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1、电静电场中的导体1本讲稿第一页，共三十页 4.1 导体的静电平衡条件导体的静电平衡条件 (electrostatic equilibrium of conductor）E内内=0静电平衡时的导体静电平衡时的导体等势体等势体E表表等等势势面面接地接地(ground)：q1q2 大大 地（等势体）地（等势体）（等势区）（等势区）无限远无限远取得与无限远相同的电势取得与无限远相同的电势 表面表面前言：前言：为什么要研究导体为什么要研究导体（通常取为零）。（通常取为零）。（影响电场、（影响电场、设计电场）设计电场）2本讲稿第二页，共三十页4.2 静电平衡时导体上的电荷分布规律静电平衡时导体上的电荷分布
2、规律一一.导体静电平衡时电荷分布在表面导体静电平衡时电荷分布在表面1.实心导体：实心导体：内内=0S S 是任意的。是任意的。令令S 0，则必有则必有 内内=0。V理由：理由：3本讲稿第三页，共三十页 外外E内内 内内S内内2.导体壳：导体壳：S 外外可不为零，但可不为零，但 内内 和和 E内内必为零。必为零。理由：理由：在导体中包围空腔选取在导体中包围空腔选取若若 内内 0，则，则 内内必有正负必有正负 与导体静电平衡矛盾与导体静电平衡矛盾E线从正电荷到负电荷线从正电荷到负电荷只能只能 内内=0，且腔内无，且腔内无E线线=0=0只能只能 E内内=0。高斯面高斯面S，则：则：4本讲稿第四页，共
3、三十页 外外q内表内表E内内 内内q 0 03.导体壳内有电荷：导体壳内有电荷：外外可不为可不为0，但必有，但必有 内内 0，理由：理由：在导体中包围空腔做高斯在导体中包围空腔做高斯=-qS面面S，则：则：5本讲稿第五页，共三十页二二.表面场强与面电荷密度的关系表面场强与面电荷密度的关系(高）高）是小柱体内电荷的贡献还是导体表是小柱体内电荷的贡献还是导体表从推导中的哪一步可看出？从推导中的哪一步可看出？思考思考面全部电荷的贡献？面全部电荷的贡献？导体导体小扁柱体小扁柱体表面为表面为 S6本讲稿第六页，共三十页三三.孤立导体表面电荷分布的特点孤立导体表面电荷分布的特点 孤立导体孤立导体表面曲率大
4、处面电荷密度也大，表面曲率大处面电荷密度也大，但但不存在单一函数关系。不存在单一函数关系。尖端放电尖端放电（point discharge）：）：带电的尖端电场强，使附近的空气电离，带电的尖端电场强，使附近的空气电离，因而产生放电。因而产生放电。7本讲稿第七页，共三十页空气中的直流高压放电：空气中的直流高压放电：8本讲稿第八页，共三十页闪电：闪电：雷击大桥雷击大桥遭雷击后的草地遭雷击后的草地9本讲稿第九页，共三十页俘获闪电：俘获闪电：激光束引起空气电离，使闪电改道激光束引起空气电离，使闪电改道Z形通道形通道被迫冲被迫冲向云层向云层10本讲稿第十页，共三十页演示演示 带电导体空腔外表面带电，内表
5、面不带电；带电导体空腔外表面带电，内表面不带电；尖端放电尖端放电 孤立导体表面曲率大处面电荷密度也大也大；孤立导体表面曲率大处面电荷密度也大也大；电风轮电风轮电风电风“吹吹”蜡烛蜡烛11本讲稿第十一页，共三十页 04.3 有导体存在时静电场的分析与计算有导体存在时静电场的分析与计算依据：依据：例例 静电平衡条件，静电平衡条件，1 2求：求：导体板两表面的面电荷密度。导体板两表面的面电荷密度。解解:设导体电荷密度为设导体电荷密度为 1、2，电荷守恒：电荷守恒：导体内场强为零：导体内场强为零：电荷守恒，电荷守恒，高斯定理。高斯定理。E E E0(2)（1）、（）、（2）解得：）解得：平行放置一大的
6、不带电导体平板。平行放置一大的不带电导体平板。面电荷密度为面电荷密度为 0 的均匀带电大平板旁，的均匀带电大平板旁，已知：已知：1+2=0 (1)E0+E1E2=012本讲稿第十二页，共三十页思考思考 0 2 00（B）-0 00（C）-0 2 00（A）下面结果哪个正确下面结果哪个正确?若上面例题中导体板接地，若上面例题中导体板接地，13本讲稿第十三页，共三十页4.4 静电场唯一性定理静电场唯一性定理 静电屏蔽静电屏蔽 电像法电像法 区域求解问题：区域求解问题：如何通过边界条件反映未如何通过边界条件反映未知的域外电荷对域内场的影响呢？知的域外电荷对域内场的影响呢？问题的提出问题的提出由由知，
7、知，若要求若要求 得得知道全空间的电荷分布。知道全空间的电荷分布。但是有时我们只知道但是有时我们只知道某个域内的电荷分布某个域内的电荷分布域内的电场情况。域内的电场情况。对域外情况并不清楚。对域外情况并不清楚。和域边界上的某些情况，和域边界上的某些情况，必须必须而且我们也仅仅关心而且我们也仅仅关心这就是这就是静电场的唯一性定理静电场的唯一性定理所要解决的问题。所要解决的问题。14本讲稿第十四页，共三十页一一.唯一性定理唯一性定理（uniqueness theorem）域内的解就是唯一的。域内的解就是唯一的。（1）给定各边界上的电势分布；给定各边界上的电势分布；边界面的电通量边界面的电通量（3）
8、一部分边界按条件（一部分边界按条件（1）给出，给出，设在给定域内电荷分布确定，设在给定域内电荷分布确定，则给定下列边界则给定下列边界条件条件之一，之一，这些条件是：这些条件是：（2）已知各边界面均为等势面，已知各边界面均为等势面，并给定了各闭合并给定了各闭合按条件（按条件（2）给出）给出其余边界其余边界（即混合边界条件）。（即混合边界条件）。（通常是给出导体的电量）。（通常是给出导体的电量）。15本讲稿第十五页，共三十页 证明：证明：则对域内任意闭合曲面则对域内任意闭合曲面 S 有：有：令令则对则对域域V S S1S2Si用反证法。用反证法。设域内有两个满足给定条件的设域内有两个满足给定条件的
9、解解即对应于即对应于域内无电荷分布域内无电荷分布（S 可任选）可任选）这说明：这说明：或或情况（情况（A）；）；或或而而线发自一边界，止于另一边界线发自一边界，止于另一边界情况（情况（B）16本讲稿第十六页，共三十页下面证明只可能是情况（下面证明只可能是情况（A），即），即 若按条件（若按条件（1）给定：给定：则则 说明各边界面电势为说明各边界面电势为0所以，场强、电势皆唯一。所以，场强、电势皆唯一。情况（情况（B）不成立，不成立，故只有故只有情况（情况（A）成立，成立，即：即：17本讲稿第十七页，共三十页电势可不同），电势可不同），且边界上不存在且边界上不存在 的极大值的极大值和极小值和极小
10、值只可能只可能则只可能则只可能情况（情况（A）成立，成立，亦即场强唯一，电势可差亦即场强唯一，电势可差一常量一常量(没给定没给定)。即即即各边界的电势相同。即各边界的电势相同。则：则：说明对说明对 而言，而言，边界都是等势面边界都是等势面（各面（各面再考虑到再考虑到，若按条件若按条件（2）给定）给定，18本讲稿第十八页，共三十页（自己证明）（自己证明）二二.静电屏蔽静电屏蔽（electrostatic shielding）壳内域：壳内域：若若q内内 给定，给定，（2）类边界条件。）类边界条件。而而 内则可差一常量。内则可差一常量。证明域内证明域内 和和 都唯一确定。都唯一确定。若按条件（若按条
11、件（3）给定给定，则可仿照前面的讨论，则可仿照前面的讨论，q内内q外外封封闭闭导导体体壳壳S内内（无限靠（无限靠近内壁）近内壁）这符合唯一性定理的第这符合唯一性定理的第则则19本讲稿第十九页，共三十页不管不管q外外如何，上述定解条件均不变，如何，上述定解条件均不变，封闭导体壳屏蔽了壳外电荷对壳内的影响。封闭导体壳屏蔽了壳外电荷对壳内的影响。壳外域：壳外域：若若q外外给定，给定，则则 只要只要q内内的大小不变（可在壳内移动），的大小不变（可在壳内移动），q内内q外外封封闭闭导导体体壳壳（无限靠近外壁）（无限靠近外壁）S外外就唯一确定。就唯一确定。20本讲稿第二十页，共三十页q内内q外外封封闭闭导
12、导体体壳壳S内内S外外当导体壳接地时，当导体壳接地时，内域：内域：内域内域外域外域q内内分布给定分布给定，S内内。与与q外外无关，无关，外域：外域：q外外分布给定，分布给定，与与 q内内无关。无关。接地导体壳可屏蔽壳内外电荷间的相互影响。接地导体壳可屏蔽壳内外电荷间的相互影响。结论：结论：21本讲稿第二十一页，共三十页q内内q外外封闭导体壳封闭导体壳S内内S外外内域内域外域外域q内表内表q外表外表 由由唯唯一一性性定定理理和和静静电电屏屏蔽蔽的的结结论论可可还还推推知知（自自行行证明），在图示情形中，应有：证明），在图示情形中，应有：在在 rR 处，处，思考思考q.r0R导体壳导体壳S（球面）
13、（球面）P22本讲稿第二十二页，共三十页汽车是个静电屏蔽室汽车是个静电屏蔽室23本讲稿第二十三页，共三十页三三.电（镜）像法电（镜）像法（method of images）已知：已知：点电荷点电荷q处于（处于（0，0，a）点，）点，求：求：z 0区域的区域的 =？导体面上？导体面上 =？解：解：定解条件：定解条件：域内域内q已知，位置确定，已知，位置确定，符合第（符合第（1）类边界条件，）类边界条件，z 0的区域内解唯一。的区域内解唯一。求解域求解域(00,a)qz0 例例1 z=0的平面为无限大导体平面，的平面为无限大导体平面，z=0。24本讲稿第二十四页，共三十页 去掉无限大导体平面，去掉
14、无限大导体平面，此时边界条件为：此时边界条件为：rr 求解域求解域(00,a)q z 由唯一性定理知，由唯一性定理知，q 和和 q 在域内的合场强在域内的合场强 即为即为 z 0 域内该命题的解。域内该命题的解。符合原定解条件。符合原定解条件。解为：解为：q =-q(0,0,-a)试探在（试探在（0，0，-a）处，）处，放个点电荷放个点电荷q =-q，以此来以此来代替导体面上感应代替导体面上感应电荷对电荷对 z 0 区域内的影响。区域内的影响。25本讲稿第二十五页，共三十页 题中的点电荷题中的点电荷q，导体平面上的感应电荷面密度为：导体平面上的感应电荷面密度为：RR 求解域求解域 0aqz-q
15、-a 即为即为q对导体面的对导体面的“电镜像电镜像”（简称（简称“电像电像”）。）。26本讲稿第二十六页，共三十页有一点电荷有一点电荷q，求：求：球外电势球外电势 。解：解：qlO导导体体球球 aAS边界条件边界条件试探在试探在OA线上距线上距O为为 l (a)的的A 点放点放电像电像q。l q A rr P则球外电势则球外电势此解自动满足无限远的边界条件此解自动满足无限远的边界条件 =0。例例2已知：已知：在半径为在半径为a的接地导体球外的的接地导体球外的A点点A点到球心的距离为点到球心的距离为l。域内域内(球外球外)电荷给定，电荷给定，满足第（满足第（1）类边界条件，）类边界条件，解唯一。
16、解唯一。27本讲稿第二十七页，共三十页为了满足球面上的边界条件，为了满足球面上的边界条件，qO导导体体球球 alASl q A R R由此可导出：由此可导出：rr P应有：应有：28本讲稿第二十八页，共三十页对电像法的几点说明：对电像法的几点说明：3.放置电像的原则：放置电像的原则：不能破坏域内给定的电荷分布不能破坏域内给定的电荷分布 （电像必须放在域外）；（电像必须放在域外）；1.电像法的理论依据是唯一性定理；电像法的理论依据是唯一性定理；2.电像法的本质是，电像法的本质是，来等效边界上的未知电荷对域内的影响；来等效边界上的未知电荷对域内的影响；要使像电荷和给定电荷的总电场满足原要使像电荷和给定电荷的总电场满足原4.电像可以不止一个；电像可以不止一个；5.不是任何情况都能找到电像。不是任何情况都能找到电像。边界条件；边界条件；用域外配置的像电荷，用域外配置的像电荷，29本讲稿第二十九页，共三十页aqb1)2)找出电像，或指出是否找出电像，或指出是否 存在电像。存在电像。思考思考aqb3)ddq4)al O带电量为带电量为 Q 的绝缘导体球的绝缘导体球q5)第四章结束第四章结束30本讲稿第三十页，共三十页