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1、中学数学解题数学思想方法第1页，共65页，编辑于2022年，星期三数学思想方法是数学知识的精髓、灵魂，它是对数学本质的理解和认识，是数学学习的根本目的。在数学教学中注重思想方法渗透，重视数学思想方法的教学，是提高个体思维品质和教学素养、发展智力的关键所在，也是现代社会对人才培养的基本要求。第2页，共65页，编辑于2022年，星期三 数学思想是指人类对数学对象及其研究本质及规律性认识。它是在教学活动中解决问题的基本观点和根本想法，是从某些具体的教学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，并在认识活动中被反复运用，带有普遍的指导意义，是建立数学和运用数学工具解决问题的指导思想。一一.数学思想方
2、法及其意义数学思想方法及其意义第3页，共65页，编辑于2022年，星期三一）数学思想方法及其分一）数学思想方法及其分类类 数学思想按其对认识的研究范围来划分，可分为宏观数学思想和微观数学思想。宏观数学思想是对数学整体的认识，能够运用于其他科学和数学内部的各个分支，如公理化思想、模型思想、转化思想、分类思想等。微观数学思想则是对数学内部各分支及各种体系结构中特定内容和方法的认识，如函数思想、方程思想、数形结合思想等等。第4页，共65页，编辑于2022年，星期三 数学方法是指从数学角度提出问题、解决问题（包括数学内部问题和实际问题）的过程中的概括性策略。在中小学数学中常用的基本数学方法大致可以分为
3、三类。第一，一般的逻辑推理方法和发现方法，分析法、综合法、反证法、穷举法（分类讨论）和归纳法、类比法等，它们不仅适用于数学，而且适用于其他学科领域，而当它们运用于数学中时则具有明显的数学特色。第二，数学中的一般方法，如极限法、关系映射反演方法，数学模型方法、图像法（坐标法）、第5页，共65页，编辑于2022年，星期三 比较法、向量法、数学归纳法等。这些方法的作用范围很广，有的甚至影响着一个数学 分支和其他学科的发展方向。第三，数学 中的特殊方法，如换元法、待定系数法、配方法、公式法、平移法、翻折法等，它 们往往和数学内容联系在一起，是解决某 些具体的数学问题的方法。数学思想是数学中处理问题的基
4、本观点，是对数学基础知识与基本方法本质的概括，数学方法是处理、解决、探索问题，实第6页，共65页，编辑于2022年，星期三 现数学思想的技术手段和工具。数学思想和数学方法之间既有联系又有区别：首先，两者都是以一定的数学知识为基础。其次，两者具有抽象概括程度的不同，表现出互为表里的关系。数学方法受到数学思想的指引，是数学思想在数学活动中的反映和体现，表现形式外显；而数学思想是相应数学方法的结晶和升华，表现形式内隐。数学思想往往带有理论性的特征，而数学方法具有实践性的倾向。数学中用到的解题方法都体现着一定的数第7页，共65页，编辑于2022年，星期三 学思想，一定的数学思想要靠数学方法去实现。由于
5、人们在数学学习与研究活动中，很难把思想和方法严格区分开，所以常统称为数学思想方法。二）二）数学思想方法与数学知识的关系数学思想方法与数学知识的关系 数学知识是陈述性知识与程序性知识的统一体，它是客观的、普遍的、是以数学语言表述的概念、公理、定理、法则等及其相互关系的逻辑演绎体系，是明确的、显性的，是看得见摸得着的；数学思想方法则是由数学内容来反映的，它蕴涵于数学 第8页，共65页，编辑于2022年，星期三 概念、规律等基础知识之中。除基本的数学方法以外，其他思想方法都是隐性的，渗透在学习知识和运用知识的过程之中，它是对数学对象的本质认识，是对数学知识的进一步提炼、概括。数学的发展不只是一些知识
6、的简单堆砌，它同时也是思想方法的沉淀、发展和演进。数学知识是数学思想方法的载体，数学思想方法隶属于数学知识。当人们遇到数学问题时，首先产生的是解决它的数学思想，然后将数学思想具体化为具体操作的第9页，共65页，编辑于2022年，星期三 数学方法，在数学思想与方法的运作下产生出数学概念，所以数学思想方法是以一定的数学概念形式表现出来。数学思想方法是数学基础知识的重要组成部分，它蕴涵于数学知识中，又相对超脱于我们所学的数学知识。没有游离于数学知识之外的数学思想方法，也没有不包括任何数学思想方法的数学知识，这两者是相辅相成的。正像一个人的存在必须有肉体和灵魂的统一一样，数学概念、原理是肉体而数学思想
7、方法是灵魂，它们共同组成了数学的知识体系。第10页，共65页，编辑于2022年，星期三实际上，中学数学教材的教学内容始终贯彻两条主线，即数学的基础知识、基本技能和数学思想方法。数学基础知识、基本技能，即通常讲的“双基”，这是一条明线，是用文字形式明明白白写在教材里的，反映着知识间的纵向联系；而数学思想方法是一条暗线，同时还包含着情感、态度、能力诸多因素，反映着知识间的横向联系，常常隐含在知识的背后，需要人们加以分析、挖掘、提炼才能显露出来，这是老师的工作和责任。只有这样，教师才能讲得清楚明白、生动活泼，入木三分，你这个老师才有水平。学生才能学有所思、学有所悟、学有所得。第11页，共65页，编辑
8、于2022年，星期三三）数学思想方法的主要特点 1、概括性 数学知识的学习离不开概括，数学知识较其他学科的知识更具抽象性、更具概括性。而数学思想方法又是不断地从数学概念、命题和数学理论中提炼和概括的产物。例如，数学归纳法是在皮亚诺自然数公理基础上的提炼、概括。正是由于数学对象本身的概括性及数学思想方法又是对数学知识的提炼和再概括，这就使得数学思想方法具有高度概括性的特点，数学思想方法因此而具有广泛的实用性。第12页，共65页，编辑于2022年，星期三 2、隶属性 数学思想方法所具有的高度概括性，使它不同于具体的数学知识，而以元知识的形态与数学知识浑然一体地存在着，成为数学科学体系中两个不可分割
9、的部分。数学知识中蕴涵着思想方法，而数学思想方法又隶属于数学知识，数学知识是数学思想方法的载体，数学思想方法通过数学知识显化。例如在等比数列定义教学中，蕴涵了观察、类比、猜想、化归、字母表示数等数学思想方法，这些思想方法通过等比数列定义这一概念教学而体现。第13页，共65页，编辑于2022年，星期三 3、层次感 数学思想方法是对数学知识的抽象概括，概括程度的高低决定了数学思想方法具有不同的层次。第一层，与某些特殊问题联系在一起的方法，它是在某些特定情况下才能发挥作用的具有赐教固定的操作程序，例如比较两个数的大小的“差值比较法”。第二层，解决一类问题采用的共同方法，这些方法的操作程序不是非常具体
10、，其适用范围比较广。例如：待定系数法、数形结合法、构造法等。第14页，共65页，编辑于2022年，星期三 第三层，数学思想方法。数学知识和方法是形成数学思想的基础，有了知识不等于有思想，有方法没有思想指导，只是机械操作，思想是对知识融会贯通的理解与升华，有思想的知识才是具有自我生成能力的知识。只是掌握了深层次的数学思想方法才算掌握了数学知识的核心。第四层，数学观念。这是数学思想方法的最高境界，是一种认识客观世界的哲学思想。第15页，共65页，编辑于2022年，星期三 4、歉意性 学习迁移即一种学习对另一种学习的影响。任何一种学习都要受到学习者已有知识经验、技能、态度等的影响，只要有学习，就有迁
11、移。数学思想方法是对数学抽象概括的结果，它也具有迁移性特点，对数学知识的深刻理解有利于学生领会其中蕴涵的数学思想方法，同时，理解并掌握数学思想方法对进一步学习数学乃至从事其他工作会产生积极的影响。第16页，共65页，编辑于2022年，星期三 由于思想和方法的不同层次，数学思想方法还具有其他不同特点，数学思想应呈现它的本质性、向导性、内隐性，而数学方法更多表现出程序性、操作性、外显性。第17页，共65页，编辑于2022年，星期三四）数学思想方法的意义 从数学思想方法发展与演进史看，数学上每一项重大成果的取得无不与数学思想方法的突破创新有关。如坐标法的创立，解决了数、形沟通及互相转化的问题，不仅直
12、接导致产生了解析几何这门学科，而且数学从此进入了变量数学时期。许多数学家之所以在数学领域取得巨大成就，除了具有超人的智慧外，对数学思想方法的深邃的洞察也是一项十分重要的原因。如，欧拉在众多的数学领域以及自然科学作出了巨大贡献，一个重要原因就是他即精通微第18页，共65页，编辑于2022年，星期三 观数学方法论，又精通宏观数学方法论，既有深刻的数学思想，又具有运用数学知识和方法的卓越才能。正是新的思想方法的不断开拓，促进着数学事实的发现和繁衍，因此可以说数学思想方法是数学发展的内在动力。数学思想方法对人的素质的发展具有重要影响。从人的素质发展的角度看，数学思想方法比形式化的数学知识更重要，因为前
13、者更具有普遍性。社会各行业、各部门对数学知识要求的深度与广度的差是很大第19页，共65页，编辑于2022年，星期三 的，但对人的素质的要求是具有共性的。例如要求一个人要具备严谨的工作态度、具有善于分析情况、归纳总结、综合比较、分类评析、概括判断的工作方法，这些素质的形成和提高与他所受到的数学思想方法的参透、训练紧密相连。日本著名数学教育家米山国藏指出：“学生所学的数学知识，如果在进入社会后没有机会应用，这种作为知识的数学，通常在走出校门后不到一两年就忘掉了。然而不管他们从事什么工作，唯有深深铭刻于心的数学的精神、第20页，共65页，编辑于2022年，星期三 数学思想和方法等随时随地发生作用，使
14、他们受益终身。”数学思想方法对于数学学习也具有十分重要的意义。数学教学的根本目的就是使学生通过具体的数学认知活动去发现、领会蕴涵其中的数学思想方法。反之，“懂得基本原理使得学科更容易理解”（布鲁纳），形成良好的知识结构和思维品质，提高学生的洞察能力和问题解决能力，有利于学生形成全面的、正确的数学观。第21页，共65页，编辑于2022年，星期三二、中小学常用基本数学思想方法 中小学数学中蕴涵着许多思想方法，一些重要的数学思想方法在教材中反复出现，贯穿在中小学整个数学知识体系之中。数学课程标准明确提出了对数学思想方法的要求，将数学思想方法的要求，将数学思想方法作为基础知识和基本技能的成分，几乎参透
15、到每一个模块和专题。提高学生“数学地提出、分析和解决问题的能力”，“力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和做出判断”，就意味着数学学习不仅是对知识和技能的掌握以及具体的第22页，共65页，编辑于2022年，星期三 解题技巧和方法的掌握，还应该对所学的知识在充分理解的基础上进行升华，达到对更一般的思想和方法的理解和应用。在义务教育和普通高中数学课程标准中，包含的数学思想方法又观察、实验、归纳、类比、分析、综合、抽象、概括、逻辑推理、证明，以及化归、递推、等价转换、推广与限定等常用的一般数学思想方法。此外还有着也行数学学科特有的数学思想方法，如用字母表示数、集合与对应的思想方法、函数与方程的
16、思想方法、数形结 第23页，共65页，编辑于2022年，星期三 合思想方法、数学模型思想方法、最优化思想方法、统计思想和数据处理方法、分类思想方法、参数代数学方法等。下面对几种常用的基本的数学思想方法加以介绍。一）、用字母代替数的思想方法 用字母代替数的思想方法中学数学中最基本的思想方法之一。也是代数的基本特征，它可以把数或数量关系简明而普遍地表现出来，也可以使一些复杂的运算变得简单，这是发展符号意识，进行量化刻画的基础，也是从常量研究过渡到变量研究 第24页，共65页，编辑于2022年，星期三 的基础。从用字母表示数到用字母表示未知元、表示待定系数、表示函数y=f(x)、表示字母变换等，这一
17、整套的代数方法都离不开字母代替数的思想方法。在具体解题中，引进辅助元法、待定系数法、换元法等都体现了用字母代替数的思想方法。第25页，共65页，编辑于2022年，星期三第26页，共65页，编辑于2022年，星期三二）、集合与对应的思想方法 集合论是现代数学的基础，它为数学的公理化、结构化、形式化、统一化提供了语言基础与组织形式。中学数学中，集合是一种基本数学语言和一种基本数学工具，数学名词的描述（包括概念的内涵与外延的表现），数学关系的表达，都可以借助集合而获得清晰、准确和一致的刻画。用集合表示数系或代数式、用集合表示空间的线面关系、用集合表示平面轨迹及其关系、用集合表示方程（组）或不等式（组
18、）的解、用集第27页，共65页，编辑于2022年，星期三 合表示排列组合计数、用集合表示基本逻辑关系与推理格式等，都是集合思想的具体方法。解题中的分类讨论法、容斥原理都与集合的分拆或交并运算有关，与集合思想紧密联系。集合之间的对应，则为研究相依关系、运动变化提供了工具，使得能力方便地由一种状态确定地刻画另一种状态，由研究状态过过渡到研究变化过程。数轴与坐标系的建立，函数概念的描述，RMI原理的精 神实质等，都体现着集合之间的对应。第28页，共65页，编辑于2022年，星期三三）、函数与方程的思想方法 函数与方程是从用字母表示数的思想 方法、集合与对应的思想方法这两种思想方法衍生的一种思想方法
19、方程是初中数学的一项主体内容，并 在高中数学中延续。函数从初中就开始研究，并成为高中数学的主体内容（基本初等函数），可以说，函数与方程是中学数学中最重要的组成部分。方程 ，可以表示两个不同事物具有相同的数量关系，也可以表示同一事第29页，共65页，编辑于2022年，星期三 物具有不同的表达方式。方程的内在本质是在已知数和未知数之间建立一种等式关系。“方程思想”的本质就在于建立关系。运用方程观点可以解决大量的应用问题（建模）、求值问题、曲线问题的确定及其位置关系的讨论问题等。函数的许多性质也可以通过方程来研究。函数概念是客观事物运动变化和相依关系在数学上的反应，本质上市集合间的对应。它是中学数学
20、从常量到变量的一个认识上的飞跃。数学中关系式、方程、不等式、排列组合、数列等重要内容都可以通过函数来表达、沟通与研究。第30页，共65页，编辑于2022年，星期三（一）、函数的思想方法 函数思想的最大特点就时从变化、动态的观点来认识数学对象和它们的性质之间的关系，这能够更全面、深入地认识事物的本质，从上图我们可以发现，函数思想在中数学解题中的应用主要表现在两个方面：一是根据题目条件，构造有关初等函数，借助其性质，解决有关求值，不等式，方程以及讨论参数的取值范围等问题，二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关问题。第31页，共65页，编辑于2022
21、年，星期三 1、在方程问题中的应用 函数与方程有密切的联系，函数思想是解决不定方程基础上萌芽并发展的，可以说方程是函数的局部，而函数则包括方程的全部内涵，在一定范围内它们可以相互转换，因此用函数的思想方法解决方程问题往往是一种很有效的方法。第32页，共65页，编辑于2022年，星期三第33页，共65页，编辑于2022年，星期三第34页，共65页，编辑于2022年，星期三 2、存在性问题中的应用 初等函数均属于连续函数，对某些初等函数的存在性问题利用其连续性，可以达到很好的效果。第35页，共65页，编辑于2022年，星期三第36页，共65页，编辑于2022年，星期三第37页，共65页，编辑于20
22、22年，星期三（二）、方程的思想方法 很多具有数量关系的数学对象，最基本的相互关系是相等和不等，当我们将数学量的相等关系用等量来表示，而且其中一个或几个数学量当做未知数时，就得到方程，再利用方程的知识来解决问题是就是方程思想的具体表现，而挖掘出问题中的等量关系，根据题设本身各量间的制约关系列出等式，是方程思想运用的关键与基础所在。在应用方程思想解题时，主要运用方程的如下性质：1）、方程（组）解第38页，共65页，编辑于2022年，星期三的定义；2）、代数基本定理（一元N次方程有N个根）；3）、其次线性方程组的性质；4）、一元二次方程根的判别式；5）、韦达定理及其逆定理。第39页，共65页，编辑
23、于2022年，星期三第40页，共65页，编辑于2022年，星期三第41页，共65页，编辑于2022年，星期三第42页，共65页，编辑于2022年，星期三第43页，共65页，编辑于2022年，星期三第44页，共65页，编辑于2022年，星期三第45页，共65页，编辑于2022年，星期三 注：如果按习惯思维，囿于化简求值问题，仅仅对原式进行恒等变形，这样做只能越化越繁。本题突破思维定式，运用方程思想，另辟蹊径，顺利解题。很多具有数量关系的数学对象，最基本的相互关系是相等和不等，当我们将数学量的相等关系用等量来表示，而且其中一个或几个数学量当做未知数时，就得到方程，再利用方程的知第46页，共65页，
24、编辑于2022年，星期三 识来解决问题时就是方程思想的具体表现，而挖掘出问题中的等量关系，根据题设本身各量间的制约关系列出等式，是方程思想运用的关键与基础所在。第47页，共65页，编辑于2022年，星期三四）、数形结合思想 数学是研究空间形式和数量关系的一门科学，数与形是中学被研究得最多的两个侧面，数与形的结合是一种极具数学意义的信息转换。著名数学家、数学教育家华罗庚先生曾经指出：“数缺形时少直观，形少数难入微”。这说明数形结合在数学中是十分重要的。所谓数形结合思想，就是在研究问题时把数和形结合考虑，把问题的数量关系转化为图形性质，或把图形性质转化为数量关系，从而使复杂问题简单化第48页，共6
25、5页，编辑于2022年，星期三 ，抽象问题具体化。解题中的数形结合，是指对问题既进行几何直观的呈现，又进行代数抽象的揭示，两个方面相辅相成，而不是简单地代数问题用几何方法或几何问题用代数方法，两方面有机结合才是完整的数形结合。第49页，共65页，编辑于2022年，星期三（一）、用代数方法解几何问题 研究某些度量关系的几何问题时，可将有关线段、角度、面积用未知数表示，根据已知条件建立相应的关系式，然后用代数中的，恒等变化或解方程解出。第50页，共65页，编辑于2022年，星期三第51页，共65页，编辑于2022年，星期三（二）、用三角方法解几何问题 用三角方法解几何问题，常将线段和角的关系转化为
26、三角函数关系，通过三角恒等变化、解三角方程或证明三角不等式来，完成几何问题的解答。第52页，共65页，编辑于2022年，星期三第53页，共65页，编辑于2022年，星期三（三）、用几何法解代数问题第54页，共65页，编辑于2022年，星期三第55页，共65页，编辑于2022年，星期三第56页，共65页，编辑于2022年，星期三 从上面的这些例子我们可以发现，数形结合的途径可以归为三大类：第一，通过坐标系：包括直角坐标系，极坐标系和复平面。第二，构造：可以构造几何模型，构造函数或图形。第三,转化：通过分析数、式与方程的几何意义，以及数、式与图形之间的对应关系，实现数与形的转化。此外，我们还需要图
27、形直观的特点，使问题的分析过程形象化、可视化，从而达到探索解题途径的目的。第57页，共65页，编辑于2022年，星期三五）、数学模型的思想方法 现代数学哲学认为数学是模型的科学，数学所揭示的是人们从自然界和数学本身的抽象世界中所观察到的数学结构。各种数学概念和各种数学命题都具有超越特殊对象的普遍意义，它们都是一种模式。并且数学的问题和方法也是一种模式，数学思维方法就是一些思维模式。如果把数学理解为由概念、命题、问题和方法等组合成的复合体，那么，掌握模式的思想就有助于领悟数学的本质。在中学数学的教学中，常称“模式”为“数学模型”，它不同于具体的模型。第58页，共65页，编辑于2022年，星期三
28、欧拉将“哥尼斯堡七桥问题”抽象为“一笔画”问题的讨论，清晰地展示了数学模型思想方法的应用过程：1）选择有意义的实际问题；2）把实际问题构建成数学模型（建模）；3)寻找适当的数学工具解决问题；4）把数学中的结论拿到实际中去应用、检验。其中，“建模”是这种方法的关键。在具体解体中，构造“数学模型”的途径是非常宽广的，可以构造函数、构造方程、构造恒等式、构造图形、构造算法等等。近年来，中学数学源于实际应用的题目剧增，通常采用数学建模思想方法，将具有实际意义第59页，共65页，编辑于2022年，星期三 的应用题，通过数学抽象转化为数学模型，以求得问题的解决。中小学数学中的“列方程解应用题”就是数 学模
29、型思想方法的应用。这类题的基本思路是：根据题意（实际问题）列出方程（数学模型）；运用数学方法求解方程（数学问题的解）；根据问题的实际意义检验方程解的合理性；给出原问题的答案（即用数学解对实际问题的解进行解释）。第60页，共65页，编辑于2022年，星期三第61页，共65页，编辑于2022年，星期三六）、转换化归的思想方法 由数学结论呈现的公理化结构，使用数学上任何一个正确都可以按照需要与可能而成为推断其他结论的依据，于是任何一个待解决的问题只需通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题上，即可获得原有问题的解决，这就是转换化归德思想方法。它是一种极具数学特征的思想方法。简言之，就
30、是指在求解数学问题时，如果对当前的问题感到生疏困惑，可以把它进行变换转化，化简为繁，第62页，共65页，编辑于2022年，星期三 化难为易，化生为熟，从而使问题得以解决。这种思想是科学研究与数学学习中常用的方法，它是解决问题获得新知的重要思想。例如，学完一元一次方程、因式分解等知识后，学习一元二次方程我们就是通过因式分解等方法，将它化归为一元一次方程来解的，后来我们学到特殊的一元高次方程时，又是化归为一元一次或一元二次方程来解的。又如，在平面几何中我们在学习了三角形的内角和、面积计算等有关定理后，对n边第63页，共65页，编辑于2022年，星期三 形的内角和、面积的计算，也是通过分解，拼合成若干个三角形来加以解决的。总之，化归的原则是以已知的、简单的、具体的、特殊的、基本的知识为基础，将未知的化为已知的，复习的化为简单的，抽象的化为具体的，一般的化为特殊的，非基本的化为基本的，从而得到正确的解答。第64页，共65页，编辑于2022年，星期三第65页，共65页，编辑于2022年，星期三