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1、关于双曲线的渐近线和关于双曲线的渐近线和共轭双曲线共轭双曲线第1页，讲稿共20张，创作于星期日标准方程标准方程标准方程标准方程X X 2 2/a/a 2 2-y-y 2 2/b/b 2 2=1(a0,b0)=1(a0,b0)y y2 2/a/a2 2-x-x2 2/b/b2 2=1(a0=1(a0、b0)b0)几何几何几何几何 图形图形图形图形 范围范围范围范围 x a x a 或或 x -ax -a y a y a 或或 y -ay -a 对称性对称性对称性对称性 中心对称，中心对称，中心对称，中心对称，轴对称轴对称轴对称轴对称中心对称，中心对称，中心对称，中心对称，轴对称轴对称轴对称轴对称
2、 顶顶顶顶 点点点点A A1 1(-a,0),A(-a,0),A2 2(a,0)(a,0)A A1 1(0,-a),A(0,-a),A2 2(0,a)(0,a)a a、b b、c c的含义的含义的含义的含义a a（实半轴长）（实半轴长）（实半轴长）（实半轴长）c c（半焦距）（半焦距）（半焦距）（半焦距）b b（虚半轴长）（虚半轴长）（虚半轴长）（虚半轴长）a a2 2=c=c2 2-b-b2 2a a（实半轴长）（实半轴长）（实半轴长）（实半轴长）c c（半焦距长）（半焦距长）（半焦距长）（半焦距长）b b（虚半轴长）（虚半轴长）（虚半轴长）（虚半轴长）a a2 2=c=c2 2-b-b2
3、2 离心率离心率离心率离心率e e焦距与实轴长的比焦距与实轴长的比焦距与实轴长的比焦距与实轴长的比 e=c/ae=c/a e1 e1焦距与实轴长的比焦距与实轴长的比焦距与实轴长的比焦距与实轴长的比 e=c/ae=c/a e1 e1通径、通径长通径、通径长通径、通径长通径、通径长过焦点垂直于实轴的弦过焦点垂直于实轴的弦过焦点垂直于实轴的弦过焦点垂直于实轴的弦 2b2b2 2/a/a过焦点垂直于实轴的弦过焦点垂直于实轴的弦过焦点垂直于实轴的弦过焦点垂直于实轴的弦 2b2b2 2/a/ayF2B1A2A1B2 0 xF1X=aX=-a yx oA2A1 B1B2F1 F2第2页，讲稿共20张，创作于
4、星期日 椭圆椭圆椭圆椭圆 双曲线双曲线双曲线双曲线标准方程标准方程标准方程标准方程x x2 2/a/a2 2+y+y2 2/b/b2 2=1(ab0)=1(ab0)x x2 2/a/a2 2-y-y2 2/b/b2 2=1(a0=1(a0、b0)b0)几何几何几何几何 图形图形图形图形 范围范围范围范围|x|a|x|a、|y|b|y|b x a x a 或或或或 x -ax -a对称性对称性对称性对称性中心对称，中心对称，中心对称，中心对称，轴对称轴对称轴对称轴对称 中心对称，中心对称，中心对称，中心对称，轴对称轴对称轴对称轴对称顶点顶点顶点顶点A A1 1(-a,0),A(-a,0),A2
5、2(a,0)(a,0)B B1 1(0-b),B(0-b),B2 2(0,b)(0,b)A A1 1(-a,0)(-a,0)、A A2 2(a,0)(a,0)a,b,ca,b,c的含义的含义的含义的含义a2=b2+c2c2=a2+b2离心率离心率离心率离心率e e定义定义定义定义0e10e1e1通径、通径长通径、通径长通径、通径长通径、通径长2b2b2 2/a/a2b2b2 2/a/aB2B1yxA2A1 0F1F2yF2B1A2A1B2 0 xF1X=aX=-a第3页，讲稿共20张，创作于星期日问题问题1：根据方程画出下列双曲线的图形：根据方程画出下列双曲线的图形xyOxyO22567.ra
6、r第4页，讲稿共20张，创作于星期日yB2A1A2 B1 xOb aM NQ(由双曲线的对称性知，我们只需证由双曲线的对称性知，我们只需证明第一象限的部分即可明第一象限的部分即可)下面我们证明双曲线上的点在沿曲线向远处运动时，双曲线下面我们证明双曲线上的点在沿曲线向远处运动时，双曲线与直线逐渐靠拢与直线逐渐靠拢。方案方案2 2：考查同横坐标的两点间的距离：考查同横坐标的两点间的距离方案方案1 1：考查点到直线的距离：考查点到直线的距离第5页，讲稿共20张，创作于星期日XMYOQN（x,y)(x,Y)第6页，讲稿共20张，创作于星期日1、双曲线渐近线：、双曲线渐近线：yB2A1A2 B1 xOb
7、 ayB2A1A2 B1 xOb a双曲线渐近线的斜率的绝对值越大双曲线渐近线的斜率的绝对值越大,双曲线的开口越开阔。双曲线的开口越开阔。第7页，讲稿共20张，创作于星期日A1A2B1B2abcx0y几何意义解释说明：解释说明：(1)(1)渐近线是双曲线特有的几何性质，它决定着双曲线渐近线是双曲线特有的几何性质，它决定着双曲线 开口的开阔程度。开口的开阔程度。(2)(2)两条渐近线的交点是双曲线的中心。两条渐近线的交点是双曲线的中心。(3)(3)以四条直线以四条直线x=x=a和和y=y=b(或或x=b和和y=a）围成的矩形围成的矩形的对角线所在直线就是渐近线。的对角线所在直线就是渐近线。(4)
8、两条渐近线相交所成的角叫夹角（含双曲线的部分）：两条渐近线相交所成的角叫夹角（含双曲线的部分）：2种求解方式。种求解方式。第8页，讲稿共20张，创作于星期日问题问题1：根据方程画出下列双曲线的图形：根据方程画出下列双曲线的图形yox第9页，讲稿共20张，创作于星期日2、等轴双曲线、等轴双曲线xy渐近线渐近线渐近线渐近线离心率离心率离心率离心率a,b,ca,b,c的关系的关系的关系的关系方方方方 程程程程yox第10页，讲稿共20张，创作于星期日问题问题2：求下列双曲线的渐近线：求下列双曲线的渐近线：结论结论1：把双曲线方程中的常数项：把双曲线方程中的常数项1改为改为0，就得到了它的渐，就得到了
9、它的渐近线方程。近线方程。推广到一般：双曲线推广到一般：双曲线A2x2-B2y2=1的渐近线方程为：的渐近线方程为：AxBy=0第11页，讲稿共20张，创作于星期日结论结论2：如果已知双曲线的渐近线方程为：如果已知双曲线的渐近线方程为：AxBy=0，去求双曲，去求双曲线方程，我们可以采用待定系数法设出双曲线方程为：线方程，我们可以采用待定系数法设出双曲线方程为：A 2x 2-B 2y 2=（0）其中其中为待定的系数，再根据题目中的一个条为待定的系数，再根据题目中的一个条件，求出件，求出，方程得到求解。若方程得到求解。若0,则双曲线焦点在则双曲线焦点在x轴上，若轴上，若 0，则双曲线焦点在，则双
10、曲线焦点在y轴上。轴上。结论结论3:双曲线双曲线 与与 有有共同的渐近线。共同的渐近线。*求双曲线的渐近线方程的方法：定义法和方程法。求双曲线的渐近线方程的方法：定义法和方程法。第12页，讲稿共20张，创作于星期日求下列双曲线的方程：求下列双曲线的方程：例例3 3、求与双曲线、求与双曲线 有共同渐近线且一个有共同渐近线且一个焦点为（焦点为（0 0，1010）的双曲线的标准方程。）的双曲线的标准方程。例例2 2、已知中心在原点，焦点在坐标轴的双曲线的渐近、已知中心在原点，焦点在坐标轴的双曲线的渐近线方程为线方程为 ，且实轴长为，且实轴长为6 6，求此双曲线的，求此双曲线的标准方程。标准方程。变式
11、：已知中心在原点，焦点在坐标轴的双曲线的渐变式：已知中心在原点，焦点在坐标轴的双曲线的渐近线方程为近线方程为 ，求此双曲线的离心率。，求此双曲线的离心率。第13页，讲稿共20张，创作于星期日3、共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴、共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线,则则(1)双曲线双曲线 的共轭双曲线方程的共轭双曲线方程即把双曲线方程中的常数项即把双曲线方程中的常数项1改为改为-1就得到了它的共轭双曲线方程。就得到了它的共轭双曲线方程。(2)双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐
12、近线;(3)双曲线和它的共双曲线和它的共轭双曲线的四个焦点共圆轭双曲线的四个焦点共圆.第14页，讲稿共20张，创作于星期日焦焦焦焦 点点点点方方方方 程程程程渐近线渐近线渐近线渐近线离心率离心率离心率离心率实轴、虚轴实轴、虚轴实轴、虚轴实轴、虚轴焦点在焦点在x轴上轴上焦点在焦点在y轴上轴上实轴长实轴长=2a、虚轴长虚轴长=2b实轴长实轴长=2b、虚轴长虚轴长=2a共轭双曲线的焦点共圆共轭双曲线的焦点共圆xy第15页，讲稿共20张，创作于星期日证明证明:(1):(1)设已知双曲线的方程是设已知双曲线的方程是:则它的共轭双曲线方程是则它的共轭双曲线方程是:渐近线为：渐近线为：渐近线为渐近线为:可化
13、为：可化为：故双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线故双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线(2)(2)设已知双曲线的焦点为设已知双曲线的焦点为F(c,0),F(-c,0)F(c,0),F(-c,0)它的共轭双曲线的焦点为它的共轭双曲线的焦点为F F1 1(0,c),F(0,c),F2 2(0,-c),(0,-c),c=c所以四个焦点所以四个焦点F F1 1,F,F2 2,F,F3 3,F,F4 4在同一个圆在同一个圆问问:有相同渐近线的双曲线方程一定是共轭双曲线吗？有相同渐近线的双曲线方程一定是共轭双曲线吗？第16页，讲稿共20张，创作于星期日 1、求双曲线求双曲线 的共轭双曲线的顶点和焦点坐的
14、共轭双曲线的顶点和焦点坐标及渐近线和准线方程。标及渐近线和准线方程。2、求与椭圆、求与椭圆 有共同的焦点，且与椭圆相交有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的纵坐标为一个交点的纵坐标为4的双曲线方程。的双曲线方程。3、已知双曲线与椭圆、已知双曲线与椭圆 共焦点共焦点，它的一条渐近线，它的一条渐近线方程为方程为 ，求双曲线的方程。，求双曲线的方程。说明：说明：1、渐近线为、渐近线为 的双曲线方程可表示为的双曲线方程可表示为2、椭圆、椭圆 与双曲线与双曲线 有相同的焦点坐标。有相同的焦点坐标。第17页，讲稿共20张，创作于星期日焦点在焦点在x轴上的双曲线的几何性质轴上的双曲线的几何性质 双曲线标准方
15、程双曲线标准方程双曲线标准方程双曲线标准方程：双曲线性质：双曲线性质：1、范围、范围：xa或或x-a2、对称性：、对称性：关于关于x轴，轴，y轴，原点对称。轴，原点对称。3、顶点：、顶点：A1（-a，0），），A2（a，0）4、轴：实轴、轴：实轴 A1A2 虚轴虚轴 B1B25、渐近线方程：、渐近线方程：6、离心率：、离心率：yB2A1A2 B1 xOb a7、通径：、通径：小小 结结第18页，讲稿共20张，创作于星期日焦点在焦点在y轴上的双曲线的几何性质轴上的双曲线的几何性质 双曲线标准方程：双曲线标准方程：双曲线标准方程：双曲线标准方程：双曲线性质：双曲线性质：1、范围：、范围：ya或或y-a2、对称性：、对称性：关于关于x轴，轴，y轴，原点对称。轴，原点对称。3、顶点：、顶点：A1（0，-a），A2（0，a）4、轴：实轴、轴：实轴 B1B2;虚轴虚轴 A1A25、渐近线方程：、渐近线方程：6、离心率：、离心率：yB2A1A2 B1 xOb a7、通径：、通径：小小 结结第19页，讲稿共20张，创作于星期日感感谢谢大大家家观观看看第20页，讲稿共20张，创作于星期日