弹性力学精选PPT.ppt

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1、关于弹性力学关于弹性力学第1页，讲稿共93张，创作于星期日主主 要要 内内 容容2-1 2-1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题2-2 2-2 平衡微分方程平衡微分方程2-3 2-3 平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态2-4 2-4 几何方程几何方程 刚体位移刚体位移2-5 2-5 物理方程物理方程2-6 2-6 边界条件边界条件2-7 2-7 圣维南原理及其应用圣维南原理及其应用2-8 2-8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题2-9 2-9 按应力求解平面问题按应力求解平面问题 相容方程相容方程2-10 2-10 常体力情况下的简化常体力情况下的简化 应

2、力函数应力函数第2页，讲稿共93张，创作于星期日2-1 2-1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题1.平面应力问题平面应力问题(1)几何特征几何特征xyyztba 一个方向的尺寸比另两个方一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。向的尺寸小得多。平板平板如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等(2)受力特征受力特征外力外力（体力、面力）和（体力、面力）和约束约束，仅，仅平行于板面作用平行于板面作用，沿，沿 z 方向不变化。方向不变化。第3页，讲稿共93张，创作于星期日xyyztba(3)应力特征应力特征如图选取坐标系，以板的中面为如图选取

3、坐标系，以板的中面为xy 平面，垂直于中面的任一直线为平面，垂直于中面的任一直线为 z 轴。轴。由于板面上不受力，有由于板面上不受力，有因板很薄，且外力沿因板很薄，且外力沿 z 轴方向不变。轴方向不变。可认为可认为整个薄板的各整个薄板的各点点都有：都有：由剪应力互等定理，有由剪应力互等定理，有结论：结论：平面应力问题只有三个应力分量：平面应力问题只有三个应力分量：xy应变分量、位移分量也仅为应变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数，与的函数，与 z 无关。无关。第4页，讲稿共93张，创作于星期日2.平面应变问题平面应变问题(1)几何特征几何特征水坝水坝滚柱滚柱厚壁圆筒厚壁圆筒 一个方向的尺寸比

4、另两一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸个方向的尺寸大得多大得多，且，且沿长沿长度方向几何形状和尺寸不变化度方向几何形状和尺寸不变化。近似认为无限长近似认为无限长(2)外力特征外力特征 外力外力（体力、面力）（体力、面力）平行于横截面平行于横截面作用，作用，且且沿长度沿长度 z 方向不变化方向不变化。约束约束 沿长度沿长度 z 方向不变化方向不变化。(3)变形特征变形特征 如图建立坐标系：以任一横截面为如图建立坐标系：以任一横截面为 xy 面，任一纵线为面，任一纵线为 z 轴。轴。设设 z方向为无限长，则方向为无限长，则沿沿 z 方向都不变化，方向都不变化，仅为仅为 x，y 的函数。的函数。任一横

5、截面均可视为对称面任一横截面均可视为对称面第5页，讲稿共93张，创作于星期日水坝水坝因为任一横截面均可视为对称面，则有因为任一横截面均可视为对称面，则有所有各点的位移矢量都平行于所有各点的位移矢量都平行于 x y 平面。平面。平面位移问题平面位移问题 平面应变问题平面应变问题注：注：(1)平面应变问题中平面应变问题中但是，但是，(2)平面应变问题中应力分量：平面应变问题中应力分量：仅为仅为 x y 的函数。的函数。可近似为平面应变问题的例子：可近似为平面应变问题的例子：煤矿巷道的变形与破坏分析；挡土墙；重力坝等。煤矿巷道的变形与破坏分析；挡土墙；重力坝等。第6页，讲稿共93张，创作于星期日 如

6、图所示三种情形，是否都属平面问题？是平面应力如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平面应力问题还是平面应变问题？问题还是平面应变问题？平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题非平面问题非平面问题第7页，讲稿共93张，创作于星期日两类平面问题：两类平面问题：平面应力问题平面应力问题几何特征几何特征受力特征受力特征应力应力特征特征平面应变问题平面应变问题几何特征几何特征;受力特征受力特征;应变应变特征。特征。xyyztba水水坝坝滚滚柱柱第8页，讲稿共93张，创作于星期日3.平面问题的求解平面问题的求解问题：问题：已知：外力（体力、面力）、边界条件，已知：外力（体力、面力）、边界条件，求：

7、求：仅为仅为 x y 的函数的函数需建立三个方面的关系：需建立三个方面的关系：（1）静力学关系：）静力学关系：（2）几何学关系：）几何学关系：（3）物理学关系：）物理学关系：形变形变与与应力应力间的关系。间的关系。应力应力与与体力、面力体力、面力间的关系；间的关系；形变形变与与位移位移间的关系；间的关系；建立边界条件：建立边界条件：平衡微分方程平衡微分方程 几何方程几何方程 物理方程物理方程（1）应力边界条件；）应力边界条件；（2）位移边界条件；）位移边界条件；第9页，讲稿共93张，创作于星期日2-2 2-2 平衡微分方程平衡微分方程PBACxyO取微元体取微元体PABC（P点附近点附近），）

8、，DfxfyZ 方向取单位长度。方向取单位长度。设设P点应力已知：点应力已知：体力：体力：fx，fyAC面：面：BC面：面：注：注：这里用了小变形假定，以变形前的尺寸代这里用了小变形假定，以变形前的尺寸代替变形后尺寸。替变形后尺寸。第10页，讲稿共93张，创作于星期日PBACxyODfxfy由微元体由微元体PABC平衡，得平衡，得整理得：整理得：当当时，有时，有 剪应力互等定理剪应力互等定理第11页，讲稿共93张，创作于星期日PBACxyODfxfy两边同除以两边同除以dx dy，并整理得：，并整理得：两边同除以两边同除以dx dy，并整理得：，并整理得：第12页，讲稿共93张，创作于星期日平

9、面问题的平衡微分方程：平面问题的平衡微分方程：（2-2）说明：说明：（1）两个平衡微分方程，三个未知量：）两个平衡微分方程，三个未知量：超静定问题，需找补充方程才能求解。超静定问题，需找补充方程才能求解。（2）对于平面应变问题，）对于平面应变问题，x、y方向的平衡方程相同，方向的平衡方程相同，z方向自成方向自成平衡，上述方程平衡，上述方程两类平面问题均适用两类平面问题均适用；（3）平衡方程中不含）平衡方程中不含E、，方程与材料性质无关方程与材料性质无关（钢、石（钢、石料、混凝土等）；料、混凝土等）；（4）平衡方程对）平衡方程对整个弹性体内都满足整个弹性体内都满足，包括边界。，包括边界。PBAC

10、xyODfxfy第13页，讲稿共93张，创作于星期日2-3 2-3 平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态1.斜面上的应力斜面上的应力（1）斜面上应力在坐标方向的分量）斜面上应力在坐标方向的分量px，pyxyOdxdydsPABppxpyN设设P点的应力分量已知：点的应力分量已知：斜面斜面AB上的应力矢量上的应力矢量:p 斜面外法线斜面外法线 N 的关于坐标轴的方向余弦：的关于坐标轴的方向余弦：由微元体平衡：由微元体平衡：整理得：整理得：（2-3）整理得：整理得：（2-4）外法线外法线 同样，由同样，由 第14页，讲稿共93张，创作于星期日xyOdxdydsPABppxpyN（2）斜

11、面上的正应力与剪应力）斜面上的正应力与剪应力（2-3）（2-4）将式（将式（2-3）（）（2-4）代入，并整理得：）代入，并整理得：（2-5）（2-6）说明：说明：（1）运用了剪应力互等定理：）运用了剪应力互等定理：（2）的正负号规定：的正负号规定：将将 N 转动转动90而到达而到达 的方向是顺时针的，的方向是顺时针的，则该则该 为正；反之为负。为正；反之为负。任意斜截面上应力计算公式任意斜截面上应力计算公式（3）若）若AB面为物体的边界面为物体的边界S，则，则（2-18）平面问题的应力边界条件平面问题的应力边界条件第15页，讲稿共93张，创作于星期日2.一点的主应力与应力主向一点的主应力与应

12、力主向xyOdxdydsPABppxpyN（1）主应力）主应力 若某一斜面上若某一斜面上 ，则该斜面上的正，则该斜面上的正应力应力 称为该点一个称为该点一个主应力主应力 ；当当 时，有时，有求解得：求解得：（2-7）平面应力状态主应力的计算公式平面应力状态主应力的计算公式第16页，讲稿共93张，创作于星期日主应力主应力 所在的平面所在的平面 称为称为主平面主平面；主应力主应力 所在平面的法线方向所在平面的法线方向 称为称为应力主向应力主向；由式（由式（2-7）易得：）易得：平面应力状态平面应力状态应力第一不变量应力第一不变量（2）应力主向）应力主向 设设1 与与 x 轴的夹角为轴的夹角为1，1

13、与坐标轴正向的方向与坐标轴正向的方向余弦为余弦为 l1、m1，则则 设设2 与与 x 轴的夹角为轴的夹角为2，2与坐标轴正向的方向余弦为与坐标轴正向的方向余弦为 l2、m2，则则第17页，讲稿共93张，创作于星期日应力主向的计算公式：应力主向的计算公式：（2-8）由由得得显然有显然有表明：表明：1 与与 2 互相垂直。互相垂直。结论结论任一点任一点P，一定存在两，一定存在两 互相垂直互相垂直的主应力的主应力1 、2。（3）N 的主应力表示的主应力表示xyOpdxdydsPABN由由1 与与 2 分别为最大和最小应力分别为最大和最小应力。第18页，讲稿共93张，创作于星期日（4）一点的最大应力与

14、最小应力：）一点的最大应力与最小应力：最大、最小正应力：最大、最小正应力：由：由：表明表明：主应力主应力 中，一定包含最大、最小正应力。中，一定包含最大、最小正应力。xyOdxdydsPABNs最大、最小剪应力：最大、最小剪应力：由由第19页，讲稿共93张，创作于星期日显然，当显然，当时，时，N为最大、最小值：为最大、最小值：由由得，得，max、min 的方向与的方向与1 （2）成成45。最大、最小剪应力最大、最小剪应力由由xyOdxdydsPABNs第20页，讲稿共93张，创作于星期日前面内容回顾与小结：前面内容回顾与小结：基本假定：基本假定：（1）连续性假定；连续性假定；（2）线弹性假定；

15、线弹性假定；（3）均匀性假定；均匀性假定；（4）各向同性假定；各向同性假定；（5）小变形假定。）小变形假定。（掌握这些假定的含义及作用掌握这些假定的含义及作用）第21页，讲稿共93张，创作于星期日（1）两类平面问题：）两类平面问题：平面应力问题平面应力问题几何特征几何特征受力特征受力特征应力应力特征特征平面应变问题平面应变问题几何特征几何特征;受力特征受力特征;应变应变特征。特征。xyyztba水水坝坝滚滚柱柱第22页，讲稿共93张，创作于星期日（2）平面问题的平衡微分方程）平面问题的平衡微分方程：（2-2）xyOdxdydsPABppxpyN（2-3）（2-4）（2-5）（2-6）（2-18

16、）平面问题的应力边界条件平面问题的应力边界条件（3）斜面上的应力）斜面上的应力第23页，讲稿共93张，创作于星期日（2-8）表明：表明：1 与与 2 互相垂直。互相垂直。（4）一点的主应力、应力主向、最大最小）一点的主应力、应力主向、最大最小应力应力（2-7）max、min 的方向与的方向与1 （2）成成45。第24页，讲稿共93张，创作于星期日2-4 2-4 几何方程几何方程 刚体位移刚体位移建立：建立：平面问题中应变与位移的关系平面问题中应变与位移的关系 几何方程几何方程1.几何方程几何方程一点的变形一点的变形线段的线段的伸长或缩短伸长或缩短；线段间的相对线段间的相对转动转动；xyOP考察

17、考察P点邻域点邻域内线段的变形：内线段的变形：AdxBdyuv变形前变形前变形后变形后PABuv注：注：这里略去了二阶以上高阶无穷小量。这里略去了二阶以上高阶无穷小量。第25页，讲稿共93张，创作于星期日xyOPAdxBdyuvPA的正应变：的正应变：PB的正应变：的正应变：P点的剪应变：点的剪应变：P点两点两直角线段夹角直角线段夹角的变化的变化第26页，讲稿共93张，创作于星期日xyOPAdxBdyuv整理得：整理得：几何方程几何方程（2-9）说明：说明：（1）反映任一点的反映任一点的位移位移与该点与该点应变应变间的关系，间的关系，是弹性力学的基本方程之一。是弹性力学的基本方程之一。（2）当

18、当 u、v 已知，则已知，则 可完全确定；可完全确定；（积分需要确定积分常数，由边界条件决定。）积分需要确定积分常数，由边界条件决定。）（3）以两线段夹角以两线段夹角减小为正减小为正，增大为负增大为负。反之，已知反之，已知 ，不能确定，不能确定 u、v。第27页，讲稿共93张，创作于星期日2.刚体位移刚体位移物体无变形，只有刚体位移。物体无变形，只有刚体位移。即：即：(a)(b)(c)由由(a)、(b)可求得：可求得：(d)将将(d)代入代入(c)，得：，得：或写成：或写成：上式中，左边仅为上式中，左边仅为 y 的函数，右的函数，右边仅边仅 x 的函数，的函数，两边只能等于同两边只能等于同一常

19、数，即一常数，即 (e)积分积分(e)，得：，得：(f)其中，其中，u0、v0为积分常数。为积分常数。（x、y方方向的刚体位移），代入（向的刚体位移），代入（d）得）得:(2-10)刚体位移表达式刚体位移表达式第28页，讲稿共93张，创作于星期日讨论：讨论：(2-10)刚体位移表达式刚体位移表达式（1）仅有仅有x方向平移。方向平移。（2）仅有仅有y方向平移。方向平移。（3）xyOPyxr说明：说明：P点沿切向绕点沿切向绕O点转动点转动 绕绕O点转过的角度（刚性转动）点转过的角度（刚性转动）第29页，讲稿共93张，创作于星期日（2-9）几何方程几何方程：(2-10)刚体位移表达式刚体位移表达式：

20、xyOPAdxBdyuv小小 结：结：第30页，讲稿共93张，创作于星期日2-5 2-5 物理方程物理方程建立：建立：平面问题中应力与应变的关系平面问题中应力与应变的关系物理方程也称：本构方程、本构关系、物性方程。物理方程也称：本构方程、本构关系、物性方程。1.各向同性弹性体的物理方程各向同性弹性体的物理方程 在完全弹性和各向同性的情况下，物性方程即为材料力学中的在完全弹性和各向同性的情况下，物性方程即为材料力学中的广义广义虎克（虎克（Hooke）定律）定律。（2-13）其中：其中：E 为拉压弹性模量；为拉压弹性模量；G为剪切弹性模量；为剪切弹性模量；为侧向收缩系数，又为侧向收缩系数，又称泊松

21、比。称泊松比。第31页，讲稿共93张，创作于星期日（1）平面应力问题的物理方程）平面应力问题的物理方程由于平面应力问题由于平面应力问题中中（2-15）平面应力问题的平面应力问题的平面应力问题的平面应力问题的物理方程物理方程物理方程物理方程注：注：(1)(2)物理方程的另一形式物理方程的另一形式第32页，讲稿共93张，创作于星期日（2）平面应变问题的物理方程）平面应变问题的物理方程由于平面应变问题由于平面应变问题中中（2-16）平面应变问题的物平面应变问题的物平面应变问题的物平面应变问题的物理方程理方程理方程理方程注：注：(2)平面应变问题平面应变问题 物理方程的另一形式：物理方程的另一形式：由

22、式（由式（2-13）第三式，得）第三式，得（2-13）(1)平面应变问题中平面应变问题中，但，但第33页，讲稿共93张，创作于星期日（3）两类平面问题物理方程的）两类平面问题物理方程的转换：转换：（2-16）平面应变问题的平面应变问题的平面应变问题的平面应变问题的物理方程物理方程物理方程物理方程 平面应力问题的平面应力问题的平面应力问题的平面应力问题的物理方程物理方程物理方程物理方程（2-15）(1)平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题材料常数的转换为：材料常数的转换为：(2)平面应变问题平面应变问题平面应力问题平面应力问题材料常数的转换为：材料常数的转换为：第34页，讲稿共93张

23、，创作于星期日本章前面主要内容回顾：本章前面主要内容回顾：1.两类平面问题：两类平面问题：平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题几何特征几何特征;受力特征受力特征;应力应力特征。特征。几何特征几何特征;受力特征受力特征;应变应变特征。特征。xyyztba水水坝坝滚滚柱柱第35页，讲稿共93张，创作于星期日2.平面问题的基本方程：平面问题的基本方程：（1）平衡方程：）平衡方程：（2-2）（2）几何方程）几何方程：（2-9）（3）物理方程：）物理方程：（2-15）平面应力问题平面应力问题（2-16）平面应变问题平面应变问题第36页，讲稿共93张，创作于星期日3.平面问题一点的应力、应变分

24、析平面问题一点的应力、应变分析(b)主应力与应力主向主应力与应力主向（2-7）（2-8）(a)任意斜面上应力任意斜面上应力或或 平面应力状态平面应力状态应力第一不变量应力第一不变量第37页，讲稿共93张，创作于星期日(c)最大、最小剪应力及其方向最大、最小剪应力及其方向max、min 的方向与的方向与1 （2）成成45。第38页，讲稿共93张，创作于星期日2-6 2-6 边界条件边界条件1.弹性力学平面问题的基本方程弹性力学平面问题的基本方程（1）平衡方程：）平衡方程：（2-2）（2）几何方程：）几何方程：（2-9）（3）物理方程：）物理方程：（2-15）未知量数：未知量数：8个个方程数：方程

25、数：8个个结结 论：论：在适当的在适当的边界条件边界条件下，上述下，上述8个方程可解。个方程可解。第39页，讲稿共93张，创作于星期日2.边界条件及其分类边界条件及其分类边界条件：边界条件：建立建立边界上的物理量边界上的物理量与与内部物理量内部物理量间的关系。间的关系。xyOqP是是力学计算模型力学计算模型建立的重要环节。建立的重要环节。边界分类边界分类（1）位移边界）位移边界（2）应力边界）应力边界（3）混合边界）混合边界 三类边界三类边界（1）位移边界条件）位移边界条件位移分量已知的边界位移分量已知的边界 位移边界位移边界 用用us、vs表示边界上的位移分量，表示边界上的位移分量，表表示边

26、界上位移分量的已知函数，则位移边界条件可示边界上位移分量的已知函数，则位移边界条件可表达为：表达为：（2-17）平面问题的位移边界条件平面问题的位移边界条件平面问题的位移边界条件平面问题的位移边界条件说说 明：明：称为固定位移边界。称为固定位移边界。第40页，讲稿共93张，创作于星期日xyOqP（2）应力边界条件）应力边界条件给定面力分量给定面力分量 边界边界 应力边界应力边界xyOdxdydsPABpxpyN由前面斜面的应力分析，得由前面斜面的应力分析，得式中取：式中取：得到：得到：（2-18）式中：式中：l、m 为边界外法线关于为边界外法线关于 x、y 轴的方向余弦。轴的方向余弦。如：如：

27、平面问题的应力边界条件平面问题的应力边界条件平面问题的应力边界条件平面问题的应力边界条件垂直垂直 x 轴的边界：轴的边界：垂直垂直 y 轴的边界：轴的边界：第41页，讲稿共93张，创作于星期日例例1 如图所示，试写出其边界条件。如图所示，试写出其边界条件。xyahhq(1)(2)(3)(4)说说 明：明：x=0 的边界条件，是有矛盾的。的边界条件，是有矛盾的。由此只能求出结果：由此只能求出结果：第42页，讲稿共93张，创作于星期日例例2如图所示，试写出其边界条件。如图所示，试写出其边界条件。(1)ABCxyhp(x)p0lAB段（段（y=0）：）：代入边界条件公式，有代入边界条件公式，有(2)

28、BC段（段（x=l）：）：(3)AC段（段（y=x tan）:N第43页，讲稿共93张，创作于星期日例例3 图示水坝，试写出其边界条件。图示水坝，试写出其边界条件。左侧面：左侧面：由应力边界条件公式，有由应力边界条件公式，有右侧面：右侧面：第44页，讲稿共93张，创作于星期日例例4图示竖柱，试写出其边界条件。图示竖柱，试写出其边界条件。左侧面：左侧面：上侧面：上侧面：右侧面：右侧面：第45页，讲稿共93张，创作于星期日例例5图示竖柱，试写出其边界条件。图示竖柱，试写出其边界条件。左侧面：左侧面：右侧面：右侧面：上侧面：上侧面：第46页，讲稿共93张，创作于星期日例例6图示薄板，在图示薄板，在y

29、方向受均匀拉力作用，证明方向受均匀拉力作用，证明在板中间突出部分的尖点在板中间突出部分的尖点A处无应力存在。处无应力存在。解：解：平面应力问题平面应力问题AB 边界：边界：由应力边界条件公式，有由应力边界条件公式，有（1）AC 边界：边界：代入应力边界条件公式，有代入应力边界条件公式，有（2）A 点同处于点同处于 AB 和和 AC 的边界，的边界，满满足式（足式（1）和（）和（2），解得），解得 A 点处无应力作用点处无应力作用在在 AC、AB 边界上无面力作用，即边界上无面力作用，即第47页，讲稿共93张，创作于星期日例例7图示楔形体，试写出其边界条件。图示楔形体，试写出其边界条件。图示构件

30、，试写出其边界条件。图示构件，试写出其边界条件。例例8第48页，讲稿共93张，创作于星期日例例7图示楔形体，试写出其边界条件。图示楔形体，试写出其边界条件。上侧：上侧：下侧：下侧：第49页，讲稿共93张，创作于星期日图示构件，试写出其应力边界条件。图示构件，试写出其应力边界条件。例例8上侧：上侧：下侧：下侧：N第50页，讲稿共93张，创作于星期日（3）混合边界条件）混合边界条件(1)物体上的一部分边界为位移边界，另一部为应力边界。物体上的一部分边界为位移边界，另一部为应力边界。(2)物体的同一部分边界上，其中一个为位移边界条件，另一物体的同一部分边界上，其中一个为位移边界条件，另一为应力边界条

31、件。如：为应力边界条件。如：图图(a)：位移边界条件位移边界条件 应力边界条件应力边界条件图图(b)：位移边界条件位移边界条件 应力边界条件应力边界条件第51页，讲稿共93张，创作于星期日2-72-7圣维南原理圣维南原理问题的提出：问题的提出：PPP 求解弹性力学问题时，使应力分量、形求解弹性力学问题时，使应力分量、形变分量、位移分量完全满足变分量、位移分量完全满足8个基本方程相个基本方程相对容易，但要使边界条件完全满足，往往很对容易，但要使边界条件完全满足，往往很困难。困难。如图所示，其力的作用点处的边界条件如图所示，其力的作用点处的边界条件无法列写。无法列写。1.静力等效的概念静力等效的概

32、念 两个力系，若它们的主矢量、主矩相等，则两个力系为两个力系，若它们的主矢量、主矩相等，则两个力系为静力等效力系静力等效力系。这种这种等效等效只是从平衡的观点而言的，对刚体来而言完全正确，但对变只是从平衡的观点而言的，对刚体来而言完全正确，但对变形体而言一般是不等效的。形体而言一般是不等效的。第52页，讲稿共93张，创作于星期日2.圣维南原理圣维南原理(Saint-Venant Principle)原理：原理：若把物体的若把物体的一小部分边界上的面力一小部分边界上的面力，变换为分布不同但，变换为分布不同但静力等效的面力静力等效的面力，则，则近处近处的应力分布将有显著改变，而的应力分布将有显著改

33、变，而远处远处所受的影响可忽略不计所受的影响可忽略不计。PPPP/2P/2要点：要点：要点：要点：小部分边界（次要边界）；小部分边界（次要边界）；静力等效；静力等效；影响范围限于近处，远处不受影响；影响范围限于近处，远处不受影响；第53页，讲稿共93张，创作于星期日 3.圣维南原理的应用圣维南原理的应用(1)对对复杂的力边界复杂的力边界，用静力等效的分布面力代替。，用静力等效的分布面力代替。(2)有些有些位移边界位移边界不易满足时，也可用静力等效的分布面力代替。不易满足时，也可用静力等效的分布面力代替。注意事项：注意事项：(1)必须满足必须满足静力等效静力等效条件；条件；(2)只能在只能在次要

34、边界上次要边界上用圣维南原理，在用圣维南原理，在主要边界主要边界上不能使用。上不能使用。如：如：AB主要边界主要边界P次要边界次要边界第54页，讲稿共93张，创作于星期日例例9图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。件。左侧面：左侧面：代入应力边界条件公式代入应力边界条件公式右侧面：右侧面：代入应力边界条件公式，有代入应力边界条件公式，有上端面：上端面：为次要边界，可由圣维南原理求解。为次要边界，可由圣维南原理求解。y方向力等效：方向力等效：对对O点的力矩等效：点的力矩等效：x方

35、向力等效：方向力等效：注意：注意：必须按正向假设！必须按正向假设！第55页，讲稿共93张，创作于星期日边界条件边界条件（2-17）平面问题的位移边界条件平面问题的位移边界条件平面问题的位移边界条件平面问题的位移边界条件（1）位移边界条件）位移边界条件xyOqP（2）应力边界条件）应力边界条件（2-18）平面问题的应力边界条件平面问题的应力边界条件平面问题的应力边界条件平面问题的应力边界条件垂直垂直 x 轴的边界：轴的边界：垂直垂直 y 轴的边界：轴的边界：特殊情形：特殊情形：上一节内容回顾：上一节内容回顾：第56页，讲稿共93张，创作于星期日2-8 2-8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题

36、1.弹性力学平面问题的基本方程弹性力学平面问题的基本方程（1）平衡方程：）平衡方程：（2-2）（2）几何方程）几何方程：（2-9）（3）物理方程：）物理方程：（2-15）（4）边界条件：）边界条件：（1）（2）第57页，讲稿共93张，创作于星期日 2.弹性力学问题的求解方法弹性力学问题的求解方法（1）按位移求解（位移法、刚度法）按位移求解（位移法、刚度法）以以u、v 为基本未知函数，将平衡方程和边界条件都用为基本未知函数，将平衡方程和边界条件都用u、v 表表示，并求出示，并求出u、v，再由几何方程、物理方程求出应力与形变分量。再由几何方程、物理方程求出应力与形变分量。（2）按应力求解（力法，柔

37、度法）按应力求解（力法，柔度法）以以应力分量应力分量 为基本未知函数，将所有方程都用为基本未知函数，将所有方程都用应力分量应力分量表示，表示，并求出并求出应力分量应力分量；再由几何方程、物理方程求出形变分量与位移。再由几何方程、物理方程求出形变分量与位移。（3）混合求解）混合求解以部分以部分位移分量位移分量 和部分和部分应力分量应力分量 为基本未知函数，并求出这为基本未知函数，并求出这些未知量些未知量，再求出其余未知量。再求出其余未知量。第58页，讲稿共93张，创作于星期日3.按位移求解平面问题的基本方程按位移求解平面问题的基本方程（1）将平衡方程用位移表示）将平衡方程用位移表示由应变表示的物

38、理方程由应变表示的物理方程将几何方程代入，有将几何方程代入，有（2-19）（a）将式将式(a)代入平衡方程，化简有代入平衡方程，化简有（2-20）用位移表示的平衡微分方程用位移表示的平衡微分方程第59页，讲稿共93张，创作于星期日（2）将边界条件用位移表示）将边界条件用位移表示位移边界条件：位移边界条件：应力边界条件：应力边界条件：（a）将式（将式（a）代入，得）代入，得（2-21）（2-17）用位移表示的应力边界条件用位移表示的应力边界条件第60页，讲稿共93张，创作于星期日（3）按位移求解平面问题的基本方程）按位移求解平面问题的基本方程（1）平衡方程：）平衡方程：（2-20）（2）边界条件

39、：）边界条件：位移边界条件：位移边界条件：（2-17）应力边界条件：应力边界条件：（2-21）说明：说明：（1）对平面应变问题，只需将式中的）对平面应变问题，只需将式中的E、作相替换即可。作相替换即可。（2）一般不用于解析求解，作为）一般不用于解析求解，作为数值求解数值求解的基本方程。的基本方程。第61页，讲稿共93张，创作于星期日2-9 2-9 按应力求解平面问题按应力求解平面问题 相容方程相容方程1.变形协调方程（相容方程）变形协调方程（相容方程）按应力求解平面问题的未知函数：按应力求解平面问题的未知函数：（2-2）平衡微分方程：平衡微分方程：2个方程，个方程，3个未知量，为超静定问题，个

40、未知量，为超静定问题，需寻求补充方程。需寻求补充方程。从从形变形变、形形变与应力的关系变与应力的关系着手建立补充方程。着手建立补充方程。将几何方程：将几何方程：（2-9）作如下运算：作如下运算：第62页，讲稿共93张，创作于星期日显然有：显然有：（2-22）形变协调方程（或相容方程）形变协调方程（或相容方程）即：即：必须满足上式才能保证位移分量必须满足上式才能保证位移分量 u、v 的存在与协调，的存在与协调，才能求得这些位移分量。才能求得这些位移分量。例：例：其中：其中：C 为常数。为常数。由几何方程得：由几何方程得：积分得：积分得：由几何方程的第三式得：由几何方程的第三式得：显然，此方程是不

41、可能的，因而不可能求出满足几何方程的解。显然，此方程是不可能的，因而不可能求出满足几何方程的解。第63页，讲稿共93张，创作于星期日2.变形协调方程的应力表示变形协调方程的应力表示（1）平面应力情形）平面应力情形将将物理方程物理方程代入代入相容方程相容方程，得：，得：（2-22）利用平衡方程将上述化简：利用平衡方程将上述化简：（2-15）（2-2）（a）将上述两边相加：将上述两边相加：（b）第64页，讲稿共93张，创作于星期日将将(b)代入代入(a)，得：，得：将将 上式整理得：上式整理得：（2-23）应力表示的相容方程应力表示的相容方程（2）平面应变情形）平面应变情形将将 上式中的泊松比上式

42、中的泊松比代为：代为：，得得（2-24）（平面应力情形）（平面应力情形）应力表示的相容方程应力表示的相容方程（平面应变情形）（平面应变情形）注意：注意：注意：注意：当体力当体力 fx、fy 为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即（2-25）第65页，讲稿共93张，创作于星期日3.按应力求解平面问题的基本方程按应力求解平面问题的基本方程（1）平衡方程）平衡方程（2-2）（2）相容方程（形变协调方程）相容方程（形变协调方程）（2-23）（3）边界条件：）边界条件：（2-18）（平面应力情形）（平面应力情形）说明：说明：（1）对位移边界问题，不易按应力）对位

43、移边界问题，不易按应力求解。求解。（2）对应力边界问题，且为）对应力边界问题，且为单连通单连通问题问题，满足上述方程的解是唯一正，满足上述方程的解是唯一正确解。确解。（3）对）对多连通问题多连通问题，满足上述方程外，满足上述方程外，还需满足还需满足位移单值条件位移单值条件，才是唯，才是唯一正确解。一正确解。第66页，讲稿共93张，创作于星期日例例11下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。能的应力场与应变场（不计体力）。（1）（2）解解（a）（b）（1）将式（

44、将式（a）代入平衡方程：）代入平衡方程：(2-2)满足满足（2）将式（）将式（a）代入相容方程：）代入相容方程：式（式（a）不是一组可能）不是一组可能的应力场。的应力场。第67页，讲稿共93张，创作于星期日例例11下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。（1）（2）（a）（b）（2）解解将式（将式（b）代入应变表示的相容方程：）代入应变表示的相容方程：式（式（b）满足相容方程，）满足相容方程，（b）为可能的应变分量。）为可能的应

45、变分量。第68页，讲稿共93张，创作于星期日例例12图示矩形截面悬臂梁，在自由端受集中力图示矩形截面悬臂梁，在自由端受集中力P作用，不计体力。试根据作用，不计体力。试根据材料力学公式，写出弯曲应力材料力学公式，写出弯曲应力 和剪应力和剪应力 的表达式，并取挤的表达式，并取挤压应力压应力 =0，然后说明这些表达式是否代表正确解。，然后说明这些表达式是否代表正确解。解解材料力学解答：材料力学解答：式（式（a）满足）满足平衡方程平衡方程和和相容方程？相容方程？（a）式（式（a）是否满足）是否满足边界条件？边界条件？代入代入平衡微分方程：平衡微分方程：（2-2）显然，显然，平衡微分方程平衡微分方程满足

46、。满足。第69页，讲稿共93张，创作于星期日式（式（a）满足）满足相容方程。相容方程。再验证，式（再验证，式（a）是否满足）是否满足边界条件？边界条件？满足满足满足满足近似满足近似满足代入代入相容方程：相容方程：上、下侧边界：上、下侧边界：左侧边界：左侧边界：（a）满足满足第70页，讲稿共93张，创作于星期日近似满足近似满足结论：式（结论：式（a）为正确解）为正确解右侧边界：右侧边界：约束反力：约束反力：由圣维南原理：由圣维南原理：（a）第71页，讲稿共93张，创作于星期日2-10 2-10 常体力情况下的简化常体力情况下的简化 应力函数应力函数1.常体力下平面问题的相容方程常体力下平面问题的

47、相容方程令：令：拉普拉斯（拉普拉斯（Laplace）算子）算子则相容方程可表示为：则相容方程可表示为：平面应力情形平面应力情形 平面应变情形平面应变情形当体力当体力 fx、fy为常数时，为常数时，两种平面问题的相容方程相同两种平面问题的相容方程相同，即，即或或（2-25）第72页，讲稿共93张，创作于星期日2.常体力下平面问题的基本方程常体力下平面问题的基本方程（1）平衡方程）平衡方程（2-2）（2）相容方程（形变协调方程）相容方程（形变协调方程）（3）边界条件）边界条件（2-18）（4）位移单值条件）位移单值条件 对多连通问题而言。对多连通问题而言。讨论：讨论：讨论：讨论：（1）Laplac

48、e方程，方程，或称或称调和方程。调和方程。（2）常体力下，方程中不含常体力下，方程中不含E、（a）两种平面问题，计算结果两种平面问题，计算结果 相同相同 ）不同。）不同。（但（但（b）不同材料不同材料，具有相同，具有相同外力和外力和边界条件边界条件时，其计算结果相同。时，其计算结果相同。光弹性实验原理。光弹性实验原理。（3）用用平面应力试验平面应力试验模型，代替模型，代替平面应平面应变试验变试验模型，为实验应力分析提供模型，为实验应力分析提供理论基础。理论基础。满足：满足：的函数的函数称为调和函数（解析函数）。称为调和函数（解析函数）。第73页，讲稿共93张，创作于星期日全解全解=齐次方程齐次

49、方程通解通解3.平衡微分方程解的形式平衡微分方程解的形式(1)特解特解常体力下特解形式：常体力下特解形式：+非齐次方程的非齐次方程的特解特解。(1)(2)(3)(a)第74页，讲稿共93张，创作于星期日将式将式(b)第一式改写为第一式改写为由微分方程理论，必存在一函数由微分方程理论，必存在一函数 A(x,y)，使得，使得(c)(d)同理，将式同理，将式(b)第二式改写为第二式改写为(e)(f)比较式比较式(d)与与(f)，有，有也必存在一函数也必存在一函数 B(x,y)，使得，使得(2)通解通解式式(2-2)的齐次方程：的齐次方程：(b)的通解。的通解。由微分方程理论，必存在一函数由微分方程理

50、论，必存在一函数(x,y)，使得，使得第75页，讲稿共93张，创作于星期日(g)(h)将式将式 (g)、(h)代入代入 (c)、(d)、(e)、(f)，得，得通解通解(i)(2-26)平衡微分方程平衡微分方程(2-2)的全解的全解:第76页，讲稿共93张，创作于星期日4.相容方程的应力函数表示相容方程的应力函数表示(2-26)将式（将式（2-26）代入常体力下的相容方程：）代入常体力下的相容方程：(2-25)有：有：注意到体力注意到体力 fx、fy 为常量，有为常量，有将上式展开，有将上式展开，有(2-27)应力函数表示的相容方程应力函数表示的相容方程应力函数表示的相容方程应力函数表示的相容方