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1、第十七章弯曲应力及强度刚度计算第1页/共45页第一节第一节 梁弯曲时的正应力梁弯曲时的正应力#纯弯曲与剪切弯曲#中性层和中性轴#弯曲正应力分布规律#弯曲正应力的计算、抗弯截面模量第2页/共45页各横截面上同时有弯矩M和剪力Q，称为剪切弯曲剪切弯曲。各横截面只有弯矩M，而无剪力Q，称为纯弯曲纯弯曲。第3页/共45页 1、变形几何关系 纯弯曲梁变形后各横截面仍保持为一平面，仍然垂直于轴线，只是绕中性轴中性轴转过一个角度，称为弯曲问题的平面假设。中性层中性轴第4页/共45页#中性层和中性轴中性层和中性轴 中性层中性层 梁弯曲变形时，既梁弯曲变形时，既不伸长又不缩短的纵向不伸长又不缩短的纵向纤维层称为
2、中性层。纤维层称为中性层。对矩形截面梁来讲，就是位于上下中间这一层。对矩形截面梁来讲，就是位于上下中间这一层。中性轴中性轴中性层与横截面的交线。中性层与横截面的交线。梁弯曲时，实际上各个截面绕着中性轴转动。梁弯曲时，实际上各个截面绕着中性轴转动。如果外力偶矩如图作用在梁上，该梁下部将伸长、上部如果外力偶矩如图作用在梁上，该梁下部将伸长、上部将缩短将缩短第5页/共45页弯曲正应力分布规律弯曲正应力分布规律M 与中性轴距离相等的点，与中性轴距离相等的点，正应力相等；正应力相等；正应力大小与其到中性轴距离正应力大小与其到中性轴距离成正比；成正比；弯矩为正时，正应力以中性弯矩为正时，正应力以中性轴为界
3、下拉上压；轴为界下拉上压；弯矩为负时，正应力上拉下压；弯矩为负时，正应力上拉下压；M 中性轴上，正应力等于零中性轴上，正应力等于零第6页/共45页2、静力学关系分析、静力学关系分析Z:Z:中性轴中性轴没有轴向力没有轴向力中性轴必然通过横中性轴必然通过横截面的形心截面的形心质心坐标质心坐标静矩，面积矩静矩，面积矩第7页/共45页抗弯刚度第8页/共45页横截面上某点正应力该点到中性轴距离该截面弯矩该截面惯性矩第9页/共45页梁的弯矩图如图梁的弯矩图如图5-85-8b b 所示，由图知梁所示，由图知梁在固定端横截面上的弯矩最大，其值在固定端横截面上的弯矩最大，其值为为 例例 一受均布载荷的悬臂梁，其
4、长l=1m，均布载荷集度q=6kN/m；梁由10号槽钢制成，由型钢表查得横截面的惯性矩Iz=25.6cm4。试求此梁的最大拉应力和最大压应力。（1）作弯矩图，求最大弯矩第10页/共45页 因危险截面上的弯因危险截面上的弯矩为负，故截面矩为负，故截面上缘上缘受受最大拉应力，其值为最大拉应力，其值为在截面的在截面的下端下端受最大压应力，其值为受最大压应力，其值为（2）求最大应力第11页/共45页 第二节第二节 惯性矩的计算惯性矩的计算1、简单截面的惯性矩、简单截面的惯性矩矩形截面矩形截面第12页/共45页100200200100zzyyP(a)(b)第13页/共45页圆形与圆环截面实心圆实心圆空心
5、圆空心圆第14页/共45页2 2、组合截面惯性矩、组合截面惯性矩第15页/共45页平行移轴公式第16页/共45页 例例 求T字形截面的中性轴 z，并求截面对中性轴的惯性矩.将截面划分为将截面划分为、两矩形，取两矩形，取与截面底边相重合的与截面底边相重合的z 轴为参考轴为参考轴，则两矩形的面积及其形心至轴，则两矩形的面积及其形心至z 轴的距离分别为：轴的距离分别为：（1 1）确定形心和中性轴的位置确定形心和中性轴的位置第17页/共45页整个截面的形心整个截面的形心C 在对称轴在对称轴 y上的位置则为：上的位置则为：即中性轴即中性轴 z 与轴与轴 z 的距离为的距离为3cm。（2）求各组合部分对中
6、性轴z的惯性矩 设两矩形的形心设两矩形的形心C和和C；其形心轴为；其形心轴为z1和和z2，它们距，它们距z轴的轴的距离分别为：距离分别为：第18页/共45页由平行移轴公式，两矩形对中由平行移轴公式，两矩形对中性轴性轴z的惯性矩为：的惯性矩为：将两矩形对将两矩形对z轴的惯性矩相加，得轴的惯性矩相加，得（3）求整个截面对中性轴的惯性矩第19页/共45页3、弯曲正应力的计算、抗弯截面模量、弯曲正应力的计算、抗弯截面模量 某截面上最大弯某截面上最大弯曲正应力发生在截面曲正应力发生在截面的上下边界上：的上下边界上：WZ 称为抗弯截面模量，称为抗弯截面模量，Z 为中性轴为中性轴.矩形截面矩形截面Zbh实心
7、圆截面实心圆截面Zd第20页/共45页例：例：T型截面铸铁梁的受力如图所示，截面对中性轴的惯性矩为型截面铸铁梁的受力如图所示，截面对中性轴的惯性矩为IZ=763.7104 mm4,求求C截面和全梁的最大拉应力和压应力。截面和全梁的最大拉应力和压应力。4KN9KN1m1m1mDCBAZy5288解解1、计算、计算C截面弯矩截面弯矩RARBMCC截面Xy第21页/共45页例：例：T型截面铸铁梁的受力如图所示，截面对中性轴的惯性矩为型截面铸铁梁的受力如图所示，截面对中性轴的惯性矩为IZ=763.7104 mm4,求求C截面和全梁的最大拉应力和压应力。截面和全梁的最大拉应力和压应力。Zy52884KN
8、9KN1m1m1mDCBARARBMCC截面Xy2、分析、分析C截面应力分布情况截面应力分布情况第22页/共45页例：例：T型截面铸铁梁的受力如图所示，截面对中性轴的惯性矩为型截面铸铁梁的受力如图所示，截面对中性轴的惯性矩为IZ=763.7104 mm4,求求C截面和全梁的最大拉应力和压应力。截面和全梁的最大拉应力和压应力。Zy52884KN9KN1m1m1mDCBARARB3、求全梁的最大拉、压应力。、求全梁的最大拉、压应力。MX2.5KNm-4KNmMCC截面XyB截面MBXy第23页/共45页4KN9KN1m1m1mDCBARARBMX2.5KNm-4KNmyzh/2h/2第24页/共4
9、5页第三节 弯曲切应力第25页/共45页一、矩形截面梁横截面一、矩形截面梁横截面上的切应力上的切应力 第三节 弯曲切应力第26页/共45页第三节 弯曲切应力二、工字形截面梁横截面二、工字形截面梁横截面上的剪切应力上的剪切应力 第27页/共45页第四节 梁的强度计算#梁的最大正应力#梁的强度条件#举例第28页/共45页一、梁的最大正应力一、梁的最大正应力 梁的危险截面梁的危险截面 即最大正应力所在截面即最大正应力所在截面对于对称形截面对于对称形截面：梁的危险截面在该梁内弯矩最大的梁的危险截面在该梁内弯矩最大的截面上截面上危险截面位于梁中部危险截面位于梁中部危险截面位于梁根部危险截面位于梁根部 梁
10、的最大正应力梁的最大正应力梁的最大正应力发生在危梁的最大正应力发生在危险截面上离中性轴最远处险截面上离中性轴最远处第29页/共45页对于非对称形截面：对于非对称形截面：当梁的弯矩有正负变化时，最大的拉当梁的弯矩有正负变化时，最大的拉应力可能不等于最大的压应力，且可能不在同一截面上应力可能不等于最大的压应力，且可能不在同一截面上。4KN9KN1m1m1mDCBARARBMX2.5KNm-4KNmMCC截面XyB截面yMBXZ5288危险截面：危险截面：在最大在最大的正弯矩截面和最的正弯矩截面和最大的负弯矩截面。大的负弯矩截面。第30页/共45页二、梁的正应力强度条件二、梁的正应力强度条件Mmax
11、梁内最大弯矩梁内最大弯矩WZ危险截面抗弯截面模量危险截面抗弯截面模量材料的许用应力材料的许用应力利用强度条件可以校核强度、设计截面利用强度条件可以校核强度、设计截面尺寸、确定许可载荷尺寸、确定许可载荷第31页/共45页例例 图示圆截面辊轴，中段图示圆截面辊轴，中段BC受均部载荷作用，试确定辊轴受均部载荷作用，试确定辊轴BC段段截面的直径。已知截面的直径。已知q=1KN/mm，许用应力，许用应力=140MPa。q3003001400ABCD危险截面在轴的中部危险截面在轴的中部利用截面法求该截面弯矩利用截面法求该截面弯矩qRAyM300700300由对称性可求得：由对称性可求得：第32页/共45页
12、例：一圆形截面木梁，受力如图所示=10MPa,试选择截面直径d.3KNq=3kN/m1m3m解：解：1、确定危险截面、确定危险截面ABFAFBFQM-3KN5.5kN-3.5KN1.17m-3KNm2.KNm危险截面危险截面：A截面截面 Mmax=3kNm第33页/共45页例：一圆形截面木梁，受力如图所示=10MPa,试选择截面直径d.3KNq=3kN/m1m3mABFAFB危险截面危险截面：A截面截面 Mmax=3kNm2、据正应力强度条件确、据正应力强度条件确定截面直径。定截面直径。第34页/共45页例：图示支撑阳台的悬臂梁为一根例：图示支撑阳台的悬臂梁为一根16号工字钢，其上受均布载号工
13、字钢，其上受均布载荷荷q和集中力和集中力P作用。若作用。若P=2KN，梁长，梁长L=2.5m,工字钢的许用应工字钢的许用应力力=100MPa,试求试求q的许可值。的许可值。PqLABZ解：解：1、确定危险截面、确定危险截面PP+qLPL+qL2/2危险截面危险截面：固定端固定端AMmax=PL+ql2/2 (kNm)第35页/共45页例：图示支撑阳台的悬臂梁为一根例：图示支撑阳台的悬臂梁为一根16号工字钢，其上受均布载号工字钢，其上受均布载荷荷q和集中力和集中力P作用。若作用。若P=2KN，梁长，梁长L=2.5m,工字钢的许用应工字钢的许用应力力=100MPa,试求试求q的许可值。的许可值。P
14、qLABZ危险截面危险截面：固定端固定端AMmax=PL+ql2/2 (kNm)2、据强度条件确定、据强度条件确定q第36页/共45页例例 图示悬臂梁承受均布载荷图示悬臂梁承受均布载荷q，假设梁截面为，假设梁截面为b h的矩形，的矩形，h=2b，讨论梁立置与倒置两种情况哪一种更好？讨论梁立置与倒置两种情况哪一种更好？bhhbq根据弯曲强度条件根据弯曲强度条件同样载荷条件下，工作应力越小越好同样载荷条件下，工作应力越小越好因此，因此，WZ 越大越好越大越好梁立置时：梁立置时：梁倒置时：梁倒置时：立置立置比倒倒置强度大置强度大一倍。一倍。注意：注意：Z Z 轴为轴为中性轴中性轴第37页/共45页三
15、、梁的弯曲剪应力强度校核三、梁的弯曲剪应力强度校核 通常满足了正应力强度，剪应力强度也能满足。但通常满足了正应力强度，剪应力强度也能满足。但在梁的跨度较小或支座附近有较大的载荷时，因梁的在梁的跨度较小或支座附近有较大的载荷时，因梁的弯矩较小而剪应力相对较大，需要对梁进行剪应力强弯矩较小而剪应力相对较大，需要对梁进行剪应力强度校核。度校核。强度条件为：强度条件为：第38页/共45页 例例：图示简支梁，材料的许用应力图示简支梁，材料的许用应力=140MPa，=80MPa，试选择工字钢的型号。，试选择工字钢的型号。60kN2mAB0.2mc解：解：1、确定危险截面、确定危险截面FAFB54KN-6K
16、NFQM10.8KNm危险截面：危险截面：C C截面截面第39页/共45页 例例：图示简支梁，材料的许用应力图示简支梁，材料的许用应力=140MPa，=80MPa，试选择工字钢的型号。，试选择工字钢的型号。60kN2mAB0.2mcFAFB危险截面：危险截面：C C截面截面解：解：2、据正应力强度条件确、据正应力强度条件确定工字钢的型号。定工字钢的型号。第40页/共45页 例例：图示简支梁，材料的许用应力图示简支梁，材料的许用应力=140MPa，=80MPa，试选择工字钢的型号。，试选择工字钢的型号。60kN2mAB0.2mcFAFB解：解：3、校核剪应力强度、校核剪应力强度第41页/共45页 例例：图示简支梁，材料的许用应力图示简支梁，材料的许用应力=140MPa，=80MPa，试选择工字钢的型号。，试选择工字钢的型号。60kN2mAB0.2mcFAFB第42页/共45页第五节第五节 提高梁抗弯强度的途径提高梁抗弯强度的途径降低降低max提高提高WZ采用合理的截采用合理的截面形状面形状降低降低Mmax合理布置载荷，如图合理布置载荷，如图17-20合理安排梁的支承或增加约合理安排梁的支承或增加约束，如图束，如图17-21第43页/共45页E N D !第44页/共45页感谢您的观看。第45页/共45页