间确确实实存存在在着着长长期期均均衡衡关关系系，这这种种均均衡衡关关系系意意味味着着经经济济系系统统不不存存在在破破坏坏均均衡衡的的内内在在机机制制，如如果果变变量量在在某某时时期期受受到到干干扰扰后后偏偏离离其其长长期期均均衡衡点点，则则均均衡衡机机制制将将会会在在
4、下下一一期期进进行行调调整整以以使使其其重重新新回回到到均均衡衡状状态。态。假设X与Y间的长期“均衡关系”由式描述 2 2、长期均衡、长期均衡该均衡关系意味着该均衡关系意味着:给定X的一个值，Y相应的均衡值也随之确定为0+1X。在在t-1期末，存在下述三种情形之一：期末，存在下述三种情形之一：Y等于它的均衡值：等于它的均衡值：Yt-1=0 0+1 1Xt；Y小于它的均衡值：小于它的均衡值：Yt-1 0 0+1 1Xt；在在时时期期t，假假设设X有有一一个个变变化化量量 Xt，如如果果变变量量X与与Y在在时时期期t与与t-1末末期期仍仍满满足足它它们们间间的的长长期期均均衡衡关关系，即上述第一种
5、情况，则系，即上述第一种情况，则Y的相应变化量为的相应变化量为:vt=t-t-1 如如果果t-1期期末末，发发生生了了上上述述第第二二种种情情况况，即即Y的的值值小小于于其其均均衡衡值值，则则t期期末末Y的的变变化化往往往往会会比比第第一种情形下一种情形下Y的变化大一些；的变化大一些；反反之之，如如果果t-1期期末末Y的的值值大大于于其其均均衡衡值值，则则t期期末末Y的变化往往会小于第一种情形下的的变化往往会小于第一种情形下的 Yt。可可见见，如如果果Yt=0 0+1 1Xt+t t正正确确地地提提示示了了X与与Y间间的的长长期期稳稳定定的的“均均衡衡关关系系”，则则意意味味着着Y对对其其均衡
6、点的偏离从本质上说是均衡点的偏离从本质上说是“临时性临时性”的。的。一一个个重重要要的的假假设设就就是是:随随机机扰扰动动项项 t t必必须须是是平平稳稳序序列列。如如果果 t t有有随随机机性性趋趋势势（上上升升或或下下降降），则则会会导导致致Y对对其其均均衡衡点点的的任任何何偏偏离离都都会会被被长长期期累积下来而不能被消除。累积下来而不能被消除。式Yt=0+1Xt+t中的随机扰动项也被称为非非均衡误差（均衡误差（disequilibrium error），它是变量X与Y的一个线性组合：如果如果X与与Y间的长期均衡关系正确，该式表述的非间的长期均衡关系正确，该式表述的非均衡误差应是一平稳时间
7、序列，并且具有零期望值，均衡误差应是一平稳时间序列，并且具有零期望值，即是具有即是具有0均值的均值的I(0)序列。序列。非稳定的时间序列，它们的线性组合也可能成为非稳定的时间序列，它们的线性组合也可能成为平稳的。平稳的。称变量称变量X与与Y是协整的（是协整的（cointegrated）。）。3 3、协整、协整如果序列如果序列XX1t1t,X,X2t2t,X,Xktkt 都是都是d d阶单整，存在向量阶单整，存在向量=(1 1,2 2,k k)，使得，使得Z Zt t=X XT T I(d-b)I(d-b)，其中，其中，b0b0，X=(XX=(X1t1t,X,X2t2t,X,Xktkt)T T，
8、则认为序列，则认为序列XX1t1t,X,X2t2t,X,Xktkt 是是(d,b)(d,b)阶协整阶协整，记为，记为X XttCI(d,b)CI(d,b)，为协整向量（为协整向量（cointegrated vector）。）。如果两个变量都是单整变量，只有当它们的单整如果两个变量都是单整变量，只有当它们的单整阶数相同时，才可能协整；如果它们的单整阶数阶数相同时，才可能协整；如果它们的单整阶数不相同，就不可能协整。不相同，就不可能协整。3 3个以上的变量，如果具有不同的单整阶数，有个以上的变量，如果具有不同的单整阶数，有可能经过线性组合构成低阶单整变量。可能经过线性组合构成低阶单整变量。（d,d
9、）阶协整是一类非常重要的协整关系，）阶协整是一类非常重要的协整关系，它的经济意义在于：它的经济意义在于：两个变量，虽然它们具有两个变量，虽然它们具有各自的长期波动规律，但是如果它们是各自的长期波动规律，但是如果它们是（d,dd,d）阶协整的，则它们之间存在着一个长）阶协整的，则它们之间存在着一个长期稳定的比例关系。期稳定的比例关系。例如，中国例如，中国CPCCPC和和GDPPCGDPPC，它们各自都是，它们各自都是2 2阶单整，如果阶单整，如果它们是它们是(2,2)(2,2)阶协整，说明它们之间存在着一个长期稳阶协整，说明它们之间存在着一个长期稳定的比例关系，从计量经济学模型的意义上讲，建立定
10、的比例关系，从计量经济学模型的意义上讲，建立如下居民人均消费函数模型是合理的。如下居民人均消费函数模型是合理的。尽管两个时间序列是非平稳的，也可以用经典尽管两个时间序列是非平稳的，也可以用经典的回归分析方法建立回归模型。的回归分析方法建立回归模型。从从这这里里，我我们们已已经经初初步步认认识识到到：检检验验变变量量之之间间的的协协整整关关系系，在在建建立立计计量量经经济济学学模模型型中中是是非非常常重重要的。要的。而而且且，从从变变量量之之间间是是否否具具有有协协整整关关系系出出发发选选择择模模型型的的变变量量，其其数数据据基基础础是是牢牢固固的的，其其统统计计性性质是优良的质是优良的。二、协
11、整检验二、协整检验EG检验检验 1 1、两变量的、两变量的Engle-GrangerEngle-Granger检验检验 为了检验两变量Yt,Xt是否为协整，Engle和Granger于1987年提出两步检验法，也称为EG检验。第一步，第一步，用OLS方法估计方程 Yt=0+1Xt+t并计算非均衡误差，得到：称为协整回归协整回归(cointegrating)或静态回归静态回归(static regression)。非均衡误差的单整性的检验方法仍然是非均衡误差的单整性的检验方法仍然是DFDF检验检验或者或者ADFADF检验。检验。需要注意是需要注意是，这里的，这里的DF或或ADF检验是针对协整回归
12、检验是针对协整回归计算出的误差项，而非真正的非均衡误差。计算出的误差项，而非真正的非均衡误差。而而OLS法采用了残差最小平方和原理，因此法采用了残差最小平方和原理，因此估计量估计量 是向下偏倚的是向下偏倚的，这样将导致拒绝零假设的机会比，这样将导致拒绝零假设的机会比实际情形大。实际情形大。于是对于是对e et t平稳性检验的平稳性检验的DFDF与与ADFADF临界值应该比正常的临界值应该比正常的DFDF与与ADFADF临界值还要小。临界值还要小。MacKinnon(1991)通过模拟试验给出了协整检验的通过模拟试验给出了协整检验的临界值。临界值。例题：例题：对经过居民消费价格指数调整后的对经过
13、居民消费价格指数调整后的19782006年间中国居民总量消费年间中国居民总量消费Y与总量可支与总量可支配收入配收入X的数据，检验它们取对数的序列的数据，检验它们取对数的序列lnY与与lnX间的协整关系。间的协整关系。对于对于lnY与与lnX，经检验，它们均是，经检验，它们均是I(1)序列，最终序列，最终的检验模型如下：的检验模型如下：在5%的显著性水平下，ADF检验的临界值为2.97 对对lnY与与lnX进行如下协整回归：进行如下协整回归：对计算得到的残差序列进行对计算得到的残差序列进行ADF检验，最终检验检验，最终检验模型为：模型为：5%的显著性水平下协整的ADF检验临界值为3.59 结论：
14、中国居民总量消费的对数序结论：中国居民总量消费的对数序列列lnYlnY与总可支配收入的对数序列与总可支配收入的对数序列lnXlnX之间存在（之间存在（1,11,1）阶协整。）阶协整。注意：查什么临界值表？2 2、多变量协整关系的检验、多变量协整关系的检验扩展的扩展的E-GE-G检验检验 多变量协整关系的检验要比双变量复杂一些，主要在于协整变量间可能存在多种稳定的线性组合协整变量间可能存在多种稳定的线性组合。假设有4个I(1)变量Z、X、Y、W，它们有如下的长期均衡关系：非均衡误差项t应是I(0)序列：然而，如果Z与W，X与Y间分别存在长期均衡关系：则非均衡误差项v1t、v2t一定是稳定序列I(
15、0)。于是它们的任意线性组合也是稳定的。例如 由于vt象t一样，也是Z、X、Y、W四个变量的线性组合，由此vt 式也成为该四变量的另一稳定线性组合。（1,-0,-1,-2,-3）是对应于t 式的协整向量，（1,-0-0,-1,1,-1）是对应于vt式的协整向量。一定是I(0)序列。检验程序：检验程序：对对于于多多变变量量的的协协整整检检验验过过程程，基基本本与与双双变变量量情情形形相相同同，即即需需检检验验变变量量是是否否具具有有同同阶阶单单整整性性，以以及及是是否否存在稳定的线性组合。存在稳定的线性组合。在在检检验验是是否否存存在在稳稳定定的的线线性性组组合合时时，需需通通过过设设置置一一个
16、个变变量量为为被被解解释释变变量量，其其他他变变量量为为解解释释变变量量，进进行行OLSOLS估计并检验残差序列是否平稳。估计并检验残差序列是否平稳。如如果果不不平平稳稳，则则需需更更换换被被解解释释变变量量，进进行行同同样样的的OLSOLS估计及相应的残差项检验。估计及相应的残差项检验。当当所所有有的的变变量量都都被被作作为为被被解解释释变变量量检检验验之之后后，仍仍不不能能得得到到平平稳稳的的残残差差项项序序列列，则则认认为为这这些些变变量量间间不不存存在（在（d,dd,d）阶协整。）阶协整。检检验验残残差差项项是是否否平平稳稳的的DF与与ADF检检验验临临界界值值要要比比通通常常的的DF
17、与与ADF检检验验临临界界值值小小，而而且且该该临临界界值值还还受受到到所所检检验验的变量个数的影响。的变量个数的影响。MacKinnon(1991)通过模拟试验得到的不同变量协整检验的临界值。3 3、高阶单整变量的、高阶单整变量的Engle-GrangerEngle-Granger检验检验 E-G检验是针对检验是针对2个及多个个及多个I(1)变量之间的协整关变量之间的协整关系检验而提出的。系检验而提出的。在实际宏观经济研究中，经常需要检验在实际宏观经济研究中，经常需要检验2个或多个个或多个高阶单整变量之间的协整关系，虽然也可以用高阶单整变量之间的协整关系，虽然也可以用E-G两步法，但是残差单
18、位根检验的分布同样已经两步法，但是残差单位根检验的分布同样已经发生改变。发生改变。三、协整检验三、协整检验JJJJ检验检验1 1、JJ JJ检验的原理检验的原理 Johansen于于1988年，以及与年，以及与Juselius一起于一起于1990年提出了一种用向量自回归模型进行检验的年提出了一种用向量自回归模型进行检验的方法，通常称为方法，通常称为Johansen检验，或检验，或JJ检验，检验，是是一种进行多重一种进行多重I(1)序列协整检验的较好方法序列协整检验的较好方法。没有移动平均项的没有移动平均项的向量自回归模型向量自回归模型表示为：表示为：差分Yt为为M个个I(1)过程构成的向量过程
19、构成的向量 I(0)过程I(0)过程只有产生协整，才能保证新生误差是平稳过程 将将y的协整问题转变为讨论矩阵的协整问题转变为讨论矩阵的性质问题的性质问题 于是，将于是，将yt中的协整检验变成对矩阵中的协整检验变成对矩阵的分析问题。的分析问题。这就是这就是JJ检验的基本原理。检验的基本原理。2 2、JJ JJ检验的预备工作检验的预备工作 第一步：第一步：用用OLSOLS分别估计下式中的每一个方程，分别估计下式中的每一个方程，计算残差，得到残差矩阵计算残差，得到残差矩阵S S0 0，为一个，为一个(MT)(MT)阶阶矩阵。矩阵。第二步：第二步：用用OLSOLS分别估计下式中的每一个方程，分别估计下
20、式中的每一个方程，计算残差，得到残差矩阵计算残差，得到残差矩阵S S1 1，也为一个，也为一个(MT)(MT)阶矩阵。阶矩阵。第三步：第三步：构造上述残差矩阵的积矩阵：构造上述残差矩阵的积矩阵：第四步：第四步：计算有序特征值和特征向量。计算有序特征值和特征向量。第五步：第五步：设定似然函数。设定似然函数。3 3、JJJJ检验之一检验之一特征值轨迹检验特征值轨迹检验 服从Johansen分布。被称为特征值轨迹统计量。嵌套检验 ，一直检验下去，直到出现第一个不显著的，一直检验下去，直到出现第一个不显著的(Mr)为止，说明存在为止，说明存在r个协整向量。这个协整向量。这r个协整向个协整向量就是对应于
21、最大的量就是对应于最大的r个特征值的经过正规化的特个特征值的经过正规化的特征向量。征向量。4 4、JJJJ检验之一检验之一最大特征值检验最大特征值检验 该统计量被称为最大特征值统计量。于是该检验被称为最大特征值检验。嵌套检验备择假设：至多有由 Johansen和Juselius于1990年计算得到 Johansen分布临界值表。5 5、JJJJ检验实例检验实例国内生产总值国内生产总值GDP、居民消费总额、居民消费总额CONSR、政、政府消费总额府消费总额CONSP、资本形成总额、资本形成总额INV取对数后取对数后为为I(1)序列。即序列。即lnGDP、lnCONSR、lnCONSP、lnINV
22、。对它们之间的协整关系进行检验。对它们之间的协整关系进行检验。两种方法的结论是一致的。两种方法的结论是一致的。6 6、JJJJ检验中的几个具体问题检验中的几个具体问题能否适用于高阶单整序列？能否适用于高阶单整序列？JJ检验只能用于检验只能用于2个或多个个或多个I(1)变量的协整检验。变量的协整检验。对于多个高阶单整序列，采用差分或对数变换等将其对于多个高阶单整序列，采用差分或对数变换等将其变为变为I(1)序列，显然是可行的。但是，这时协整以至均序列，显然是可行的。但是，这时协整以至均衡的经济意义发生了变化，已经不反映原序列之间的衡的经济意义发生了变化，已经不反映原序列之间的结构关系。结构关系。
23、如何选择截距和时间趋势项？如何选择截距和时间趋势项？分别考虑分别考虑CE和和VAR中是否有截距和时间趋势项中是否有截距和时间趋势项作为假设作为假设显著性检验显著性检验重新检验重新检验对协整关系检验结果无显著影响（检验统计量发生变对协整关系检验结果无显著影响（检验统计量发生变化，但临界值同时发生变化）化，但临界值同时发生变化）如何在多个协整关系中作出选择？如何在多个协整关系中作出选择？一般选择对应于最大特征值的第一般选择对应于最大特征值的第1个协整关系个协整关系从应用的目的出发选择从应用的目的出发选择四、关于均衡与协整关系的讨论四、关于均衡与协整关系的讨论 协整方程等价于均衡方程？协整方程等价于
24、均衡方程？协整方程不等价于均衡方程协整方程不等价于均衡方程协整方程具有统计意义，而均衡方程具有经济协整方程具有统计意义，而均衡方程具有经济意义。时间序列之间在经济上存在均衡关系，意义。时间序列之间在经济上存在均衡关系，在统计上一定存在协整关系；反之，在统计上在统计上一定存在协整关系；反之，在统计上存在协整关系的时间序列之间，在经济上并不存在协整关系的时间序列之间，在经济上并不一定存在均衡关系。协整关系是均衡关系的必一定存在均衡关系。协整关系是均衡关系的必要条件，而不是充分条件。要条件，而不是充分条件。均衡方程中应该包含均衡系统中的所有时间序均衡方程中应该包含均衡系统中的所有时间序列，而协整方程
25、中可以只包含其中的一部分时列，而协整方程中可以只包含其中的一部分时间序列。间序列。协整方程的随机扰动项是平稳的，而均衡方程协整方程的随机扰动项是平稳的，而均衡方程的随机扰动项必须是白噪声。的随机扰动项必须是白噪声。不能由协整导出均衡，只能用协整检验均衡。不能由协整导出均衡，只能用协整检验均衡。五、结构变化时间序列的协整检验五、结构变化时间序列的协整检验 GHGH检验检验1 1、检验模型、检验模型Gregory and Hansen(1996)将将Zivot and Andrews(1992)的方法推广到协整领域。的方法推广到协整领域。提出的模型有提出的模型有3个，依次为模型个，依次为模型A、B
26、、C：2 2、检验步骤、检验步骤给定的迭代区间给定的迭代区间 内，依次假定每一个点为断点，内，依次假定每一个点为断点，逐次进行回归得到残差序列；逐次进行回归得到残差序列；作残差的单位根检验；作残差的单位根检验；得到最小的得到最小的t统计量，此最小值就是关键统计量统计量，此最小值就是关键统计量的值。的值。六、误差修正模型六、误差修正模型Error Correction Model,ECM1 1、一般差分模型的问题、一般差分模型的问题对于非稳定时间序列，可通过差分的方法将其对于非稳定时间序列，可通过差分的方法将其化为稳定序列，然后才可建立经典的回归分析化为稳定序列，然后才可建立经典的回归分析模型。
27、模型。模型只表达了模型只表达了X与与Y间的短期关系，而间的短期关系，而没有揭示它们间的长期关系没有揭示它们间的长期关系。关于变量关于变量水平值的重要信息将被忽略。水平值的重要信息将被忽略。误差项t不存在序列相关，t是一个一阶移动平均时间序列一阶移动平均时间序列，因而是序列相关的。是序列相关的。2 2、误差修正模型、误差修正模型是一种具有特定形式的计量经济学模型，它的是一种具有特定形式的计量经济学模型，它的主要形式是由主要形式是由DavidsonDavidson、Hendry Hendry、SrbaSrba和和YeoYeo于于19781978年提出的，称为年提出的，称为DHSYDHSY模型。模型
28、。由于现实经济中很少处在均衡点上，假设具有（1,1）阶分布滞后形式 Y Y的变化决定于的变化决定于X X的变化以及前一时期的非均衡的变化以及前一时期的非均衡程度程度。一阶误差修正模型一阶误差修正模型(first-order error correction model)的形式：的形式：若若(t-1)(t-1)时刻时刻Y Y大于其长期均衡解大于其长期均衡解 0 0+1 1X X，ecmecm为正，则为正，则(-(-ecm)ecm)为负，使得为负，使得 Y Yt t减少；减少；若若(t-1)(t-1)时刻时刻Y Y小于其长期均衡解小于其长期均衡解 0 0+1 1X X ，ecmecm为负，为负，则
29、则(-(-ecm)ecm)为正，使得为正，使得 Y Yt t增大。增大。体现了长期非均衡误差对短期变化的控制。体现了长期非均衡误差对短期变化的控制。复杂的复杂的ECM形式形式，例如：，例如：误差修正模型的优点：误差修正模型的优点：如：a）一阶差分项的使用消除了变量可能存在的趋势因素，从而避免了虚假回归问题；b）一阶差分项的使用也消除模型可能存在的多重共线性问题；c）误差修正项的引入保证了变量水平值的信息没有被忽视；d）由于误差修正项本身的平稳性，使得该模型可以用经典的回归方法进行估计，尤其是模型中差分项可以使用通常的t检验与F检验来进行选取；等等。3 3、误差修正模型的建立、误差修正模型的建立
30、Granger 表述定理表述定理（Granger representaion theorem）Engle 与与 Granger 1987年提出年提出 如果变量如果变量X X与与Y Y是协整的，则它们间的短期非均是协整的，则它们间的短期非均衡关系总能由一个误差修正模型表述。衡关系总能由一个误差修正模型表述。模型中没有明确指出Y与X的滞后项数，可以是多阶滞后；由于一阶差分项是I(0)变量，因此模型中允许采用X的非滞后差分项Xt。建立误差修正模型建立误差修正模型，需要：需要：首先首先对经济系统进行观察和分析，提出长期均衡关对经济系统进行观察和分析，提出长期均衡关系假设。系假设。然然后后对对变变量量进
31、进行行协协整整分分析析，以以发发现现变变量量之之间间的的协协整整关关系系，即即即即检检验验长长期期均均衡衡关关系系假假设设，并并以以这这种种关关系系构成误差修正项。构成误差修正项。最最后后建建立立短短期期模模型型，将将误误差差修修正正项项看看作作一一个个解解释释变变量量，连连同同其其它它反反映映短短期期波波动动的的解解释释变变量量一一起起，建建立立短期模型，即误差修正模型。短期模型，即误差修正模型。Engle-Granger两步法两步法第第一一步步，进进行行协协整整回回归归（OLS法法），检检验验变变量量间间的的协整关系，估计协整向量（长期均衡关系参数）；协整关系，估计协整向量（长期均衡关系参
32、数）；第第二二步步，若若协协整整性性存存在在，则则以以第第一一步步求求到到的的残残差差作作为为非非均均衡衡误误差差项项加加入入到到误误差差修修正正模模型型中中，并并用用OLS法估计相应参数。法估计相应参数。需需要要注注意意的的是是：在在进进行行变变量量间间的的协协整整检检验验时时，如如有有必必要要可可在在协协整整回回归归式式中中加加入入趋趋势势项项，这这时时，对对残残差差项的稳定性检验就无须再设趋势项。项的稳定性检验就无须再设趋势项。另另外外，第第二二步步中中变变量量差差分分滞滞后后项项的的多多少少，可可以以残残差差项项序序列列是是否否存存在在自自相相关关性性来来判判断断，如如果果存存在在自自相相关关，则应加入变量差分的滞后项。则应加入变量差分的滞后项。例题：例题：建立中国居民总量消费建立中国居民总量消费Y的误差修正模型。的误差修正模型。经检验，中国居民总量消费（经检验，中国居民总量消费（Y）与总的可支配收入）与总的可支配收入（X）的对数序列间呈协整关系。）的对数序列间呈协整关系。以以lnY关于关于lnX的协整回归中稳定残差序列作为误差修的协整回归中稳定残差序列作为误差修正项，可建立如下误差修正模型正项，可建立如下误差修正模型：滞后阶数由滞后阶数由LM检验确定检验确定