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1、第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型对建模的要求：准确、简化传递函数 状态空间表达式基本概念：1.微分方程；2.传递函数；3.方框图；4.相似原理模型：基础章节基础章节第1页/共93页 一.系统数学模型基本概念，应用机械动力学、电子学等基础知识建立系统数学模型的基本方法，典型例子；二.传递函数的基本概念，其数学、物理意义，求取方法，输入输出信号与传递函数的关系；三.系统方框图，闭环控制系统及其传递函数，方框图的等效简化，工程中典型的机、电系数的传递函数。本章内容本章内容第2页/共93页2.1 2.1 系统的微分方程系统的微分方程一.线性系统与非线性系统：1.线性特性：叠加原理，多个输入量
2、同时作用产生的响应，可单个处理 叠加.2.非线性：实际只是一定的工作范围内，保持线性关系。特点：不能叠加 线性化（一定的范围内）第3页/共93页二.线性系统微分方程的列写 设线性定常系统的输入为 ，输出为 ，则描述系统输入输出动态关系的微分方程为：第4页/共93页例1：弹簧、质量、阻尼机械系统，输入外力 ，输出位移 ，试写出系统的微分方程。解：mCyfk第5页/共93页例2：m-k振动系统，输入外力 ，输出 ，求其动力学方程。第6页/共93页三.系统非线性微分方程的线性化（略）P31页四.列写系统微分方程的一般步骤：1.分析系统工作原理和系统中各变量间的关系，确定系统的输入量输入量和输出量输出
3、量。2.从系统的输入端开始，依物理定律，依次列写系统各元件的动力力学方程动力力学方程，其中要考虑相邻元件间的负载效应。3.将各方程式中的中间变量消去变量消去，求出输入量输出量间的微分方程4.在列写微分方程时，对非线性项进行线性化处理线性化处理。第7页/共93页2.2 2.2 拉普拉斯（拉普拉斯（LaplaceLaplace）变换）变换1.1.熟悉熟悉L L变换的定义变换的定义2.2.典型函数的拉氏变换典型函数的拉氏变换3.3.拉氏变换的基本原理拉氏变换的基本原理4.4.部分分式展开式及待定系数法部分分式展开式及待定系数法5.5.查查L L表表1.方便求解，以时间表示的微分方程变为以S表示的代数
4、方程2.对零初始条件下，引入传递函数和传递矩阵的概念，直接在复（频）域中研究系统的动态特性，以及对系统进行综合、校正，具实际意义。要求要求第8页/共93页 若f(t)为t的函数，且t0时，f(t)=0，则f(t)的拉氏变换定义为：象函数象函数一一.拉氏变换的定义拉氏变换的定义原函数原函数第9页/共93页1.单位阶跃函数二二.一些常用函数的拉氏变换一些常用函数的拉氏变换第10页/共93页2.单位脉冲函数第11页/共93页3.单位斜坡函数（速度函数）第12页/共93页4.指数函数.（为正实数）第13页/共93页5.正弦函数.（为正实数）第14页/共93页补：6.余弦函数.同理：7.抛物线函数.（加
5、速度函数）第15页/共93页 原函数f(t)象函数F(S)附：拉氏变换表附：拉氏变换表第16页/共93页续：拉氏变换表续：拉氏变换表第17页/共93页1.叠加性质：如：三三.常用的拉氏变换性质：（不作证明）常用的拉氏变换性质：（不作证明）第18页/共93页2.微分定理：若 这些初始值为0，则：如：第19页/共93页3.积分定理：若 这些初始值为0，则：第20页/共93页4.位移定理：如图原函数f(t)沿时间轴平移 ，为如：第21页/共93页5.初值定理：时间函数f(t)的初值为 只有f(0)存在时才能应用，用来确定系统的初值，而勿需知道原函数。如：求或第22页/共93页6.终值定理：时间函数f
6、(t)的稳定值（终值）为如：求：或第23页/共93页象 原为根，可为实、复数1.分母B(S)无重根四四.拉氏反变换拉氏反变换第24页/共93页繁简单方法：原函数 典型象函数叠加 f(t)查L表如.试求：的拉氏反变换解：为复数中的实数部分第25页/共93页常遇到如下形式的有理分式：使分母为0 的S值极点使分子为0的S值零点可通过部分分式展开法求1.只含不同单极点的情况为 极点处的留数第26页/共93页将X(S)进行 ，得：Eg.试求 的拉氏反变换解：第27页/共93页2.含共轭复数极点情况：令上式两边实、虚部相等，可求得 可通过配方，化成正（余）弦象函数形式 第28页/共93页如.试求：的拉氏反
7、变换解：的两个根为：将X(S)式两边同乘 ，并令及得第29页/共93页故：第30页/共93页3.含多重极点的情况根据第31页/共93页第32页/共93页Eg.试求：的拉氏反变换故：解：第33页/共93页如.解方程：其中，五五.用拉氏变换求常系数线性微分方程用拉氏变换求常系数线性微分方程解：微分定理第34页/共93页由上例可见，用L解微分方程的步骤：（1）对微分方程进行L（2）做因变量的 求出微分方程的时间解上例中，假设初始条件为0第35页/共93页如：系统最初是静止的，假定有一单位脉动使系统开始运动，求系统的运动规律。令 ，可见：在冲击力作用下，系统运动为正弦振动，振幅是角频率为则第36页/共
8、93页求解微分方程一般步骤：1.考虑初始条件，对微分方程 L，时域微分方程 S域的代数方程。2.求解代数方程，得到在S域的解3.求S域的 ，微分方程的解第37页/共93页如.已知：为阶跃函数，幅值8N,求：此系统的输出响应 =?解：第38页/共93页第39页/共93页作业作业（2）求：的拉氏反变换 （1）已知象函数 ，求原函数 的初值和终值？第40页/共93页2.3 传递函数传递函数数学模型数学模型传递函数的定义传递函数的定义定定义义：当当系系统统初初始始条条件件为为0 0时时，系系统统输输出出量量与与输输入入量量的的拉拉氏氏变换之比。变换之比。当初始条件当初始条件 和和 为为0 0时，对上式
9、两边做拉氏变换，得传函：时，对上式两边做拉氏变换，得传函：第41页/共93页(1)传函的概念只适用于线性定常系统。传函的概念只适用于线性定常系统。(2)传函原则上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动规律。传函原则上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动规律。(3)传函的形式只取决于系统或元件的结构和参数，与输入信号的形式传函的形式只取决于系统或元件的结构和参数，与输入信号的形式无关，且不能具体表达系统或元件的物理结构。无关，且不能具体表达系统或元件的物理结构。(4)传递函数是复变量传递函数是复变量s s的有理真分式函数，的有理真分式函数，所有的系数均为实数。，所有的系数均为实数。(5)一定的
10、传函有一定的零、极点分布图与之对应。一定的传函有一定的零、极点分布图与之对应。传递函数的性质传递函数的性质第42页/共93页零点和极点零点和极点传函可写成如下形式（零、极点增益模型）：传函可写成如下形式（零、极点增益模型）：当当 时，均能使时，均能使 ，故称，故称 为为 的零点。的零点。当当 时，均能使时，均能使 取极值，故称取极值，故称 为为 的极点。的极点。KK系统的放大倍数。传函若有复数零、极点，则必为共轭复系统的放大倍数。传函若有复数零、极点，则必为共轭复数。零点、极点和放大倍数决定系统的瞬态性能和稳态性能。数。零点、极点和放大倍数决定系统的瞬态性能和稳态性能。第43页/共93页求性能
11、指标的主要途径求性能指标的主要途径线性常微线性常微分方程分方程时间相应时间相应求解性能指标性能指标观察传递函数传递函数频率特性频率特性拉斯变换s=jw傅里叶变换拉斯反变换估算频率响应频率响应稳、快、准稳、快、准第44页/共93页令令 ，可求得系统在时域内的输出。，可求得系统在时域内的输出。量纲取决于系统的输入与输出，可有、可无。量纲取决于系统的输入与输出，可有、可无。如：如：1.1.2.2.系统时域输出系统时域输出第45页/共93页无源网络实例无源网络实例例1：已知一无源网络，如右图，试列出网络微分方程。解：据基尔霍夫定律，列出微分方程如下：求解得：第46页/共93页机械转动系统实例机械转动系
12、统实例例2：由惯性负载和粘性摩擦阻尼器组成的机械转动系统，转动惯量J，粘性阻尼c，如右图所示，试列出外力矩M(t)为输入，角位移(t)为输出的数学模型。列出微分方程如下：第47页/共93页典型环节的传递函数典型环节的传递函数 系统的微分函数和传函可能是高阶的，但不管阶次有多高，均可化为零阶、一阶、二阶等环节。分析：1)分子分母有零根，分母出现 。2)分子分母有实数根，对应于zi=-wi，pi=-i的分子与分母的因式可变为：其中第48页/共93页典型环节的传递函数典型环节的传递函数 系统的微分函数和传函可能是高阶的，但不管阶次有多高，均可化为零阶、一阶、二阶等环节。所以：分析：3)分子分母有共轭
13、复根：第49页/共93页典型环节的传递函数典型环节的传递函数 由于上式包含六种因子，所以任何控制系统都可看作是这6种因子表示的环节在某种情况下的串联组合。1.放大环节 一阶微分环节2.二阶微分环节3.积分环节4.惯性环节5.振荡环节6.延时环节第50页/共93页放大环节（比例环节、零阶环节）放大环节（比例环节、零阶环节）它的输出量以一定的比例复现输入量，而毫无失真和时间滞后。动力学方程：传递函数：例1：如图齿轮传动中，若忽略啮合间隙，则主动齿轮与从动齿轮的转速有：第51页/共93页惯性环节（一阶环节）惯性环节（一阶环节）在这类环节中，总含有储能元件，以致对于突变形式的输入来说，输出不能立即复现
14、，使它的输出量的变化落后于输入量。动力学方程：传递函数：惯性环节的性质取决于参数惯性环节的性质取决于参数T T。，T时间常数，表示环节的惯性。例1:质量-弹簧-阻尼系统，m很小，忽略不计第52页/共93页惯性环节（一阶环节）惯性环节（一阶环节）例2：第53页/共93页积分环节积分环节 输出量的变化速度等于输入量，即：输出量与输入量间呈积分关系。若输入为单位阶跃信号：对阶跃输入，在t=T时，输出=输入，有滞后。第54页/共93页积分环节积分环节例1：齿轮齿条传动Dn(t)x(t)传函：例2：电容器充电的电流i(t)与电容电压uc(t)的关系传函：第55页/共93页积分环节积分环节 例3：如图所示
15、液压缸，输入为流量q，输出为活塞位移x。传函：第56页/共93页振荡环节（二阶振荡环节）振荡环节（二阶振荡环节）包含2种形式的储能元件，且储存能量可以转换。微分方程：令振荡环节的所有特性取决于2个参数：称为特征方程.（1）只有当阻尼比 时，有共轭复根（振荡）（2）若 ，有实根 不产生振荡 分解 2个惯性环节第57页/共93页振荡环节（二阶振荡环节）振荡环节（二阶振荡环节）令例1：RLC 电路令第58页/共93页第59页/共93页2.4 传递函数方框图及其简化传递函数方框图及其简化方框图：方框图：不包含与系统物理结构有关的信息，不同的物理系统，可用同一方块图表示。输入输出比较点分支点?第60页/
16、共93页方框图的运算法则方框图的运算法则1.串联运算法则：每个串联环节的传函乘积。第61页/共93页方框图的运算法则方框图的运算法则2.并联运算法则：每个并联环节的传函代数和。第62页/共93页方框图的运算法则方框图的运算法则3.反馈运算法则：第63页/共93页方框图的变换方框图的变换原则：移动前后输出信号不变。1.分支点移动：前移：后移：第64页/共93页方框图的变换方框图的变换2.相加点移动：后移：前移：第65页/共93页方框图的变换方框图的变换第66页/共93页方框图的变换方框图的变换第67页/共93页方框图的简化方框图的简化第68页/共93页方框图的简化方框图的简化第69页/共93页方
17、框图的简化方框图的简化第70页/共93页方框图的简化方框图的简化上例可直接写出：第71页/共93页作业作业试求出图示系统的传递函数：第72页/共93页2.5 反馈控制系统的传递函数反馈控制系统的传递函数一般系统：微分方程传函L复杂系统：已知方框图传函典型控制系统方框图：第73页/共93页令 ，断开反馈信号线一.系统的开环传函2.5 反馈控制系统的传递函数反馈控制系统的传递函数第74页/共93页二.被控信号 对于控制信号 的闭环传函：2.5 反馈控制系统的传递函数反馈控制系统的传递函数若 ，为单位反馈系统：第75页/共93页三.被控信号 对于干扰信号 的闭环传函：2.5 反馈控制系统的传递函数反
18、馈控制系统的传递函数令闭环优点：干扰引起误差最小。若 开环系统 无法消除，全部形成误差 第76页/共93页若：系统同时受到信号 和信号 的作用2.5 反馈控制系统的传递函数反馈控制系统的传递函数应用叠加原理，可求出被控信号为：故：只要知道 、，即可求出总输出：第77页/共93页四.偏差信号 对于控制信号 的闭环传函：2.5 反馈控制系统的传递函数反馈控制系统的传递函数令第78页/共93页五.偏差信号 对于干扰信号 的闭环传函：2.5 反馈控制系统的传递函数反馈控制系统的传递函数 若控制信号 对于干扰信号 同时作用于系统，应用叠加原理，得偏差信号为：第79页/共93页2.5 反馈控制系统的传递函
19、数反馈控制系统的传递函数故：只要知道 、，即可求出总偏差：规则：所有闭环传函的公式中，分母均为 ，分子为输入 输出所经过传函的乘积。例：试简化图示控制系统的方框图，并求 、第80页/共93页2.5 反馈控制系统的传递函数反馈控制系统的传递函数第81页/共93页第82页/共93页2.5 反馈控制系统的传递函数反馈控制系统的传递函数第83页/共93页2.5 反馈控制系统的传递函数反馈控制系统的传递函数第84页/共93页2.5 反馈控制系统的传递函数反馈控制系统的传递函数第85页/共93页2.6 相似原理相似原理Cyfk第86页/共93页2.6 相似原理相似原理相似系统：相同的数学模型来描述的物理系
20、统相似量：在微分方程或传函中占相同位置的物理量机械、电气、液压系统中：1、阻尼 电阻 流阻耗能元件2、质量 电感 流感3、弹簧 电容 流容体系中增加一个储能元件，其内部增加一层能量交换，微分方法就增高一阶。储能元件第87页/共93页看系统中有几个储能元件，就是几阶系统但要注意：每储能元件是否独立，如中间图，若将C去掉，K1，K2只起一个弹簧作用 二阶。实际中的系统很复杂，往往不能仅凭表面上的储能元件的个数决定微分方程的阶数。2.6 相似原理相似原理第88页/共93页对物理系统，根据物理原理，选定系统输入和输出 微分方程 传函2.7 物理系统传函的推导物理系统传函的推导切削深度：apo切削力：F
21、变形：y刀架变形y反馈：实际切削深度1）以名义切深u0为输入，刀架变形位移y为输出：则实际切深：切削力公式：拉斯变换：切削力与切削深度之比 切削力与切削深度变化率之比 切削深度变化率第89页/共93页2）以切削力F为输入，刀架变形位移y为输出，机床可看成：质量阻尼弹簧 二阶环节2.7 物理系统传函的推导物理系统传函的推导切削过程机床由方框图可求得车削加工过程系统的传函为：系统方框图第90页/共93页2.7 物理系统传函的推导物理系统传函的推导 例2：如图为一机械机构，输入为位移 ，输出为角位移 ，求传函？看成线性系统，受力分析：得传函：式中：可知，此机械系统是一个具有惯性的微分系统弹簧位移第91页/共93页小结小结1.线性系统2.拉斯变换3.传递函数 当系统初始条件为0时，系统输出量与输入量的拉氏变换之比。4.典型环节5.方框图及变换6.相似原理第92页/共93页感谢您的观看。感谢您的观看。第93页/共93页