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1、小学数学知识讲座第1页，共20页，编辑于2022年，星期五一、相关知识 1.1.相关知识相关知识 关关 系系 公公 式式部总关系部总关系部分数和总数部分数和总数关系关系部分数部分数+部分数部分数=总数总数总数总数-部分数部分数=另一部分数另一部分数份数和总数关份数和总数关系系每份数每份数 份数份数=总数总数总数总数 份数份数=每份数每份数总数总数 每份数每份数=份数份数比较关系比较关系大小关系大小关系大数大数-小数小数=相差数相差数大数大数-相差数相差数=小数小数小数小数+相差数相差数=大数大数倍数关系倍数关系大数大数 小数小数=倍数倍数大数大数 倍数倍数=小数小数小数小数 倍数倍数=大数大数
2、第2页，共20页，编辑于2022年，星期五2常用公式 包括：行程问题、工效问题、比重问题、价格问题、产量问题、利率问题第3页，共20页，编辑于2022年，星期五二、基本概念1.1.分类：分类：文字题：用数学名词、术语表达数与数之间关系的题目，叫做文字题：用数学名词、术语表达数与数之间关系的题目，叫做文字题。文字题。简单应用题：有两个条件一个问题组成一个基本数量关系，用一简单应用题：有两个条件一个问题组成一个基本数量关系，用一步运算（加、减、乘、除）进行解答的应用题步运算（加、减、乘、除）进行解答的应用题复合应用题：由若干个互相联系的简单应用题复合而成的应复合应用题：由若干个互相联系的简单应用题
3、复合而成的应用题用题典型应用题：用两步或两步以上运算解答的，具有特殊结构的、典型应用题：用两步或两步以上运算解答的，具有特殊结构的、有一定解答规律的应用题有一定解答规律的应用题2.2.解题步骤：解题步骤：审题：弄清题意，并找出已知条件和所求的问题审题：弄清题意，并找出已知条件和所求的问题分析：分析题目中数量间的关系，确定先算什么，再算什么分析：分析题目中数量间的关系，确定先算什么，再算什么最后算什么最后算什么解答：确定每一步该怎样算，列出算式，并求出结果解答：确定每一步该怎样算，列出算式，并求出结果第4页，共20页，编辑于2022年，星期五检验：检查计算是否有误，答案是否符合题意写答：根据题目
4、要求，写出答案第5页，共20页，编辑于2022年，星期五三、解答应用题的方法1。基本方法分析法：从应用题的问题出发，推到已知条件，找到解决问题的主要数量关系，逐步解决问题综合法：从已知条件入手，把间接条件逐步转化为直接综合法：从已知条件入手，把间接条件逐步转化为直接条件，最后解决所求问题条件，最后解决所求问题“分析法分析法”和和“综合法综合法”是分析应用题数量关系的两种是分析应用题数量关系的两种基本方法，综合法以分析为基础，分析法以综合为指导，基本方法，综合法以分析为基础，分析法以综合为指导，两种方法总是相互结合、相互渗透的。在解应用题时，两种方法总是相互结合、相互渗透的。在解应用题时，若解题
5、过程简单，则分析法、综合法可以任意选用；若若解题过程简单，则分析法、综合法可以任意选用；若解题过程复杂，则可以依据已知和所求相互推导的繁简解题过程复杂，则可以依据已知和所求相互推导的繁简情况来选择方法，或分析法或综合法或分析情况来选择方法，或分析法或综合法或分析_综合法综合法第6页，共20页，编辑于2022年，星期五 2.2.常用方法常用方法图解法：运用线段或其他图形，把抽象的、隐蔽的数量关系表图解法：运用线段或其他图形，把抽象的、隐蔽的数量关系表示出来，从而找到解题的途径示出来，从而找到解题的途径逆推法：从已知的结果出发，利用已知条件从后往前逐步展逆推法：从已知的结果出发，利用已知条件从后往
6、前逐步展开，直到求出答案开，直到求出答案假设法：应用题中含有两个或两个以上的未知量时，先把要假设法：应用题中含有两个或两个以上的未知量时，先把要求的几个未知量假设为其中的一种数量，这样算与实际数量求的几个未知量假设为其中的一种数量，这样算与实际数量肯定会出现一个差，再根据条件找到解决这个差的办法，最肯定会出现一个差，再根据条件找到解决这个差的办法，最后求出答案。例如明明计算后求出答案。例如明明计算2020道数学竞赛题，做对一题得道数学竞赛题，做对一题得5 5分，做错一题扣分，做错一题扣3 3分，结果他得了分，结果他得了6060分，问明明做对了几题分，问明明做对了几题？分析：假设明明？分析：假设
7、明明2020道题全做对，可得道题全做对，可得100100分，实际他少得分，实际他少得4040分，少得的原因是错一题与对一题相差分，少得的原因是错一题与对一题相差8 8分。列出算式：分。列出算式：20-20-（520-60520-60）（5+35+3）演示法：借助实物演示，发现隐蔽的数量关系，找到解题途径不演示法：借助实物演示，发现隐蔽的数量关系，找到解题途径不变量法：在诸多数量的变化过程中，依据题中固定不变的数量及变量法：在诸多数量的变化过程中，依据题中固定不变的数量及其数量关系，找到解题的途径。如年龄问题。其数量关系，找到解题的途径。如年龄问题。第7页，共20页，编辑于2022年，星期五3.
8、列方程解应用题 意 义 步 骤用字母或含有字母的式子表示未知量，根据题中的等量关系列出方程，求解方程，得出未知数的值1.弄清题意：分析数量关系，找到已知条件和未知条件；2.假设x：把其一个未知数量假设为x；3.列方程：根据题中的等量关系，列出方程；4.解方程；5.验算：检验x的值是否符合原方程的题意；6.写答语：答语要写完整。第8页，共20页，编辑于2022年，星期五4.方程解法与算术解法的区别名称 共 同 点 不 同 点算术解法都是以四则运算和常见的数量关系为基础，分析题里已知量与未知间的数量关系，最后根据运算的意义列式解题未知数处于特殊的地位，始终作为解题的目标，不参加列式，运算算式中全是
9、已知数，整个算式就表示要求的未知数。求出算式的值就是所求的未知量方程解法未知数处于和已知数平行的地位，可以直接参加列式和计算，未知数和已知数组成一个相等的关系，未知数可以在方程中任何位置第9页，共20页，编辑于2022年，星期五四、应用题的题型1.1.文字题（略）文字题（略）2.2.简单应用题简单应用题（1）两数相并的关系：求总数；求和；求部分数；求剩余。（2）两数相差的关系：求两数的差；求比一个数少（多）几的数。（3）每份数、份数、总数的关系：求几个相同加数的和；等分除法；包含除法。（4 4）两数的倍数关系：求一个数的几倍是多少；求倍）两数的倍数关系：求一个数的几倍是多少；求倍数；求一倍数是
10、几数；求一倍数是几第10页，共20页，编辑于2022年，星期五3.典型应用题 和差问题：已知大、小两个数的和与它们的差，求这两个数各是多和差问题：已知大、小两个数的和与它们的差，求这两个数各是多少少和倍问题：已知大、小两个数的和与它们的倍数关系，求大、和倍问题：已知大、小两个数的和与它们的倍数关系，求大、小两个数各是多少小两个数各是多少 差倍问题：已知两个数的差，及两个数的倍数关系，求两个数各是差倍问题：已知两个数的差，及两个数的倍数关系，求两个数各是多少多少平均数问题：已知几个不同的数，在总数不变的条件下，通平均数问题：已知几个不同的数，在总数不变的条件下，通过移多补少，使它们成为相等的几份
11、，求一份是多少过移多补少，使它们成为相等的几份，求一份是多少归一问题：在解决实际问题时，有时需先求出一份是多少，再归一问题：在解决实际问题时，有时需先求出一份是多少，再求其它结果（总数或份数）求其它结果（总数或份数）归总问题：已知单位数量和计量单位数量的个数，以及不同的单归总问题：已知单位数量和计量单位数量的个数，以及不同的单位数量（或单位数量的个数），通过求总量求得单位数量位数量（或单位数量的个数），通过求总量求得单位数量 的个数的个数相遇问题：两个物体以不同的速度从两地同时出发相向而行并相遇问题：两个物体以不同的速度从两地同时出发相向而行并且相遇。且相遇。追击问题：两个物体同时从两地同向而
12、行，速度慢的在前面行，追击问题：两个物体同时从两地同向而行，速度慢的在前面行，速度快的在后面追，直到追上为止。速度快的在后面追，直到追上为止。第11页，共20页，编辑于2022年，星期五4.分数、百分数应用题求一个数是另一数的几分之几（或百分之几）求一个数是另一数的几分之几（或百分之几）求一个数的几分之几（或百分之几）是多少已知一个数的几分之几（或百分之几）是多少，求这个已知一个数的几分之几（或百分之几）是多少，求这个数数工程问题：把工作量看做单位“1”，几个单位时间完，几个单位时间完成，工作效率就是几分之几成，工作效率就是几分之几折扣问题：百分数应用题的一种。利率问题：它表示一定时间内利息数
13、与本金的比值利率问题：它表示一定时间内利息数与本金的比值第12页，共20页，编辑于2022年，星期五典型例题 一、典型应用题一、典型应用题 解决此类应用题有两大解决此类应用题有两大“法宝法宝”：一是线段图；二是方程。对此类题型的训练可以：一是线段图；二是方程。对此类题型的训练可以提高学生对数量关系的理解，更为重要的是可以提高学生解题的基本策略。提高学生对数量关系的理解，更为重要的是可以提高学生解题的基本策略。例例1.1.甲乙两人年龄的和是甲乙两人年龄的和是2929岁，已知甲比乙小岁，已知甲比乙小3 3岁，甲乙两人各多少岁？（和差问题）岁，甲乙两人各多少岁？（和差问题）解答：（解答：（29+32
14、9+3）2=162=16（岁）（岁）（29293 3）2=132=13（岁）（岁）变式：甲乙两箱共有水果变式：甲乙两箱共有水果5050千克，若从甲箱中取千克，若从甲箱中取6 6千克放到乙箱中，这时甲箱比乙箱还多千克放到乙箱中，这时甲箱比乙箱还多2 2千克，千克，求这两箱原有水果各多少千克求这两箱原有水果各多少千克？解答：甲比乙共多解答：甲比乙共多 62+2=14 62+2=14（千克）（千克）（50+1450+14）2=322=32（千克）（千克）（50501414）2=182=18（千克）（千克）例例2.2.甲乙两厂某月共生产电脑甲乙两厂某月共生产电脑664664台，甲厂的产量是乙厂的台，甲
15、厂的产量是乙厂的3 3倍，求这个月甲乙两厂各倍，求这个月甲乙两厂各生产多少台电脑？（和倍问题）生产多少台电脑？（和倍问题）变式：甲乙两数的和是变式：甲乙两数的和是3030，甲数的小数点向左移动一位后等于乙数的一半，那么甲数，甲数的小数点向左移动一位后等于乙数的一半，那么甲数是多少？是多少？例例3.3.某彩票销售点既出售福利彩票又出售体育彩票。已知购卖体育彩票的人数是购卖某彩票销售点既出售福利彩票又出售体育彩票。已知购卖体育彩票的人数是购卖福利彩票人数的福利彩票人数的4 4倍，且比购卖福利彩票的人数多倍，且比购卖福利彩票的人数多720720人。求该销售点购卖两种彩票的人。求该销售点购卖两种彩票的
16、人数各有多少人？（差倍问题）人数各有多少人？（差倍问题）变式：父亲今年比儿子大变式：父亲今年比儿子大3636岁，岁，3 3年后父亲的年龄是儿子的年后父亲的年龄是儿子的5 5倍，那么儿子今年多少岁倍，那么儿子今年多少岁？注：对注：对“和、差、倍和、差、倍”的题型，不宜让学生记忆解题的模式，在三、四年级训练重心放在应用的题型，不宜让学生记忆解题的模式，在三、四年级训练重心放在应用线段图解题的策略培养，高年级宜采用方程法解题。线段图解题的策略培养，高年级宜采用方程法解题。第13页，共20页，编辑于2022年，星期五 例例4.4.某班学习小组有某班学习小组有1212人，一次数学测验只有人，一次数学测验
17、只有1010人参加，平均分是人参加，平均分是81.581.5分。后来，缺考的李明和张红进行补考，李明的补考成绩比原有分。后来，缺考的李明和张红进行补考，李明的补考成绩比原有1010人的人的平均分少平均分少1.51.5分，而张红的补考成绩却比分，而张红的补考成绩却比1212人的平均分多人的平均分多12.512.5分。张红考分。张红考了多少分？（求平均数问题）了多少分？（求平均数问题）平均的基本思想是平均的基本思想是“移多补少移多补少”，很多问题都是从这一角度进行思考。，很多问题都是从这一角度进行思考。解答解答（12.512.51.51.5）（12121 1）+81.5+12.5=95+81.5+
18、12.5=95（分）（分）变式：变式：1515个同学分读书卡，平均每人分到个同学分读书卡，平均每人分到7 7张；又来了若干个同学，大家重新分张；又来了若干个同学，大家重新分配，平均每人分到配，平均每人分到5 5张，问来了几个同学？张，问来了几个同学？解答：解答：1515（7 75 5）5=65=6（人）（人）例例5.5.有一个长方形的操场，长有一个长方形的操场，长4545米，宽米，宽3030米，如果沿着它的周围每隔米，如果沿着它的周围每隔3 3米种一棵米种一棵树，一共需要种树多少棵？（植树问题）树，一共需要种树多少棵？（植树问题）解答（解答（45+3045+30）23=5023=50（棵）（棵
19、）例例6.6.小明的妈妈买来一篮鸡蛋，小明第一天吃了鸡蛋总数的小明的妈妈买来一篮鸡蛋，小明第一天吃了鸡蛋总数的1/71/7，第二天吃，第二天吃了余下的了余下的1/41/4，第三、四天都吃了上一天余下的鸡蛋数的，第三、四天都吃了上一天余下的鸡蛋数的1/31/3，第五天吃了余，第五天吃了余下的下的1/21/2，第六天吃了余下的最后，第六天吃了余下的最后2 2个鸡蛋。小明的妈妈共买了多少个鸡蛋？个鸡蛋。小明的妈妈共买了多少个鸡蛋？（还原问题）（还原问题）年龄问题、归一问题（略）年龄问题、归一问题（略）第14页，共20页，编辑于2022年，星期五二、分数、百分数应用题 较复杂的分数应用常在以下几个方面
20、进行变化：较复杂的分数应用常在以下几个方面进行变化：多个分率往往没多个分率往往没有统一的单位有统一的单位“1 1”；单位单位“1 1”发生了变化；发生了变化；分率与量没有分率与量没有对应关系；对应关系；对应关系较为隐蔽、复杂等。对应关系较为隐蔽、复杂等。例例1.1.某市中小学参加数学竞赛的结果是：小学和初中获奖人数占某市中小学参加数学竞赛的结果是：小学和初中获奖人数占获奖总人数的获奖总人数的7/117/11；初中和高中获奖的人数比获奖总人数的；初中和高中获奖的人数比获奖总人数的2/32/3多多3 3人；已知初中获奖的有人；已知初中获奖的有4343人，获奖总人数是多少？（关键在寻求人，获奖总人数
21、是多少？（关键在寻求量与分率的对应）量与分率的对应）解答（解答（43433 3）（7/11+2/37/11+2/31 1）=132(=132(人人)例例2.2.六年级有两个班，把一班人数的六年级有两个班，把一班人数的2/152/15调入到二班，这时二调入到二班，这时二班人数的班人数的3/53/5是一班人数的是一班人数的3/43/4，原来一班人数占全年级人数的，原来一班人数占全年级人数的份数是多少？（重在单位份数是多少？（重在单位“1 1”的统一）的统一）此题并未出现具体的量，将一班人数作为单位此题并未出现具体的量，将一班人数作为单位“1”“1”时，可时，可得出各个分率，就可看作相应的得出各个分
22、率，就可看作相应的“量量”进行计算。这种能力进行计算。这种能力是我们的在校生比较薄弱的。是我们的在校生比较薄弱的。解答：解答：1 1（13/1213/122/15+12/15+1）=20/39=20/39第15页，共20页，编辑于2022年，星期五现代经济中的热点问题例例1.1.某食品店将进货单价为某食品店将进货单价为1212元元/千克的水果糖按单价千克的水果糖按单价1515元元/千克出售时，每天可售出千克出售时，每天可售出9090千克。现该店想提高售价，千克。现该店想提高售价，增加利润。但市场规律是：水果糖每千克提价增加利润。但市场规律是：水果糖每千克提价1 1元，其销售量每天就减少元，其销
23、售量每天就减少6 6千克。问商家定价为多少时，每天获利千克。问商家定价为多少时，每天获利最大？最大？例例2.2.某报纸上报道了两则广告，甲商厦实行有奖销售：特等奖某报纸上报道了两则广告，甲商厦实行有奖销售：特等奖1000010000元元1 1名，一等奖名，一等奖10001000元元2 2名，二等奖名，二等奖100100元元1010名，名，三等奖三等奖5 5元元200200名；乙商厦则实行九五折优惠销售。请你想一想：哪一种销售方式更吸引人？哪一家商厦提供给消名；乙商厦则实行九五折优惠销售。请你想一想：哪一种销售方式更吸引人？哪一家商厦提供给消费者的优惠大？费者的优惠大？例例3.3.小周购买了一部
24、手机想入网。朋友小王介绍他加入中国联通小周购买了一部手机想入网。朋友小王介绍他加入中国联通130130网，收费标准是：月租费网，收费标准是：月租费3030元，每月来电显元，每月来电显示费示费6 6元，本地电话费每分钟元，本地电话费每分钟0.40.4元；朋友小李向他推荐中国电信的元；朋友小李向他推荐中国电信的“神州行神州行”储值卡，收费标准是：本地电储值卡，收费标准是：本地电话每分钟话每分钟0.60.6元，月租费和来电显示费全免了。小周的亲戚朋友都在本地，他也想拥有来电显示服务，元，月租费和来电显示费全免了。小周的亲戚朋友都在本地，他也想拥有来电显示服务，请问该选择哪一家更为省钱？请问该选择哪一
25、家更为省钱？1.1.某商店把一批存货当作处理品出售，若降低定价的某商店把一批存货当作处理品出售，若降低定价的5%5%出售，可盈利出售，可盈利430430元；若降低定价的元；若降低定价的25%25%出出售，亏损售，亏损250250元。商品购入价应是多少元？（元。商品购入价应是多少元？（28002800元）元）2.2.某商场原来将一批水果按某商场原来将一批水果按100%100%的利润定价出售，由于定价过高，无人购卖，不得不按的利润定价出售，由于定价过高，无人购卖，不得不按78%78%的利的利润重新定价，这样售出了其中的润重新定价，这样售出了其中的40%.40%.此时，因害怕剩余的水果腐烂，不得不再
26、次降价售出了剩余此时，因害怕剩余的水果腐烂，不得不再次降价售出了剩余的全部水果，结果实际获得的总利润是原定利润的的全部水果，结果实际获得的总利润是原定利润的30.2%.30.2%.请问第二次降价后的价格是原定价的百请问第二次降价后的价格是原定价的百分之几？（得数保留一位小数）（分之几？（得数保留一位小数）（49.2%49.2%）3.3.新新商贸公司为客户销售货物收取新新商贸公司为客户销售货物收取3%3%的服务费，代客户购买物品时收取的服务费，代客户购买物品时收取2%2%的服务费，今的服务费，今有一客户委托公司销售自产的某种物品和代为购置新设备，已知该公司共收取了客户服务费有一客户委托公司销售自
27、产的某种物品和代为购置新设备，已知该公司共收取了客户服务费264264元，客户恰好收支平衡，报购置的新设备花了多少元？（元，客户恰好收支平衡，报购置的新设备花了多少元？（5224.035224.03元）元）第16页，共20页，编辑于2022年，星期五三、工程问题 例例1.1.师徒二人合作加工一批零件，需师徒二人合作加工一批零件，需2424天完成。现在先由师傅单独加工天完成。现在先由师傅单独加工1010天，天，再由徒弟单独加工再由徒弟单独加工3030天，这时共加工了这批零件的天，这时共加工了这批零件的75%75%，问徒弟每天能加工，问徒弟每天能加工这批零件的几分之几？这批零件的几分之几？解答解答
28、（75%75%1/24101/2410）（30301010）例例2.2.一件工作，甲单独做需一件工作，甲单独做需5050天完成，乙单独做需天完成，乙单独做需7575天完成。先由甲、乙合做，天完成。先由甲、乙合做，中途乙因故停工，结果经过中途乙因故停工，结果经过4040天才完成全部工作。问乙做了多少天？天才完成全部工作。问乙做了多少天？解答（解答（1 11/50401/5040）1/751/75 例例3.3.甲乙丙三人承包一项工程，发给他们的工资共甲乙丙三人承包一项工程，发给他们的工资共18001800元，三人完成这项工程的元，三人完成这项工程的具体情况是：甲乙两人合作具体情况是：甲乙两人合作6
29、 6天完成了工程的天完成了工程的1/31/3；因甲有事，由乙丙合作；因甲有事，由乙丙合作2 2天，天，完成余下工程的完成余下工程的1/41/4；以后三人合作；以后三人合作5 5天完成了这项工程。按完成工作量的多少来天完成了这项工程。按完成工作量的多少来付酬，每人应得多少元？付酬，每人应得多少元？例例4.4.一项工程，如果乙单独做要一项工程，如果乙单独做要1717天完成；如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替天完成；如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，恰好用整天数完工；如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，比上轮流做，恰好用整天数完工；如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，比上
30、次轮流的做法要多半天才能完成。如果甲单独做，完成这项工程需要多少天？次轮流的做法要多半天才能完成。如果甲单独做，完成这项工程需要多少天？第17页，共20页，编辑于2022年，星期五四、行程问题例1.自行车出发20分钟后，通信员骑摩托车去追他们，在距出发点12千米的地方追上了自行车队，然后通信员立即返回出发点，到出发点后又立即去追继续前进的自行车队，再追上时恰好离出发点24千米。求自行车和摩托车的速度各是多少？（假设自行车和摩托车的速度都是匀速）例2.甲从A到B需要6小时，乙从B到A的速度是甲的3/4.现在甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，在途中相遇后，两人继续以原速前进，各自到达对方
31、出发地后又立即返回，在途中又一次相遇。已知这两个相遇地点相距60千米。求甲每小时行多少千米？第18页，共20页，编辑于2022年，星期五五、比和比例的应用 1.A1.A、B B、C C三根木棒插在水池中，三根木棒长度和是三根木棒插在水池中，三根木棒长度和是360360厘米，厘米，A A棒有棒有3/43/4露在水面外，露在水面外，B B棒有棒有4/74/7露在水面外，露在水面外，C C棒有棒有2/52/5露在水面外。水池露在水面外。水池的水有多少厘米深？（的水有多少厘米深？（4545）2.2.王师傅要加工一批零件，若每小时多加工王师傅要加工一批零件，若每小时多加工1212个零件，则所用时个零件，
32、则所用时间比原计划少间比原计划少1/91/9；若每小时少加工；若每小时少加工1616个零件，则所用时间比原来个零件，则所用时间比原来多多3/53/5小时。这批零件共有多少个？小时。这批零件共有多少个？解答：第一次时间比：解答：第一次时间比：8 8：9 9则现在的效率：原来的效率则现在的效率：原来的效率=9=9：8 8故：原效率为故：原效率为1212（9 98 8）8=968=96（个）（个）第二次效率比：第二次效率比：8080：96=596=5：6 6则第二次时间比：则第二次时间比：6 6：5 5故：故：3/5(63/5(65)5=35)5=3（小时）（小时）零件总数：零件总数：963=288963=288（个）（个）第19页，共20页，编辑于2022年，星期五六、其它问题盈亏问题公约数与公倍数极值问题推理问题第20页，共20页，编辑于2022年，星期五