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1、关于定积分的分部积分法第1页，讲稿共27张，创作于星期日第一节 定积分的概念 一、定积分问题举例 1曲边梯形的面积 图6-1所围成的平 面图形称为曲边梯形,如图6-1.求其面积的四个 步骤：(1)分割 任取分点把底边分成个小区间.(2)取近似(3)求和(4)取极限 第2页，讲稿共27张，创作于星期日要计算这段时间内所走的路程 (3)求和 二 定积分的定义2.变速直线运动的路程设某物体作直线运动，上的连续函数，(1)分割 任取分点,(2)取近似(4)取极限 设函数上有定义,任取分点=1,2,n），记 ,第3页，讲稿共27张，创作于星期日在每个小区间上任取一点 作乘积 的和式：上述和式的极限存在，
2、则称此极限值为函数 在区间 上的定积分定积分，（此时，也称）记为根据这个定义，两个实际问题都可用定积分表示为：曲边梯形的面积 变速运动路程 第4页，讲稿共27张，创作于星期日三三 定积分的几何意义图形在 轴之上，积分值为正，有 图形在 轴下方，积分值为负，即 则积分值就等于曲线 在 轴上方的部分 与下方部分面积的代数和，如图62所示，有图62四 定积分的性质 性质1 性质2 性质3 性质4 第5页，讲稿共27张，创作于星期日 性质5 则性质6 则至少存在一点使得 例 估计定积分 的值 解 先求 在1，1上的最大值和最小值得驻点 在驻点及区间端点处的函数值，故最大值 最小值 由估值定理得，第6页
3、，讲稿共27张，创作于星期日 习习 题题 6-11利用定积分的几何意义，说明：2利用定积分的几何意义，求下列定积分3利用定积分估值定理，估值定积分 的值 第二节 微积分基本公式一、变上限的定积分第7页，讲稿共27张，创作于星期日 通常称函数为变上限积分函数变上限积分函数或变上限积分变上限积分定理定理1 如果函数 则变上限积分 推论推论 连续函数的原函数一定存在例例1 计算 解 因为 故 第8页，讲稿共27张，创作于星期日 例例2 求下列函数的导数：解 设 例3 求 解 二、牛顿莱布尼茨公式定理2 设函数 第9页，讲稿共27张，创作于星期日 则有上式称为牛顿莱布尼茨公式，也称为微积分基本公式 为
4、方便起见，常记作例4 求定积分解1第10页，讲稿共27张，创作于星期日 习 题 6-21计算2计算下列各定积分第三节 定积分的换元法例1 求 解法1 第11页，讲稿共27张，创作于星期日 于是 解法2 设 于是 一般地，定积分换元法可叙述如下：,且当 例1 求 于是第12页，讲稿共27张，创作于星期日 例2 求 于是,例3 求 于是 第13页，讲稿共27张，创作于星期日 例4 求 由定积分换元法，得于是第14页，讲稿共27张，创作于星期日于是 例6 求 例7 证明 证 比较两边被积函数，可以看出，于是第15页，讲稿共27张，创作于星期日 习 题 6-3 1计算下列定积分2利用函数的奇偶性计算下
5、列定积分：3证明 第四节 定积分的分部积分法这就是定积分的分部积分法例1 第16页，讲稿共27张，创作于星期日 例2 求 例3 求 这样依次进行下去第17页，讲稿共27张，创作于星期日当n为奇数时，当n为偶数时，这个公式称为递推公式例4 求 习 题 6-4计算下列定积分第18页，讲稿共27张，创作于星期日 第五节 广义积分一、无究区间上的广义积分定义1 设函数 我们把极限 上的广义积分，记为若极限存在，称广义积分 收敛；若极限不存在，则称 发散 类似地，可以定义在 上的广义积分为上的广义积分定义为其中c为任意常数，当右边的两个广义积分都收敛时，广义积分 才是收敛的，否 则是发散的第19页，讲稿
6、共27张，创作于星期日例1 计算广义积分 解 例2 讨论 的敛散性 解 所以 发散例3 计算广义积分 解 例4 讨论 的敛散性.解当p1时，（收敛）；当p1时（发散）；第20页，讲稿共27张，创作于星期日 当p1时，（发散），综上，二、无界函数的广义积分取0，称极限 的广义积分，记为若该极限存在，则称广义积分 收敛；若极限不存在，则称 发散 类似地，当 的无穷间断点时，即 上的广义积分定义为：第21页，讲稿共27张，创作于星期日 当无穷间断点 位于区间 内部时，则定义广义积分 为：上式右端两个积分均为广义积分，当这两个广义积分都收敛时，才称 是收敛的，否则，称是发散的上述无界函数的积分也称瑕积
7、分例5 求广义积分 解 因为 被积函数的无穷间断点，于是例6 证明广义积分 当p1时收敛，当p1时发散证p1时，（收敛）；当p1时，（发散）；第22页，讲稿共27张，创作于星期日当p1时，（发散）因此，当p1时，此广义积分收敛，其值为 当p1时，广义积分发散复复 习习 题题 六六一、填空题的极小值为的取值范围为;第23页，讲稿共27张，创作于星期日 二、单项选择题为连续函数，则积分 A与，s，t有关;B与t，C与s，t有关;D仅与 有关.A0;B0 ;C0;D0.A充分条件;B必要条件;C充分必要条件;D无关条件.为连续函数，则下列各式正确的是（）第24页，讲稿共27张，创作于星期日 A2;B1;C1;D2.A0;B2;C1;D1.A0;B1;C2;D3.A必要条件;B充分条件;C充分必要条件;D无关条件.11下列广义积分收敛的是（）第25页，讲稿共27张，创作于星期日.A0;三、计算题第26页，讲稿共27张，创作于星期日感感谢谢大大家家观观看看第27页，讲稿共27张，创作于星期日