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1、关于曲边梯形的面积及定积分定义第1页，讲稿共37张，创作于星期二微积分在几何上有两个基本问题微积分在几何上有两个基本问题1.如何确定曲线上一点处切线的斜率；如何确定曲线上一点处切线的斜率；2.如何求曲线下方如何求曲线下方“曲边梯形曲边梯形”的面积。的面积。xy0 xy0 xyo直线直线几条线段连成的折线几条线段连成的折线曲线？曲线？第2页，讲稿共37张，创作于星期二第3页，讲稿共37张，创作于星期二1.5.1曲边梯形的面积曲边梯形的面积直线直线x 0、x 1、y 0及曲线及曲线y x2所围成的图形（曲边三角形）所围成的图形（曲边三角形）面积面积S是多少？是多少？x yO1为了计算曲边三角形的面
2、积为了计算曲边三角形的面积S，将它分割成许多小曲边梯形，将它分割成许多小曲边梯形对任意一个小曲边梯形，用对任意一个小曲边梯形，用“直边直边”代替代替“曲边曲边”（即在很小范围内以直代曲（即在很小范围内以直代曲)演示第4页，讲稿共37张，创作于星期二 当分点非常多（当分点非常多（n非常大）时，可以认为非常大）时，可以认为f(x)在在小区间上几乎没有变化（或变化非常小），从而小区间上几乎没有变化（或变化非常小），从而可以取小区间内任意一点可以取小区间内任意一点xi对应的函数值对应的函数值f(xi)作为作为小矩形一边的长，于是小矩形一边的长，于是f(xi)x来近似表示小曲边梯来近似表示小曲边梯形的面
3、积形的面积表示了曲边梯形面积的近似值表示了曲边梯形面积的近似值演示第5页，讲稿共37张，创作于星期二分割越细，面积的近似值就越精确。当分割分割越细，面积的近似值就越精确。当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积边梯形的面积S。下面方案下面方案“以直代曲以直代曲”的具体操作过程的具体操作过程第21页，讲稿共37张，创作于星期二（1）分割）分割把区间把区间0，1等分成等分成n个小区间：个小区间：过各区间端点作过各区间端点作x轴的垂线，从而得到轴的垂线，从而得到n个小曲边梯个小曲边梯形，他们的面积分别记作形，他们的面积分别记作第22页，讲稿共37
4、张，创作于星期二（2）近似代替近似代替（3）求和）求和第23页，讲稿共37张，创作于星期二（4）取极限）取极限分割分割近似代替近似代替求和求和取极限取极限第24页，讲稿共37张，创作于星期二 y=f(x)bax yOx1xi-1xixn-1x2 xi f(xi)x1x2 f(x1)f(x2)f(xi)xi在 a,b中任意插入 n 1个分点得n个小区间：xi1,xi (i=1,2,n)把曲边梯形分成 n 个窄曲边梯形任 取xi xi1，xi ，以f(x i)xi近 似 代 替 第i个 窄 曲 边 梯 形 的 面积区间xi1,xi 的长度xi xi xi1 曲边梯形的面积近似为：A第25页，讲稿共
5、37张，创作于星期二分割分割近似代换近似代换求和求和取极限取极限（类似方法求汽车行驶的路程）（类似方法求汽车行驶的路程）曲边梯形的面积近似为：第26页，讲稿共37张，创作于星期二第27页，讲稿共37张，创作于星期二第28页，讲稿共37张，创作于星期二第29页，讲稿共37张，创作于星期二第30页，讲稿共37张，创作于星期二(1)分割分割在区间在区间0,1上等间隔地插入上等间隔地插入n-1个点，将它等分成个点，将它等分成n个小区间：个小区间：第31页，讲稿共37张，创作于星期二(2)近似代替、作和近似代替、作和第32页，讲稿共37张，创作于星期二第33页，讲稿共37张，创作于星期二定积分的性质定积分的性质:第34页，讲稿共37张，创作于星期二第35页，讲稿共37张，创作于星期二第36页，讲稿共37张，创作于星期二感感谢谢大大家家观观看看第37页，讲稿共37张，创作于星期二