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1、流体的控制方程流体的控制方程第1页/共45页流体的控制方程流体的控制方程第2页/共45页数值离散概述数值离散概述 有限差分法求解流动控制方程的基本过程是：首先将求解区域划分为差分网格，用有限个网格点代替连续的求解域，将待求解的流动变量（如密度、速度等）存储在各网格点上，并将偏微分方程中的微分项用相应的差商代替，从而将偏微分方程转化为代数形式的差分方程，得到含有离散点上的有限个未知变量的差分方程组。求出该差分方程组的解，也就得到了网格点上流动变量的数值解。第3页/共45页离散网格点离散网格点第4页/共45页差分和逼近误差差分和逼近误差 差分概念：设有 的解析函数 ，函数 对 的导数为：、分别是函
2、数及自变量的微分，是函数对自变量的导数，又称微商。上式中的 、分别称为函数及其自变量的差分，为函数对自变量的差商。第5页/共45页 差分的三种形式（一阶）：向前差分 向后差分 中心差分 与其对应的差商的三种形式（一阶）：向前差商 向后差商 中心差商差分和逼近误差差分和逼近误差第6页/共45页 由导数（微商）和差商的定义可知，当自变量的差分（增量）趋近于零时，就可以由差商得到导数。因此在数值计算中常用差商近似代替导数。差分和逼近误差差分和逼近误差第7页/共45页差分和逼近误差差分和逼近误差 用泰勒级数展开可以推导出导数的有限差分形式。第8页/共45页差分和逼近误差差分和逼近误差第9页/共45页差
3、分和逼近误差差分和逼近误差 逼近误差：差商与导数之间的误差，表明差商逼近导数的程度。由函数的 Taylor 级数展开，可以得到逼近误差相对于自变量差分的量级，称为用差商代替导数的精度。第10页/共45页差分和逼近误差差分和逼近误差第11页/共45页差分和逼近误差差分和逼近误差第12页/共45页第13页/共45页差分和逼近误差差分和逼近误差第14页/共45页差分和逼近误差差分和逼近误差第15页/共45页差分和逼近误差差分和逼近误差 二阶中心差分：第16页/共45页 二阶中心差分：差分和逼近误差差分和逼近误差第17页/共45页差分方程的建立过程差分方程的建立过程 差分相应于微分，差商相应于导数。只
4、不过差分和差商是用有限形式表示的，而微分和导数是以极限形式表示的。如果将微分方程中的导数用相应的差商近似代替，就可以得到有限形式的差分方程。第18页/共45页模型方程模型方程 为了抓住问题的实质，同时又不使讨论的问题过于复杂，常用一些简单的方程来模拟流体力学方程进行讨论分析，以阐明关于一些离散方法的概念。这些方程就叫做模型方程。常用的模型方程：对流方程：对流扩散方程：热传导方程：第19页/共45页 Poisson方程：Laplace方程：第20页/共45页差分方程的建立过程差分方程的建立过程 以对流方程说明差分方程的建立过程。第21页/共45页 1.划分网格 选定步长 和 ，然后在坐标平面用平
5、行于坐标轴的两族直线划分网格：2.针对某一点，用差商近似代替导数 对流方程在 点为差分方程的建立过程差分方程的建立过程第22页/共45页第23页/共45页 时间导数用一阶向前差商近似代替：空间导数用一阶中心差商近似代替：则对流方程在 点对应的差分方程为第24页/共45页 差分方程和其定解条件一起，称为相应微分方程问题的差分格式。上述初值问题的差分格式可改写为：观察上述差分格式可看出：若知道第 层的 ，可由一个差分式子直接算出第 层的 ，故称这类格式为显示格式。第25页/共45页 显式有限差分模板：第26页/共45页 时间推进：第27页/共45页 例 考虑长度为1的均匀直杆，其表面是绝热的，而且
6、杆截面足够细，可 以把断面上的所有点的温度看成是相同的。轴取为沿 杆轴方向，对应杆的端点，则杆内温度分布 随时间变化由下面的扩散方程来描述：第28页/共45页 时间导数用一阶向前差商近似代替：空间导数用二阶中心差商近似代替：取 ，则最终的差分方程：第29页/共45页 显式有限差分模板：第30页/共45页0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.00.00.51.01.52.02.53.0100100000000000100100100100100100100100100100100100505062.562.568.868.80252537.537.545.30012.5
7、12.521.921.90006.256.2514.100006.256.250006.256.2514.10012.512.521.921.90252537.537.545.3505062.562.568.868.8第31页/共45页 如仍取 而为缩短计算时间，时间步长 取 ，则最终的差分方程：0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.00.00.51.01.510010000000000010010010010010010010002000100-10000100000000000001000100-1001000200第32页/共45页差分法的基本理论差分法的基本理
8、论 上例中，令 表示差分方程的精确解利用Taylor级数将上式中邻近节点的解在(i，n)点展开，整理并略去上标后可得上式就是与差分方程等价的微分方程式。一般地说，任何一个微分方程的差分方程,其差商都可以用Taylor 级数表示，这样都可以得到一个与差分方程对应的新的微分方程，该微分方程称为差分方程的修正方程式。1.相容性第33页/共45页 上式中的 就是差分方程与微分方程的差别，称之为截断误截断误差差。显然 与 、成正比，一般情况下，当步长趋向零时,有限差分方程的截断误差是趋向于零的，则称有限差分方程与相应的偏微分方程是相容相容的。一个可用的偏微分方程的差分表达式必须是相容的。否则在 、趋近零
9、时，差分方程不能趋于原微分方程，差分方程的解就不能代表微分方程的解，差分求解就失去了意义!第34页/共45页 2.收敛性 收敛性研究的是差分方程的解与微分方程的解之间的差别问题。如果在求解区域中的任一离散点 上，当网格步长 、趋于零时，有限差分方程的解趋近于所近似的微分方程解，则称有限差分方程的解是收敛的。一般情况下，证明收敛性是非常难的，暂不予以证明。第35页/共45页 3.稳定性 稳定性讨论的是差分解的误差在计算过程中的发展问题。在数值解中，引进误差是不可避免的，电子计算机也有舍入误差，因此实际算得的有限差分方程的解是近似解。这种误差是要向其他方向传播的，如果计算中引入的误差在以后逐层计算
10、过程中影响逐渐消失或者保持有界，则称差分方程是稳定的。否则就是不稳定的。第36页/共45页 上式中 为差分方程的精确解,如果令 为差分方程的近似数值解，之间的误差为 。同样，近似数值解也满足同样的方程：分析例题Von Neumann稳定性分析方法简介稳定性分析方法简介 上式称为误差传播方程。第37页/共45页 4.Lax等价定理 对于一个适定的线性初值问题，如果有限差分近似是相容的，则稳定性是收敛性的充分和必要条件。这是有限差分方法最基本的定律。适用条件：1）偏微分方程的解存在、唯一且连续地依赖于初值；2）该定理只适用于线性问题，对非线性此定理至今未得到证明。重要的实际意义：一般情况下，证明有
11、限差分方程的解收敛于它所近似的偏微分方程的解比较困难。而证明有限差分方程的稳定性和相容性相对来说比较容易。根据该定理只要证明有限差分方程是相容的、稳定的，就保证了收敛性。第38页/共45页几种差分格式介绍几种差分格式介绍FTCS格式（时间向前差分、空间中心差分）第39页/共45页几种差分格式介绍几种差分格式介绍FTFS格式（时间向前差分、空间向前差分）第40页/共45页几种差分格式介绍几种差分格式介绍FTBS格式（时间向前差分、空间向后差分）第41页/共45页几种差分格式介绍几种差分格式介绍第42页/共45页几种差分格式介绍几种差分格式介绍第43页/共45页几种差分格式介绍几种差分格式介绍迎风格式 第44页/共45页感谢您的观看！第45页/共45页