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1、高等机构学的数学基础第1页，此课件共34页哦第一讲第一讲 高等机构学的数学基础高等机构学的数学基础 1)图论的基本知识和排列组合的基本概念图论的基本知识和排列组合的基本概念2)矩阵变换与运算矩阵变换与运算3)求解非线性方程组求解非线性方程组4)数值积分，常微分方程的数值解法数值积分，常微分方程的数值解法 机构结构的综合机构结构的综合 运动分析、动力分析、机构综合运动分析、动力分析、机构综合 机构运动分析和机构综合机构运动分析和机构综合 机构的动力学机构的动力学第2页，此课件共34页哦一、矢量运算一、矢量运算 1 1两个矢量的点积两个矢量的点积定杆长约束方程定杆长约束方程第3页，此课件共34页哦
2、 2 2两矢量的叉积两矢量的叉积第4页，此课件共34页哦 3 3矢量的常用运算矢量的常用运算第5页，此课件共34页哦u角速度矢量的瞬时方向角速度矢量的瞬时方向 4 4矢量微分矢量微分第6页，此课件共34页哦 4 4矢量的复数表示法矢量的复数表示法第7页，此课件共34页哦当用n+1个分量表示n维空间的点的位置时，称为齐次坐标表示法二、常用坐标变换二、常用坐标变换 1 1齐次坐标齐次坐标在二维空间内，点p(x,y)的齐次坐标为p(X,Y,w)，在三维空间内，点p(x,y,z)的齐次坐标为p(X,Y,Z,w)。在机构学中，常令w1X:Y:Z:w=x:y:z:1x=X/wy=Y/wz=Z/w第8页，此
3、课件共34页哦 2坐标变换坐标平移变换坐标平移变换第9页，此课件共34页哦 绕坐标轴的旋转变换绕坐标轴的旋转变换坐标旋转变换坐标旋转变换绕绕z轴的旋转变换轴的旋转变换ri=Rijzrj第10页，此课件共34页哦绕绕y轴的旋转变换轴的旋转变换ri=Rijyrj绕绕x轴的旋转变换轴的旋转变换ri=Rijxrj第11页，此课件共34页哦此方阵可分为四部分此方阵可分为四部分总结总结左下角部分产生透视变换；左下角部分产生透视变换；左左上上角角部部分分产产生生三三维维比比例例、对对称称、错切、和旋转变换。错切、和旋转变换。右右上角部分产生平移变换；上角部分产生平移变换；右下角部分产生全比例变换。右下角部分
4、产生全比例变换。第12页，此课件共34页哦绕绕 z轴与轴与x轴的旋转变换轴的旋转变换ri=Rikzrkrk=Rkjxrj ri=Rikz Rkjxrj=Rijzxrj绕绕z轴转轴转 、绕、绕x轴转轴转 第13页，此课件共34页哦绕绕 z轴、轴、y轴、轴、x轴的旋转变换轴的旋转变换ri=Rikzrkrk=Rklyrl ri=Rikz Rkly Rljxrj=Rijzyxrjrl=Rljxrj第14页，此课件共34页哦 绕空间任意轴绕空间任意轴u的旋转变换的旋转变换 u轴绕轴绕 y轴顺时针转轴顺时针转-，到达，到达u u轴绕轴绕 z轴逆时针转轴逆时针转 u轴绕轴绕 x轴顺时针转轴顺时针转-，返回，
5、返回u u轴绕轴绕 x轴逆时针转轴逆时针转 ，到达，到达u u轴绕轴绕 y轴逆时针转轴逆时针转 ，返回，返回u Ru=R-y Rx Rz R-x Ry R-1=R-T R为正交矩阵为正交矩阵第15页，此课件共34页哦空间不共原点的坐标变换空间不共原点的坐标变换不共原点的坐标变换是指坐标系的移动和旋转变换的合成结果不共原点的坐标变换是指坐标系的移动和旋转变换的合成结果坐标原点由坐标原点由Oi移动到移动到Oj，然后以，然后以Oj 为共原点发为共原点发生旋转变化，如图生旋转变化，如图xjyjzjxicos(xixj)cos(xiyj)cos(xizj)yicos(yixj)cos(yiyj)cos(
6、yizj)zicos(zixj)cos(ziyj)cos(zizj)xixj、xiyj等为轴间角等为轴间角第16页，此课件共34页哦哈登伯格哈登伯格迪纳维特矩阵迪纳维特矩阵(HadenbergDenavit Matrix)坐标系坐标系 中的中的xj，沿着，沿着zj和坐标系和坐标系 中中zi轴的公垂线方向轴的公垂线方向设设zi 和和zj的公垂线距离为的公垂线距离为a1，xi和和xj之间线距离为之间线距离为s1ri=Rijrj 沿沿xj方向移动方向移动a1，Oi到达到达Oj 绕绕 xj轴转轴转 ，到达，到达 沿沿zi平移平移s1，到达，到达 绕绕 zi轴转轴转，xi与与xj重合重合第17页，此课件
7、共34页哦三、常用矩阵运算三、常用矩阵运算 1 1刚体位移矩阵刚体位移矩阵 平面刚体位移矩阵平面刚体位移矩阵 1 1）平面刚体位移矩阵）平面刚体位移矩阵第18页，此课件共34页哦刚体平面运动的简要表达方式：刚体平面运动的简要表达方式：第19页，此课件共34页哦 2 2）空间刚体位移矩阵）空间刚体位移矩阵用用 Rij zyx或或 R u代替刚体平面运动的代替刚体平面运动的 R 第20页，此课件共34页哦 3 3）螺旋位移矩阵）螺旋位移矩阵刚体由位置刚体由位置E1 1运动到运动到Ej位置，可用刚体上的标线位置，可用刚体上的标线p1 1q1 1和和pj qj表示表示该刚体的运动。其运动过程有该刚体的
8、运动。其运动过程有3 3种描述方法：种描述方法：螺旋运动：螺旋运动：是一种螺旋运动。螺旋运动是描述刚体运动的是一种螺旋运动。螺旋运动是描述刚体运动的最简单的运动方式。最简单的运动方式。p1 1q1 1平动到平动到pj qj，然后绕过，然后绕过pj 的某个的某个u轴转轴转1 1j，到达到达pj qj。过过p1 1作作u轴的垂线，距离为轴的垂线，距离为sn，设，设u轴轴上距离上距离npj=s，这样，刚体由，这样，刚体由E1 1运动到运动到Ej可看作可看作E1 1沿沿u轴垂线方向移动轴垂线方向移动sn，再沿再沿u轴平移轴平移s，再绕，再绕u轴转轴转1 1j，可到，可到达达pj qj。若作若作p1 1
9、n 的中垂线得一轴的中垂线得一轴su，仍平行，仍平行u轴。这时，刚体由轴。这时，刚体由E1 1运动到运动到Ej 可看做可看做E1 1绕绕su轴的转动和沿轴的转动和沿su轴的轴的移动的合成。移动的合成。第21页，此课件共34页哦有限螺旋位移矩阵有限螺旋位移矩阵若把刚体若把刚体E扩大，使之与螺旋轴扩大，使之与螺旋轴su相交，相交，交点为交点为p1 1，表示刚体，表示刚体E1 1的标线为的标线为p1 1q1 1。把螺旋轴仍记为把螺旋轴仍记为u轴。轴。螺旋矩阵螺旋矩阵第22页，此课件共34页哦数值位移矩阵数值位移矩阵螺旋矩阵可以方便地描述刚体的空间运动，但是，工程中给螺旋矩阵可以方便地描述刚体的空间运
10、动，但是，工程中给出的刚体运动参数通常不是螺旋运动参数，而是给出刚体上出的刚体运动参数通常不是螺旋运动参数，而是给出刚体上不共面的几个点的直角坐标值。不共面的几个点的直角坐标值。不能直接运用刚体螺旋矩阵进行具体的设计或分析。不能直接运用刚体螺旋矩阵进行具体的设计或分析。可对给定刚体上点的坐标值进行数据处理，构成与可对给定刚体上点的坐标值进行数据处理，构成与Ru等阶的等阶的数值位移矩阵数值位移矩阵D。根据数值位移矩阵中的已知元素，求出螺旋矩阵中的运动参数，根据数值位移矩阵中的已知元素，求出螺旋矩阵中的运动参数，即求出即求出，ux，uy，uz，p1x，p1y，p1z等参数。等参数。第23页，此课件
11、共34页哦设刚体设刚体E在坐标系在坐标系中作有限位移运动，中作有限位移运动，刚体上不共面的四个点刚体上不共面的四个点A、B、C、D可可决定刚体在空间的位置。决定刚体在空间的位置。D12为刚体由位置为刚体由位置1到位置到位置2的位移矩阵。的位移矩阵。第24页，此课件共34页哦由数值位移矩阵求解螺旋矩阵由数值位移矩阵求解螺旋矩阵 求螺旋角求螺旋角：第25页，此课件共34页哦 求求ux,uy,uz：第26页，此课件共34页哦 求线位移求线位移s及及 p1点坐标：设点坐标：设p1x=0第27页，此课件共34页哦 2 2旋转矩阵及其微分旋转矩阵及其微分 1 1）角速度矩阵）角速度矩阵2D空间：空间：第2
12、8页，此课件共34页哦3D空间：空间：第29页，此课件共34页哦 2 2）角加速度矩阵）角加速度矩阵2D空间：空间：3D空间：空间：第30页，此课件共34页哦 3 3）微分位移矩阵）微分位移矩阵设刚体设刚体2点点p、q:速度矩阵速度矩阵加速度矩阵加速度矩阵第31页，此课件共34页哦四、非线性方程组的数值解法四、非线性方程组的数值解法 1 1Newton-Raphson法法的基本原理的基本原理准确法、数值迭代法、消元法、渐进法准确法、数值迭代法、消元法、渐进法非线性方程组的基本形式为非线性方程组的基本形式为设该方程组的待求根为设该方程组的待求根为第32页，此课件共34页哦设方程组初值为设方程组初值为把方程组在把方程组在xk处按处按Taylor级数展开，并略去二阶偏导数及以后各级数展开，并略去二阶偏导数及以后各项，有项，有=0令令JJacbian矩阵矩阵残量均方根收敛准则残量均方根收敛准则：第33页，此课件共34页哦五、常微分方程组的数值解法五、常微分方程组的数值解法见见CAD课件课件第34页，此课件共34页哦