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1、一、刚体平面运动的概念 在运动过程中，刚体上所有各点到某一固定平面的距离始终保持不变，刚体的这种运动称为刚体的平面运动。二、刚体平面运动的简化 对于刚体所作的平面运动的研究，可以不必考虑它的厚度，而简化为以一个截面代表的平面图形在其自身平面内的运动来研究。研究刚体的平面运动，就是要确定代表刚体的平面图形的运动，确定图形上各点的速度和加速度。9.1 刚体平面运动的概述和运动分解第1页/共100页 动画刚体平面运动实例刚体平面运动实例第2页/共100页 动画刚体平面运动实例刚体平面运动实例第3页/共100页 动画刚体平面运动实例刚体平面运动实例第4页/共100页 动画刚体平面运动简化刚体平面运动简
2、化第5页/共100页 动画刚体平面运动简化实例刚体平面运动简化实例第6页/共100页三、刚体平面运动的方程S 为了确定平面图形的运动，取静系 ，在图形 上任取一点（称为基点），并取任一线段 ，只要确定了 的位置，的位置也就确定了9.1 刚体平面运动的概述和运动分解第7页/共100页刚体平面运动方程刚体的平面运动可以看成是平动和转动的合成运动。四、刚体的平面运动分解为平动和转动 刚体平面运动可以分解为随同基点的平动和绕基点的转动，平面图形随同基点平动的速度和加速度与基点的选取的有关。绕基点转动的角速度和角加速度则与基点的选择无关。9.1 刚体平面运动的概述和运动分解第8页/共100页 动画刚体平
3、面运动分解刚体平面运动分解第9页/共100页 动画平面运动平面运动第10页/共100页 动画平面运动平面运动第11页/共100页 动画平面运动分解平面运动分解第12页/共100页 动画平面运动平面运动第13页/共100页 动画平面运动分解平面运动分解第14页/共100页 动画平面运动分解平面运动分解第15页/共100页一基点法（合成法）A已知：某瞬时平面运动平面图形S内一点A的速度，图形角速度求：图形上任一点B的速度取A为基点,将动系铰接于A点,牵连运动是随同基点A的平动，相对运动是绕基点A的转动。所以B点的牵连速度等于基点A的速度，B点的相对运动是以基点A为圆心，为半径的圆周运动，则动点B点
4、的运动可视为牵连运动为平动和相对运动为圆周运动的合成。9.2 求平面图形内各点速度的基点法第16页/共100页求平面图形内任一点速度的基点法AB定理：刚体作平面运动时，其上任一点的速度等于该瞬时基点的速度与该点随图形绕基点作圆周运动时的速度的矢量和。9.2 求平面图形内各点速度的基点法第17页/共100页 二、速度投影定理 总是垂直于AB连线，即 在AB连线上的投影等于零。所以速度投影定理：刚体上任意两点的速度在过这两点的直线 上的投影相等。9.2 求平面图形内各点速度的基点法第18页/共100页 椭圆规尺的椭圆规尺的A A端以速度端以速度v vA A沿沿 x x 轴的负向运动，如图所示，轴的
5、负向运动，如图所示，ABAB=l l。试求。试求B B端的速度以及规尺端的速度以及规尺ABAB的角速度。的角速度。O OB BA Ax xy y 例例 题题 9-19-19.2 求平面图形内各点速度的基点法第19页/共100页运运 动动 演演 示示例例 题题 9-19-19.2 求平面图形内各点速度的基点法第20页/共100页O OB BA Ax xy y v vA Av vBABAv vB B 解解：规尺规尺ABAB作平面运动作平面运动 。以。以A A点为基点，应用速度点为基点，应用速度合成定理，合成定理，B B点的速度可表示为点的速度可表示为基点法基点法其中，其中，v vA A的大小已知。
6、由速度合成矢量图可的大小已知。由速度合成矢量图可得得故规尺故规尺ABAB的角速度的角速度 v vA A（顺时针）（顺时针）例例 题题 9-19-19.2 求平面图形内各点速度的基点法第21页/共100页 如如图图所所示示平平面面机机构构中中，ABAB=BDBD=DEDE=l l=300=300 mmmm。在在图图示示位位置置时时，BDBDAEAE。杆杆ABAB的的角角速速度度为为=5=5 radrad s s1 1。试试求求此此瞬瞬时时杆杆DEDE的的角角速速度度和杆和杆BDBD中点中点C C 的速度的速度。A AB BC CD DE E例例 题题 9-29-29.2 求平面图形内各点速度的基
7、点法第22页/共100页运运 动动 演演 示示例例 题题 9-29-29.2 求平面图形内各点速度的基点法第23页/共100页v vB B 解：解：1.1.求杆求杆DEDE的角速度。的角速度。其其中中，D D 点点绕绕 B B 的的转转动动速速度度 v vD DB B 的的方方向向与与BDBD垂垂直直，D D点点的的速速度度 v vD D与与DE DE 垂直。垂直。基点法基点法以以B B点为基点，应用速度合成定理，点为基点，应用速度合成定理，D D点的点的速度可表示为速度可表示为 杆杆BDBD作平面运动，作平面运动，v vB B大小为大小为 方向与方向与ABAB垂直。垂直。A AB BC CD
8、 DE Ev vDDv vDBDBv vB B例例 题题 9-29-29.2 求平面图形内各点速度的基点法第24页/共100页由速度合成矢量图可得由速度合成矢量图可得于是可得此瞬时杆于是可得此瞬时杆BDBD的角速度为的角速度为 v vDDB B 为为D D点绕点绕B B的转动速度，应有的转动速度，应有 转向为逆时针转向为逆时针v vB B A AB BC CD DE Ev vDDv vDDB Bv vB B BDBD例例 题题 9-29-29.2 求平面图形内各点速度的基点法第25页/共100页2.2.求杆求杆BDBD中点中点C C的速度。的速度。仍以仍以B B点为基点，应用速度合成定理，点为
9、基点，应用速度合成定理，C C点点的速度可表示为的速度可表示为v vB B A AB BC CD DE Ev vB Bv vC Cv vCBCB其中其中v vB B大小和方向均为已知，大小和方向均为已知，v vCB CB 方向与方向与BDBD杆杆垂直，大小为垂直，大小为由此瞬时速度矢的几何关系，得出此时由此瞬时速度矢的几何关系，得出此时v vC C的方向恰好沿杆的方向恰好沿杆BDBD，大小为，大小为例例 题题 9-29-29.2 求平面图形内各点速度的基点法第26页/共100页 曲曲柄柄连连杆杆机机构构如如图图所所示示，OAOA=r r ，。如如曲曲柄柄OAOA以以匀匀角角速速度度 转转动动，
10、求求当当 ，和和 时时点点B B的的速度。速度。A AB B例例 题题 9-39-39.2 求平面图形内各点速度的基点法第27页/共100页运运 动动 演演 示示例例 题题 9-39-39.2 求平面图形内各点速度的基点法第28页/共100页A A B Bv vA A 连杆连杆ABAB作平面运动，以作平面运动，以A A为基点，为基点，B B点的点的速度为速度为 v vA Av vB Bv vBABA其中，其中，v vA A方向与方向与OAOA垂直，垂直，v vB B沿沿BOBO方向，方向，v vBABA与与ABAB垂直。垂直。此时此时OAOA恰与恰与ABAB垂直，由速度合成矢量图可得垂直，由速
11、度合成矢量图可得 解：解：当当 时时，基点法基点法v vB B=v vA A+v vBABA例例 题题 9-39-39.2 求平面图形内各点速度的基点法第29页/共100页v vA AA A B BO Ov vBABAv vA A 当当 时，时，v vA A与与v vBABA均垂均垂 直直OBOB，vB=0A A B BO Ov vA Av vB Bv vA A此时杆此时杆AB AB 的角速度为零。的角速度为零。A A，B B两点的速度两点的速度大小与方向都相同。大小与方向都相同。由速度合成矢量图可得由速度合成矢量图可得当当 时，时，v vA A与与v vB B彼此平行，方向一致，彼此平行，方
12、向一致，故有故有从而可知杆从而可知杆ABAB处于瞬时平动状态。处于瞬时平动状态。例例 题题 9-39-39.2 求平面图形内各点速度的基点法第30页/共100页 如如图图所所示示的的行行星星系系中中，大大齿齿轮轮固固定定，半半径径为为r r1 1；行行星星齿齿轮轮沿沿轮轮只只滚滚而而不不滑滑动动，半半径径为为r r2 2。系系杆杆OAOA角角速速度度 OO。试试求求轮轮的的角角速速度度 及及上上B B，C C两点的速度。两点的速度。O OO OA AC CB BD D 例例 题题 9-49-49.2 求平面图形内各点速度的基点法第31页/共100页运运 动动 演演 示示例例 题题 9-49-4
13、9.2 求平面图形内各点速度的基点法第32页/共100页 O OO OA AC CB BD D 行星轮行星轮作平面运动，作平面运动，A A点的速度点的速度以以A A为基点，为基点，则轮轮上与轮上与轮接触的点接触的点 D D的速度的速度可表示为v vA Av vA Av vDADA由于齿轮由于齿轮固定不动，接触点固定不动，接触点D D不滑动，所以不滑动，所以v vD D=0=0 ，因而有，因而有 解解：v vDDAA为为D D点绕基点点绕基点A A的转动速度，应有的转动速度，应有 因此因此（逆时针）（逆时针）1.1.求轮求轮的角速度的角速度 。基点法基点法例例 题题 9-49-49.2 求平面图
14、形内各点速度的基点法第33页/共100页 O OO OA AC CB BD D v vA A行星轮行星轮作平面运动，作平面运动，A A点的速度可由系杆点的速度可由系杆OAOA的转动求得的转动求得以以A A为基点，为基点，B B点的速度为点的速度为方向与方向与v vA A垂直，如图所示。垂直，如图所示。v vA Av vBABAv vB B2.2.求轮求轮上上B B点的速度。点的速度。因此，因此，v vB B 与与 v vA A 的夹角为的夹角为4545o o，指向如图，指向如图，大小为大小为其中其中例例 题题 9-49-49.2 求平面图形内各点速度的基点法第34页/共100页 O OO OA
15、 AC CB BD D 以以A A为基点，为基点，C C点的速度点的速度v vA A方向方向v vA A与一致，由此与一致，由此 v vCACAv vA Av vC C行星轮行星轮作平面运动，作平面运动，A A点的速度可由系杆点的速度可由系杆OAOA的转动求得的转动求得3.3.求轮求轮上上C C点的速度。点的速度。例例 题题 9-49-49.2 求平面图形内各点速度的基点法第35页/共100页 图所示平面机构中，曲柄图所示平面机构中，曲柄OAOA=100 mm=100 mm，以角速度以角速度 =2 rad=2 rad s s1 1转动。连转动。连杆杆ABAB带动摇杆带动摇杆CDCD，并拖动轮并
16、拖动轮E E 沿水平面滚动。已知沿水平面滚动。已知CD CD=3=3CBCB，图示位置时图示位置时A A，B B，E E 三点恰在一水平线上，且三点恰在一水平线上，且CDCDEDED，试求此瞬时试求此瞬时E E点的速度点的速度。A AB BC CO OD DE E 例例 题题 9-59-59.2 求平面图形内各点速度的基点法第36页/共100页运运 动动 演演 示示例例 题题 9-59-59.2 求平面图形内各点速度的基点法第37页/共100页解：由速度投影定理，杆由速度投影定理，杆ABAB上上 A A，B B点的速度在点的速度在 AB AB 线上投线上投影相等，即影相等，即 摇杆摇杆 CDC
17、D绕绕C C点作定轴转动点作定轴转动轮轮E E沿水平面滚动，轮心沿水平面滚动，轮心E E的速度的速度水平，由速度投影定理，水平，由速度投影定理，D D，E E 两两点的速度关系为点的速度关系为v vA Av vB Bv vDD速度投影法求得求得A AB BC CO OD DE E v vE E例例 题题 9-59-59.2 求平面图形内各点速度的基点法第38页/共100页一、问题的提出 若选取速度为零的点作为基点，求解速度问题的计算会大大简化于是，自然会提出，在某一瞬时图形是否有一点速度等于零？如果存在的话，该点如何确定？二、速度瞬心 每一瞬时，任何平面图形内部或其扩大部分内总存在一点其绝对速
18、度为零，该点称为平面图形在该瞬时的瞬时速度中心，简称速度瞬心。对于平面图形来说，其速度瞬心总是存在且唯一的。9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法第39页/共100页三、速度瞬心法 设某瞬时平面图形的速度瞬心为P，转动角速度为 则取瞬心P为基点，该瞬时平面图形上任意一点A的速度为 在任一瞬时，平面图形上各点的速度方向垂直于该点与该瞬时的速度瞬心P的连线，其指向由 的转向决定，其大小与该点到速度瞬心P的距离成正比，等于该点到速度瞬心的距离与图形转动的角速度的乘积。9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法第40页/共100页在任一瞬时，平面图形上各点的速度分布情况与该瞬时图形以角速度 一样。这种情况称为
19、瞬时转动。以速度瞬心为基点来求作平面运动的刚体上各点的速度的方法称为速度瞬心法。绕通过速度瞬心，且与平面图形垂直的轴转动注意：速度瞬心的加速度不为于零。四、确定速度瞬心位置的方法PA1、已知图形上一点A的速度 和图形角速度，则从 开始，沿的方向转过90，作直线PA，使 ,则P点即为该瞬时的速度瞬心。9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法第41页/共100页2、当一个图形沿另一个固定不动的图形轮廓作无滑动的滚动（即纯滚动）时，图形上的接触点P即为图形的速度瞬心。3、已知平面图形内任意两点A,B在某瞬时的速度且不平行于过A,B分别作的垂线，则两垂线的交点P即为该瞬时图形的速度瞬心。并由此可求得图形的
20、角速度为，方向由(或）及P点的位置关系判断。ABP9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法第42页/共100页 动画速度瞬心的确定速度瞬心的确定第43页/共100页4、已知图形上A,B两点在某瞬时的速度，且则可能有三种情况：ABPABP（1）与同向，但(例如）这时速度瞬心P位置在AB延长线与通过末端的直线的交点上，由此可判断 的方向，并求出 的大小为（2）与反向，这时速度瞬心P在AB与末端连线的交点上，由此可判断的方向，并求出 的大小为9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法第44页/共100页 动画速度瞬心的确定速度瞬心的确定第45页/共100页 动画速度瞬心的确定速度瞬心的确定第46页/共100页
21、ABAB(3)同向且相等这时速度瞬心在 处，该瞬时图形作瞬时平动，图形上各点速度相同（也可以说速度瞬心不存在），但加速度不相等。5、已知某瞬时图形上A,B两点的速度平行且同向 ，并且 不垂直于AB，则由速度投影定理知，必有 ，该瞬时图形作瞬时平动，速度瞬心不存在，角速度为0，该瞬时图形上各点的速度相等，瞬时平动的图形上各点的加速度一般来说是不相等的（大小不等，方向也不相同）9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法第47页/共100页 动画速度瞬心的确定速度瞬心的确定第48页/共100页 椭圆规尺的椭圆规尺的A A端以速度端以速度v vA A沿沿 x x 轴的负向运动，如图所示，轴的负向运动，如图所
22、示，ABAB=l l。试求。试求B B端的速度以及规尺端的速度以及规尺ABAB的角速度。的角速度。O OB BA Ax xy y 用瞬心法解例1例例 题题 9-69-69.3 求平面图形内各点速度的瞬心法第49页/共100页运运 动动 演演 示示例例 题题 9-69-69.3 求平面图形内各点速度的瞬心法第50页/共100页O OB BA Ax xy y v vA A 对作平面运动的规尺对作平面运动的规尺ABAB ，分别作，分别作A A和和B B两点两点速度的垂线，可得其速度瞬心速度的垂线，可得其速度瞬心C Cv v 。B B点的速度点的速度 用瞬心法也可求得规尺用瞬心法也可求得规尺ABAB上
23、任一点的上任一点的速度。例如中点速度。例如中点D D的速度为的速度为v vB BD Dv vDD速度瞬心法从而知规尺从而知规尺ABAB的角速度为的角速度为其方向垂直于其方向垂直于DCDCv v，且朝向图形转动的一方。，且朝向图形转动的一方。Cv例例 题题 9-69-69.3 求平面图形内各点速度的瞬心法第51页/共100页 如如图图所所示示，节节圆圆半半径径为为r r的的行行星星齿齿轮轮II II由由曲曲柄柄OAOA带带动动在在节节圆圆半半径径为为R R 的的固固定定齿齿轮轮 I I 上上作作无无滑滑动动的的滚滚动动。已已知知曲曲柄柄OAOA以以匀匀角角速速度度 O O 转转动动，求求在在图图
24、示示位位置置时时，齿齿轮轮II II节节圆圆上上MM1 1，MM2 2，MM3 3和和MM4 4各点的速度。图中线段各点的速度。图中线段MM3 3MM4 4垂直于线段垂直于线段MM1 1MM2 2。OOO OA AMM2 2MM4 4MM1 1 MM3 3C CR Rr r例例 题题 9-79-79.3 求平面图形内各点速度的瞬心法第52页/共100页 OOO OA AMM2 2MM4 4MM1 1 MM3 3C CR Rr r解解:所以轮所以轮 II II 上上 MM1 1，MM2 2，MM3 3 和和 MM4 4 各点的速度分别为：各点的速度分别为：各点的速度方向如图所示。各点的速度方向如
25、图所示。v v2 2v v3 3v v4 4因为因为A A点的速度点的速度 行行星星齿齿轮轮 II II 上上与与固固定定齿齿轮轮 I I 的的节节圆圆相相接接触触的的C C点点是是齿齿轮轮II II的的速速度度瞬瞬心心，所所以以可可利利用用瞬瞬心心法法求求齿齿轮轮 II II 上上各各点点的的速速度度。为为此此先先求求轮轮 II II 的角速度。的角速度。因此轮因此轮 II II 的角速度的角速度（逆时针）（逆时针）v vA A例例 题题 9-79-79.3 求平面图形内各点速度的瞬心法第53页/共100页 车车厢厢的的轮轮子子沿沿直直线线轨轨道道滚滚动动而而无无滑滑动动，如如图图所所示示。
26、已已知知车车轮轮中中心心O O的的速速度度为为v vO O。如如半半径径R R和和r r都都是是已已知知的的，求求轮轮上上A A1 1，A A2 2，A A3 3，A A4 4各各点点的的速速度度，其其中中A A2 2，O O，A A4 4三三点点在在同同一一水水平平线线上上，A A1 1，O O，A A3 3三三点点在在同同一一铅铅直线上。直线上。2 2R R2 2r rO OC CA A1 1A A2 2A A3 3A A4 4v vOO例例 题题 9-89-89.3 求平面图形内各点速度的瞬心法第54页/共100页 因为车轮只滚动无滑动，故车轮与轨道的接触点因为车轮只滚动无滑动，故车轮与
27、轨道的接触点C C 就是车轮的速度瞬心。令就是车轮的速度瞬心。令 为车轮转动的角速度，则为车轮转动的角速度，则计算各点的速度计算各点的速度这些速度分别垂直于这些速度分别垂直于A A1 1C C ，A A2 2C C，A A3 3C C 和和A A4 4C C ，指向如图。，指向如图。v v3 3v v1 1解：2 2R R2 2r rO OC CA A1 1A A2 2A A3 3A A4 4v vOOv v2 2v v4 4速度瞬心法例例 题题 9-89-89.3 求平面图形内各点速度的瞬心法第55页/共100页已知：某瞬时平面图形的角速度为 ，角加速度为 ，以及图形上某点A的加速度求：图形
28、上任意一点B的加速度。A点加速度已知，所以选取A点为基点意味着以A为原点建立了一个随同基点A一起运动的平动坐标系，则平面图形在其所在平面内的绝对运动可以看成随同基点A的平动和绕基点A的转动的合成。把图形上的B点选为动点，则 B点的绝对加速度 A9.4 用基点法求平面图形内各点的加速度第56页/共100页A1、：因为动系平动，其上各点加速度都相等,可的加速度，即B点的牵连加速度等于基点A的加速度。以用基点加速度 来代表动系上各点，包括动点的牵连点B9.4 用基点法求平面图形内各点的加速度第57页/共100页2、：B点的相对运动是绕基点A的转动，且轨迹为以A为原点，以BA为半径的圆周运动，因此 ，
29、且 应当有两个分量，一个是切向加速度 ，一个是法向加速度，即AB9.4 用基点法求平面图形内各点的加速度第58页/共100页1)切向加速度 :其大小 方向垂直于AB，且与 的转向一致，可写作：2)法向加速度 ：其大小 方向由B点指向基点A，即与 反向，可写作9.4 用基点法求平面图形内各点的加速度第59页/共100页B点的绝对加速度定理：平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。AB9.4 用基点法求平面图形内各点的加速度第60页/共100页 曲曲柄柄滑滑块块连连杆杆机机构构如如图图所所示示，曲曲柄柄OAOA长长R R，连连杆杆ABAB长长
30、l l。曲曲柄柄以以匀匀角角速速 0 0转转动动。求求图图示示位位置置时时连连杆杆ABAB中中心心点点MM 的加速度。的加速度。B BA AO Ox xy yMM例例 题题 9-99-99.4 用基点法求平面图形内各点的加速度第61页/共100页首先求得连杆首先求得连杆AB AB 的瞬心的瞬心Cv Cv 如图所示，利用瞬心法分析，可得连杆如图所示，利用瞬心法分析，可得连杆的角速度为的角速度为1.1.速度分析速度分析.2.2.加速度分析。加速度分析。因因A A点作匀速圆周运动，则点作匀速圆周运动，则MM点相对点相对基点A A 的法向加速度法向加速度 MM点相对点相对基点A A 的切向加速度切向加
31、速度 解解：v vA Av vB B选选 A A点为基点，则点为基点，则MM点的加速度为点的加速度为C Cv vB BA AO Ox xy yMMa aA Aa aA A例例 题题 9-99-99.4 用基点法求平面图形内各点的加速度第62页/共100页为求连杆的角加速度为求连杆的角加速度，应先求出，应先求出B B点的加速度，点的加速度，选 A点为基点，则B点的加速度 投影到投影到 轴上得轴上得因因得到得到 a aA Aa aB Bv vA Av vB BC Cv vB BA AO Ox xy yMMa aA Aa aA A例例 题题 9-99-99.4 用基点法求平面图形内各点的加速度第63
32、页/共100页投影到投影到 轴上轴上 求得连杆求得连杆ABAB的角加速度的角加速度 大小为大小为 逆时针转向逆时针转向 a aA Aa aB Bv vA Av vB BC Cv vB BA AO Ox xy yMMa aA Aa aA A 例例 题题 9-99-99.4 用基点法求平面图形内各点的加速度第64页/共100页分别投影到分别投影到 ，轴上得轴上得由于由于 所以所以 由此即可求得由此即可求得M M 点加速度的大小和方向。点加速度的大小和方向。对对a aA Aa aB Bv vA Av vB BC Cv vB BA AO Ox xy yMMa aA Aa aA A 例例 题题 9-99
33、-99.4 用基点法求平面图形内各点的加速度第65页/共100页 如如图图所所示示，在在外外啮啮合合行行星星齿齿轮轮机机构构中中，系系杆杆O O1 1O O=l l，以以匀匀角角速速度度 1 1绕绕O O1 1轴轴转转动动。大大齿齿轮轮固固定定，行行星星轮轮半半径径为为r r，在在轮轮上上只只滚滚不不滑滑。设设A A和和B B是是轮轮缘缘上上的的两两点点，A A点点在在O O1 1O O的的延延长长线线上上，而而B B点点则则在在垂垂直直于于O O1 1O O的半径上。试求点的半径上。试求点A A和和B B 的加速度。的加速度。1 1O O1 1O OA AB BC C例例 题题 9-109-
34、109.4 用基点法求平面图形内各点的加速度第66页/共100页 轮轮作平面运动，其中心作平面运动，其中心O O的速度和的速度和加速度分别为：加速度分别为：轮轮的速度瞬心在的速度瞬心在C C点，则轮点，则轮的角速度的角速度因为因为 1 1和和 都为常量，所以轮都为常量，所以轮的角加速度为零，则有的角加速度为零，则有解：1.1.求求A A点的加速度。点的加速度。选选O O为基点，应用加速度合成定理为基点，应用加速度合成定理B B 1 1O O1 1A AC C O Ov vo oa aOO例例 题题 9-109-109.4 用基点法求平面图形内各点的加速度第67页/共100页 A A点相对于基点
35、点相对于基点O O的法向加速度沿半径的法向加速度沿半径OAOA，指向中心指向中心O O，大小为，大小为所以由图可知所以由图可知A A点的加速度的方向沿点的加速度的方向沿OAOA，指向中心指向中心O O，它的大小为，它的大小为 1 1O O1 1O OA AB BC C a aOOa aOO例例 题题 9-109-109.4 用基点法求平面图形内各点的加速度第68页/共100页所以所以B B点的加速度大小为点的加速度大小为它与半径它与半径OBOB间的夹角为间的夹角为2.2.求求B B点的加速度。点的加速度。选选O O为基点，应用加速度合成定理为基点，应用加速度合成定理其中其中 1 1O O1 1
36、O OA AB BC C a aOOa aOO例例 题题 9-109-109.4 用基点法求平面图形内各点的加速度第69页/共100页 如如图图所所示示，在在椭椭圆圆规规的的机机构构中中，曲曲柄柄ODOD以以匀匀角角速速度度 绕绕 O O轴轴 转转 动动，ODOD=ADAD=BDBD=l l，求求当当 时时，规规尺尺ABAB的的角加速度和角加速度和A A点的加速度。点的加速度。yOBAx D例例 题题 9-119-119.4 用基点法求平面图形内各点的加速度第70页/共100页运运 动动 演演 示示例例 题题 9-119-119.4 用基点法求平面图形内各点的加速度第71页/共100页yOBA
37、x D 曲柄曲柄OD OD 绕绕O O轴转动，规尺轴转动，规尺ABAB作平面运动。作平面运动。ABAB上的上的 D D点加速度点加速度 ，设规尺设规尺 AB AB 的角速度为的角速度为 ABAB ，可由基点法或瞬心法求得，可由基点法或瞬心法求得a aDD解解：其中其中 的大小的大小 ，方向沿方向沿AB AB。a at tADAD 大小未知，垂直于大小未知，垂直于ADAD，其方向暂设，其方向暂设如图。因为如图。因为A A点作直线运动，可设点作直线运动，可设a aA A的方向如的方向如图所示。图所示。取取ABAB上的上的D D点为基点，点为基点，A A点的加速度点的加速度a aDDa aA A则则
38、例例 题题 9-119-119.4 用基点法求平面图形内各点的加速度第72页/共100页yOBAx Da aDDa aDDa aA A取取 和和 轴如图所示，将上式分别在轴如图所示，将上式分别在 和和 轴轴上投影，得上投影，得由上式解得由上式解得规尺规尺 ABAB角加速度角加速度由于由于a aA A为负值，故为负值，故a aA A的实际方向与原假设的方向相反的实际方向与原假设的方向相反。对式对式例例 题题 9-119-119.4 用基点法求平面图形内各点的加速度第73页/共100页 车轮沿直线滚动，已知车轮半径为车轮沿直线滚动，已知车轮半径为R R，中心，中心O O的速度为的速度为v vOO，
39、加速度为，加速度为a aOO。设。设车轮与地面接触无相对滑动。求车轮上速度瞬心的加速度。车轮与地面接触无相对滑动。求车轮上速度瞬心的加速度。C CO Ov vOOa aOO例例 题题 9-129-129.4 用基点法求平面图形内各点的加速度第74页/共100页 车轮只滚不滑，所以其角速度和角加速度车轮只滚不滑，所以其角速度和角加速度分别为分别为取中心取中心O O为基点，则为基点，则C C点的加速度点的加速度式中式中由于由于a aO O与与 大小相等方向相反大小相等方向相反，于是有于是有解：解：车轮作平面运动，其速度瞬心在与地面的车轮作平面运动，其速度瞬心在与地面的接触点接触点C C。方向向上方
40、向向上C CO Ov vOOa aOOC CO Ona aOOC CO Oa aOO例例 题题 9-129-129.4 用基点法求平面图形内各点的加速度第75页/共100页 在多个刚体构成的机构中，处于平面运动刚体上的某个点被选为动点，它可能即满足平面运动的规律，又满足点的合成运动的规律。应注意分别分析，综合灵运用这两种规律。有时同一问题可用不同方法分析，经过分析比较后，选用较简便的方法求解。下面通过例子说明这些方法的综合应用。9.5 运动学综合应用举例第76页/共100页 如如图图所所示示平平面面机机构构，滑滑块块B B可可沿沿杆杆 OAOA滑滑动动。杆杆BEBE与与BDBD分分别别与与套套
41、筒筒B B铰铰接接，BDBD杆杆可可沿沿水水平平导导轨轨运运动动。滑滑块块E E以以匀匀速速v v 沿沿铅铅直直导导轨轨向向上上运运动动，杆杆BEBE长长为为 。图图示示瞬瞬时时杆杆OAOA铅铅直直，且且与与杆杆BEBE夹夹角角为为 。求求该该瞬瞬时时杆杆OAOA的的角角速速度度与与角角加加速度。速度。OE EBDllOAv vA例例 题题 9-139-139.5 运动学综合应用举例第77页/共100页运运 动动 演演 示示例例 题题 9-139-139.5 运动学综合应用举例第78页/共100页OE EBDllOAv vA由由v v及及v vB B方向可知此瞬时点方向可知此瞬时点O O为为B
42、EBE杆的速杆的速度瞬心，所以有度瞬心，所以有以以E E为基点，为基点，B B点的加速度为点的加速度为v vB Ba aB B 杆杆BEBE作平面运动，可先求出套筒作平面运动，可先求出套筒B B的速度和加速度。套筒在的速度和加速度。套筒在OAOA杆上滑动，杆上滑动，并带动杆并带动杆OAOA转动，可按复合运动方法转动，可按复合运动方法求解杆求解杆OAOA的角速度和加角速度。的角速度和加角速度。1.1.求求B B点的速度。点的速度。2.2.求求B B点的加速度。点的加速度。解：解：例例 题题 9-139-139.5 运动学综合应用举例第79页/共100页由于滑块由于滑块E E作匀速直线运动，故作匀
43、速直线运动，故a aE E=0=0。a an nBEBE的大小为的大小为沿沿BEBE方向投影上式，得方向投影上式，得从而求得从而求得OE EBDllOAv vAv vB Ba aB B例例 题题 9-139-139.5 运动学综合应用举例第80页/共100页OE EBDllOAv vA应用速度合成定理应用速度合成定理于是得杆于是得杆OAOA的角速度的角速度 上上面面用用刚刚体体平平面面运运动动方方法法求求出出了了B B点点的的速速度度和和加加速速度度。由由于于B B 滑滑块块可可以以在在OAOA杆杆上上滑滑动动，因因此此可可利利用用点的复合运动方法求解杆点的复合运动方法求解杆OAOA的角速度和
44、角加速度。的角速度和角加速度。式式中中v va a=v vB B；牵牵连连速速度度v ve e其其方方向向垂垂直直于于OAOA，因因此此与与v va a同向；相对速度同向；相对速度v vr r沿沿OAOA杆，即垂直于杆，即垂直于v va a 。显然有。显然有3.3.求求OAOA杆的角速度。杆的角速度。v vr rv ve ev va a动系动系固连于固连于OAOA杆。杆。动点滑块动点滑块B B。定系定系固连机座。固连机座。（逆时针转向）（逆时针转向）例例 题题 9-139-139.5 运动学综合应用举例第81页/共100页OE EBDllOAv vA故杆故杆OAOA的角加速度为的角加速度为a
45、aa a OAOA牵连法向加速度牵连法向加速度滑块滑块B B的绝对加速度的绝对加速度将上式投影到与将上式投影到与a ar r垂直的垂直的BDBD线上，得线上，得滑块滑块B B的相对运动为沿的相对运动为沿OAOA的直线运动，此瞬的直线运动，此瞬时时，v vr r=0 0，故相对加速度故相对加速度a ar r=0 0。4.4.求杆求杆OAOA的角加速度。的角加速度。应用加速度合成定理应用加速度合成定理则滑块则滑块B B的牵连切向加速度为的牵连切向加速度为（顺时针转向）（顺时针转向）牵连切向加速度沿牵连切向加速度沿BDBD杆。杆。例例 题题 9-139-139.5 运动学综合应用举例第82页/共10
46、0页 在在示示平平面面机机构构中中，ACAC杆杆在在导导轨轨中中以以匀匀速速v v平平动动，通通过过铰铰链链A A带带动动ABAB杆杆沿沿导导套套O O运运动动，导导套套O O与与杆杆ACAC的的距距离离为为l l。图图示示瞬瞬时时ABAB杆杆与与ACAC杆杆的的夹夹角角为为 ，求求此此瞬瞬时时ABAB杆杆的的角角速速度度及及角角加加速度。速度。ACOBv v例例 题题 9-149-149.5 运动学综合应用举例第83页/共100页运运 动动 演演 示示例例 题题 9-149-149.5 运动学综合应用举例第84页/共100页ACOBv vv va av ve ev vr r由速度合成定理由速
47、度合成定理 ABAB由于杆由于杆AB在导套在导套O O中滑动，因此杆中滑动，因此杆ABAB与导套与导套O O具有相同的角速度及角加速具有相同的角速度及角加速度。其角速度度。其角速度各速度矢如图所示。各速度矢如图所示。解法一解法一解：解：1.1.求求ABAB杆的角速度。杆的角速度。动系动系固连于固连于导套导套O O 。动点动点 A A点点。定系定系固连机座。固连机座。绝对运动绝对运动A A点以匀速点以匀速v 沿沿ACAC方向的运动。方向的运动。相对运动相对运动A A点沿导套点沿导套O O的直线运动。的直线运动。牵连运动导套牵连运动导套O O绕定绕定轴的轴的转动转动。其中其中从而求得从而求得（逆时
48、针转向）（逆时针转向）例例 题题 9-149-149.5 运动学综合应用举例第85页/共100页ACOB 由由于于A A点点为为匀匀速速直直线线运运动动，故故其其绝绝对对加加速速度度为为零零。A A点点的的相相对对运运动动为为沿沿导导套套O O的的直直线线运运动动，因因此此其其相相对对加速度加速度a ar r 沿杆沿杆ABAB方向，故由加速度合成定理有方向，故由加速度合成定理有式中，绝对加速度式中，绝对加速度a aa a=0=0，科氏加速度科氏加速度a aC Ca ar r将上式投影到将上式投影到a at te e方向得方向得从而求得从而求得ABAB杆的角加速度大小为杆的角加速度大小为2.2.
49、求求ABAB杆的角加速度。杆的角加速度。动点、动系与定系的选取与上相同。动点、动系与定系的选取与上相同。（顺时针转向）（顺时针转向）ABAB例例 题题 9-149-149.5 运动学综合应用举例第86页/共100页 以以O O点为坐标原点建立如图直角坐标系，点为坐标原点建立如图直角坐标系，将其两端对时间求导，并注意到将其两端对时间求导，并注意到当当 时得时得ABAB杆角速度杆角速度角加速度角加速度yACOBOxxAlv v再将其两端对时间求导，得再将其两端对时间求导，得得得解法二解法二则则A A点的点的 x x 坐标为坐标为例例 题题 9-149-149.5 运动学综合应用举例第87页/共10
50、0页 如如图图所所示示平平面面机机构构，ABAB长长为为l l，滑滑块块A A可可沿沿摇摇杆杆OCOC的的长长槽槽滑滑动动。摇摇杆杆OCOC以以匀匀角角速速度度 绕绕O O轴轴转转动动，滑滑块块B B以以匀匀速速v v=l l 沿沿水水平平导导轨轨滑滑动动。图图示示瞬瞬时时OCOC铅铅直直，ABAB与与水水平平线线OBOB夹夹角角为为3030o o。求求此此瞬瞬时时ABAB杆杆的的角角速速度度及角加速度。及角加速度。BOACv v例例 题题 9-159-159.5 运动学综合应用举例第88页/共100页运运 动动 演演 示示例例 题题 9-159-159.5 运动学综合应用举例第89页/共10