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1、两体与质心第1页，此课件共60页哦1 两体系统概论两体系统概论 两质点系统是最简单的质点系统两质点系统是最简单的质点系统统称统称两体问题。两体问题。两两体体问问题题最基本特征就是最基本特征就是动量角动量守恒动量角动量守恒最简单的双星和氢原子运动最简单的双星和氢原子运动第2页，此课件共60页哦2 两体系统的动力学问题两体系统的动力学问题1 处理方法处理方法（1）联立方程法）联立方程法对两个质点分别写出牛顿动力学对两个质点分别写出牛顿动力学方程，共两个矢量方程（二维空间中，有四个标量方方程，共两个矢量方程（二维空间中，有四个标量方程）。程）。（2）等效一体法）等效一体法写出两体的质心运动方程和两质
2、写出两体的质心运动方程和两质点相对运动方程，也有两个矢量方程。点相对运动方程，也有两个矢量方程。第3页，此课件共60页哦 对于两体问题，用第（对于两体问题，用第（2）种方法是明智的，）种方法是明智的，尤其对孤立系统的质心不必通过动力学方程求解，尤其对孤立系统的质心不必通过动力学方程求解，直接由初始条件就可以得到质心的速度，如此，直接由初始条件就可以得到质心的速度，如此，只需求解两体的相对运动方程就可以了。只需求解两体的相对运动方程就可以了。值得指出的是，尤其当两体之间的相互作用内力值得指出的是，尤其当两体之间的相互作用内力是两体相对位矢的函数（例如万有引力，库仑力，是两体相对位矢的函数（例如万
3、有引力，库仑力，分子力等）时，用等效一体化方法求解此类问题，分子力等）时，用等效一体化方法求解此类问题，尤为便捷和有趣。尤为便捷和有趣。第4页，此课件共60页哦2 2 两体系统的质心两体系统的质心两体质心的平面坐标两体质心的平面坐标 两体质心的速度两体质心的速度 同理可定义两体质心的加速度同理可定义两体质心的加速度 第5页，此课件共60页哦O Omm1 1mm2 2设质点设质点1和质点和质点2的质量分别为的质量分别为m1和和m2，位矢分别为，位矢分别为 和和 ，由牛顿运动定律，可得由牛顿运动定律，可得令令 相对加速度相对加速度 折合质量折合质量3 3 孤立两体系统的动力学方程孤立两体系统的动力
4、学方程第6页，此课件共60页哦讨论：讨论：（1 1）质点）质点）质点）质点1 1所遵循的动力学方程的形式与质点所遵循的动力学方程的形式与质点所遵循的动力学方程的形式与质点所遵循的动力学方程的形式与质点2 2形式相形式相形式相形式相同，同，同，同，1 21 2。（1）（2 2）方程）方程）方程）方程1 1既是质点既是质点既是质点既是质点1 1在质心系中的动力学方程，又是质在质心系中的动力学方程，又是质在质心系中的动力学方程，又是质在质心系中的动力学方程，又是质点点点点2 2在质心系中的方程（证明从略）。质点在质心系中的方程（证明从略）。质点在质心系中的方程（证明从略）。质点在质心系中的方程（证明
5、从略）。质点1 1和和和和2 2在质心在质心在质心在质心系中的动力学的另一种表达式为：系中的动力学的另一种表达式为：系中的动力学的另一种表达式为：系中的动力学的另一种表达式为：其中其中其中其中第7页，此课件共60页哦水平面上有一辆质量为水平面上有一辆质量为M的小车，车内有一平台，平台的小车，车内有一平台，平台上有一根轻质弹簧，弹簧一端与小车的后壁固定，将弹上有一根轻质弹簧，弹簧一端与小车的后壁固定，将弹簧压缩一定线度后锁定，并将一个质量为簧压缩一定线度后锁定，并将一个质量为m的小球靠在的小球靠在压缩弹簧的自由端，解除锁定，弹簧可将小球弹出，压缩弹簧的自由端，解除锁定，弹簧可将小球弹出，小球飞出
6、平台落在地板上。求下面两种情况下小球在小球飞出平台落在地板上。求下面两种情况下小球在车内落地点与平台边缘的水平距离之比，（车内落地点与平台边缘的水平距离之比，（1）小车）小车固定；（固定；（2）小车不固定。计算时忽略一切摩擦。）小车不固定。计算时忽略一切摩擦。第8页，此课件共60页哦设弹簧弹性势能为设弹簧弹性势能为E，小车，小车固定，小球弹出时速度为固定，小球弹出时速度为v1，有有小车不固定，小球弹出时相对速度为小车不固定，小球弹出时相对速度为v2，有，有两次距离之比等于速度之比，即两次距离之比等于速度之比，即第9页，此课件共60页哦如图所示，一质量为如图所示，一质量为M、长为、长为L的长方形
7、木板的长方形木板B放在放在光滑的水平地面上，在其右端放一质量为光滑的水平地面上，在其右端放一质量为m的小木块的小木块A，m0m分析碰撞过程分析碰撞过程第一次碰撞用时第一次碰撞用时第第k次碰撞用时次碰撞用时第45页，此课件共60页哦A，B系统的质心加速度系统的质心加速度在在tk时间内质心位移时间内质心位移A球的位移球的位移电场力对电场力对A所做的功所做的功第46页，此课件共60页哦F FMMmmmm12内、外半径几乎同为内、外半径几乎同为R、质量为、质量为M的均质圆环，的均质圆环，静止地平放在水平桌面上，环内某直径的两端各静止地平放在水平桌面上，环内某直径的两端各有一个质量同为有一个质量同为m的
8、静止小球。令从的静止小球。令从t=0开始，用开始，用一个恒定的水平外力一个恒定的水平外力F拉环，拉环，F方向的反向延长线方向的反向延长线通过环心，且与上述直径垂直，如图所示。设系统处通过环心，且与上述直径垂直，如图所示。设系统处处无摩擦，小球是刚性球，小球间的碰撞是完全弹性处无摩擦，小球是刚性球，小球间的碰撞是完全弹性的。的。（1）计算碰撞前瞬间两小）计算碰撞前瞬间两小球相对速度的大小；球相对速度的大小；（2）计算碰撞前瞬间圆环）计算碰撞前瞬间圆环相对桌面的加速度大小。相对桌面的加速度大小。第47页，此课件共60页哦4 4 两体系统能量和动量问题两体系统能量和动量问题第48页，此课件共60页哦
9、3 孤立两体系统的动量守恒孤立两体系统的动量守恒 由于孤立系统不受外力作用，它的基本特征由于孤立系统不受外力作用，它的基本特征就是系统的动量守恒，系统对某一参考系（姑就是系统的动量守恒，系统对某一参考系（姑且称为实验室系）的总动量等于该系统在质心且称为实验室系）的总动量等于该系统在质心的质心动量，因此，对于动量守恒的系统，以的质心动量，因此，对于动量守恒的系统，以质心为系有极大的优越性，故在高能物理和核质心为系有极大的优越性，故在高能物理和核物理中，研究粒子散射问题时，科学家经常利物理中，研究粒子散射问题时，科学家经常利用质心坐标系是非常方便的。用质心坐标系是非常方便的。第49页，此课件共60
10、页哦质心系是系统动量为零的坐标系，也就是说各质点相对于质心的动量的矢量和（不是速度的矢量和）等于零，对于在原子核物理高能物理中的两体散射（碰撞）问题或粒子衰变问题中，反应前后的产物的动量大小一定相等，方向相反，对分析和计算此类问题非常简便。实验室系实验室系质心系质心系第50页，此课件共60页哦13.两个具有相同能量和相同质量的粒子两个具有相同能量和相同质量的粒子1和和2在实验室在实验室系中作如图所示的碰撞，在实验室系中粒子的速度大系中作如图所示的碰撞，在实验室系中粒子的速度大小为小为u，碰撞角为，碰撞角为。在质心系看来，这两个粒子作对。在质心系看来，这两个粒子作对心正碰撞。心正碰撞。（1）求质
11、心系的速度；）求质心系的速度；（2）将碰撞前质心系中的总动能和实验室系中的总）将碰撞前质心系中的总动能和实验室系中的总动能作比较，将结果用速度动能作比较，将结果用速度u和碰撞角和碰撞角表示出来。表示出来。）x xy ymmu uu umm1 12 2第51页，此课件共60页哦第52页，此课件共60页哦对于孤立的两体系统，其动能定理可表述为：对于孤立的两体系统，其动能定理可表述为：两体孤立系统的动能定理两体孤立系统的动能定理无论是质心系还是实验室系，相对动能都可表示为无论是质心系还是实验室系，相对动能都可表示为第53页，此课件共60页哦核反应中的资用能核反应中的资用能第54页，此课件共60页哦1
12、4.粒子物理中的夸克碎裂可用下面力学模型模拟。有三粒子物理中的夸克碎裂可用下面力学模型模拟。有三个质量相等的质点，质点个质量相等的质点，质点1与质点与质点2中间夹置一个被充分中间夹置一个被充分压缩了的轻质极短弹簧，并用轻质细线束缚在一起（此压缩了的轻质极短弹簧，并用轻质细线束缚在一起（此时两个质点可以当成是一个整体），静止地放在光滑水时两个质点可以当成是一个整体），静止地放在光滑水平面上，另一个质点平面上，另一个质点3沿该平面射向它们，质点沿该平面射向它们，质点1和质和质点点3相碰撞并粘在一起运动（由于弹簧极短，此时只考相碰撞并粘在一起运动（由于弹簧极短，此时只考虑整体的平动），在运动过程中用
13、遥控使轻质细线绷断，虑整体的平动），在运动过程中用遥控使轻质细线绷断，弹簧释放，三个质点分成两部分：一部分是质点弹簧释放，三个质点分成两部分：一部分是质点2，另，另一部分是粘在一起的质点一部分是粘在一起的质点1和质点和质点3。已知弹簧被压缩。已知弹簧被压缩时的弹性势能是时的弹性势能是EP。第55页，此课件共60页哦为了使被释放的质点为了使被释放的质点2的散射角保持在的散射角保持在30之内，求之内，求质点质点3入射时的动能应满足什么条件？注：此处散射入射时的动能应满足什么条件？注：此处散射角是指质点角是指质点2射出后的运动方向与质点射出后的运动方向与质点3入射时的运动入射时的运动方向之间的夹角。
14、方向之间的夹角。第56页，此课件共60页哦解：质点解：质点1、2、3的共同速度为的共同速度为v，有，有（1）下面在质心系中讨论：设质点散射后，质点下面在质心系中讨论：设质点散射后，质点2的的速率为速率为 ，1、3的速率为的速率为 ，由动量守恒和能，由动量守恒和能量守恒，得量守恒，得（2）（3）解的解的（4）第57页，此课件共60页哦质点质点2在实验室系中的速度在实验室系中的速度 满足满足（5）由矢量示意图，可以看出由矢量示意图，可以看出（6）故质点故质点2的入射动能的入射动能（7）第58页，此课件共60页哦质心系问题小结对于复杂的质点系的动力学问题，应有质心系的动量定理和功能关系会使问题变得简
15、单，因为质心的运动加速度决定于系统的外力，而对于孤立系统，应用质心系处理显得尤为简明。这是因为：（1）孤立系统的质心速度不变，质心的总动能不变，在质心系中讨论能量问题时，只研究不同状态下各质点相对于质心的动能变化，或质点间的相对动能变化（主要对两体问题）第59页，此课件共60页哦问题问题1 1：质心与重心有区别吗？：质心与重心有区别吗？问题问题2 2：质点系的总动量一定等于质心的动量吗：质点系的总动量一定等于质心的动量吗？问题问题3 3：质点系的总动能一定等于质心的动能：质点系的总动能一定等于质心的动能吗？吗？问题问题4 4：质点系对空间某一点的总角动量一定等：质点系对空间某一点的总角动量一定等于质心对该点的角动量吗？于质心对该点的角动量吗？第60页，此课件共60页哦