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1、 层次分析法本节主要内容一、层次分析法简介一、适用场合三、层次分析法的基本原理四、基本思想五、实施步骤六、应用举例第1页/共56页一、层次分析法简介 层次分析法（Analytical Hierarchy Process）是美国匹兹堡大学运筹学家A.L saaty教授于1973年提出的一种层次权重决策分析方法。该方法把复杂问题中的各种因素，通过划分相互联系的有序层次，使之条理化，并根据一定的客观现实的判断，就每一层次的元素相对重要性给以定量表示，并利用数学方法确定全部要素的相对重要性次序（权重），从而帮助人们更好地进行评价与决策。目前，AHP在能源政策分析、产业结构研究、科技成果评价、发展战略规
2、划、人才考核评价以及发展目标分析等方面得到了广泛的应用，取得了令人满意的成果。第2页/共56页AHP是一种能将定性分析与定量分析相结合的系统分析方法。在进行系统分析时，有些问题难以甚至根本不可能建立数学模型进行定量分析；应用AHP方法进行分析，就可以简便而迅速地解决问题。AHP是一种分析多目标、多准则的复杂大系统的有力工具。层次分析法是在一个多层次的分析结构中，最终被系统分析归结为最低层相对于最高层的相对重要性数值的确定或相对优劣次序的排列问题。第3页/共56页 二、适用场合 层次分析法(Analytic Hierarchy Process-AHP)适用于处理那些多目标、多层次、多准则、定性指
3、标较多的社会系统工程的复杂问题。第4页/共56页三、层次分析法的基本原理 如果知道N个西瓜总重量为1，每个西瓜的重量为1 2 ，这些西瓜两两比较（相除），可以得到表示N个西瓜相对重量关系的比较矩阵（判断矩阵）。从A阵可以看出 第5页/共56页由于AW W，对应A矩阵的特征根，W对应A矩阵的特征向量。在比较矩阵中AWNW,N是A矩阵的一个特征根，W对应特征根为N时的特征向量，W代表每个西瓜重量，此时N代表西瓜的个数或矩阵的阶数。假如不知道每个西瓜的重量W，但通过某种手段，设法知道每两个西瓜的相对比较重量，即构造出判断矩阵，因为矩阵满足完全一致性要求时，或具有较满意的一致性要求时,maxN，其余特
4、征根接近于零。第6页/共56页四、基本思想通过分析系统所包含的要素及其相互关系，建立递阶层次结构；然后对同一层次的各元素关于上一层次中某一要素的重要性进行两两比较，得出该层要素对于该要素的权重；最后计算各层次要素对于总体目标的总权重，从而得出不同设想方案的权值，为选择最优方案提供依据。第7页/共56页确定最优生产方案期望利润产品成品率市场占有率投资费用产品外观自行设计国外引进改建第8页/共56页选择旅游景点A景色B1门票B2交通B3龙门石窟C1白马寺C2关林庙C3第9页/共56页S SA A1 1A A2 2A Am mB B1 1B B2 2B Bn nC C1 1C C2 2C Ck k第
5、10页/共56页 五、实施步骤 投资效果评价为例进行说明 （一）建立递阶层次结构模型 （二）构造判断矩阵 （三）层次单排序 计算权重，并进行一致性检验 （四）层次总排序，并得出结论第11页/共56页（一）建立递阶层次结构模型分析系统所包含的要素，以及要素间的相互关系。根据要素之间的关系，建立递阶层次结构模型。第12页/共56页 1、建立方法（1）解释结构模型化技术（ISM）（2）分解法。目标-一级指标-二级指标-方案 2、三个层次（P124）（1）目标层（2）准则层（3）方案层第13页/共56页（目标层）（准则层）（方案层）选择旅游景点A景色B1门票B2交通B3龙门石窟C1白马寺C2关林庙C3
6、第14页/共56页（二）构造判断矩阵AHP法采用两两比较的方法建立判断矩阵，然后导出各要素的相对重要性。第15页/共56页1、判断矩阵的形式以上一层的某一要素A作为评价准则，对本层的各要素B1、B2、的重要性进行两两比较，即计算aij=bi/bj的值，来确定矩阵的元素，并写成矩阵形式，如下图所示：AB1 B2 BnB1B2Bna11 a12 a1na21 a22 a2n an1 an2 ann比较次数：n(n-1)/2第16页/共56页AB1B2B3WiWi0B111/32B2315B31/21/51第17页/共56页B1C1C2C3WiWi0C111/31/5C2311/3C3531第18页
7、/共56页B2C1C2C3WiWi0C1127C21/215C31/71/51第19页/共56页B3C1C2C3WiWi0C1131/7C21/311/9C3791第20页/共56页标度含义(ai与aj相比)135792，4，6，8上述值的倒数 前者与后者具有同样重要性（ai与自身相比）前者比后者稍微重要前者比后者明显重要前者比后者强烈重要前者比后者极端重要上述两相邻判断的中间值若因素i与j相比为aij,则因素j与i 相比为aji=1/aij 2、判断矩阵元素的取值（19标度法）为了使判断定量化，层次分析法采用19标度方法，对不同情况的评比给予数量尺度（共17个）。第21页/共56页 采用1-
8、9标度法的依据：选择1-9之间的整数及其倒数作为aij取值的主要原因是，它符合人们进行比较判断时的心理习惯。（1）心理学实验表明，大多数人对不同事物在某种相同属性上的差别的分辨能力在59个之间，19标度能够反映大多数人的判断能力；（2）大量社会调查表明，19的比例标度早已为人们所熟悉和采用；（3）科学考察和实践表明，19的比例标度已完全能区分引起人们感觉差别的事物的各种属性。第22页/共56页3、判断矩阵的性质（1）aij0 （2）aii=1（3）aij=1/aji（4）（在理想情况下）几个概念：正矩阵：满足（1）正互反矩阵：满足（1）、（2）、（3）一致性矩阵：满足（1）、（2）、（3）、（
9、4）AB1B2B3WiWi0B111/32B2315B31/21/51第23页/共56页（三）层次单排序 计算权重，并进行一致性检验 权重判断矩阵的特征向量1、特征根、特征向量计算方法：（1）迭代法 （2）和积法 （3）方根法第24页/共56页（1）特征根、特征向量计算(迭代法)迭代法的计算步骤为：（1）取任意与判断矩阵B同阶的正规化的初值向量W0；（2）计算（3）令 ，计算 ，（4）对于预先给定的精确度 ，当 对所有 成立时，为所求特征向量。可由下式求得 式中：n为矩阵阶数；为向量 的第i个分量。第25页/共56页（2）特征根、特征向量计算(和积法 )和积法的计算步骤为：（1）将矩阵的每一列
10、正规化 （2）将正规化后的矩阵按行加总 （3）将加总后得到的向量 再正规化，所得到的即为所求特征向量；（4）计算矩阵的最大特征根 ：式中 表示向量的第i个分量。第26页/共56页（3）特征根、特征向量计算(方根法 )方根法计算步骤为：(1)将B的元素按行相乘（2）所得乘积分别开n次方（3）将所得方根向量正规化，即得特征向量W，其中（4）计算判断矩阵最大特征根 第27页/共56页AB1B2B3WiWi0B111/320.8740.230B23152.4660.648B31/21/510.4640.122Max=3.004C.I.=0.002R.I.=0.52C.R.0.11、用方根法计算权重例：
11、计算权重，并进行一致性检验第28页/共56页AB1B2B3WiWi0B111/320.8740.230B23152.4660.648B31/21/510.4640.122Max=3.004C.I.=0.002R.I.=0.52C.R.n。由定理2可知，当判断矩阵完全一致时，应该有max=n。稍有不一致，则maxn，并且max比n大得越多，判断矩阵的不一致性程度就越严重。因此可以用max-n作为度量偏离一致性的指标。第34页/共56页计算max（3）一致性检验的步骤AB1B2B3WiWi0B111/320.8740.230B23152.4660.648B31/21/510.4640.122第35
12、页/共56页计算一致性指标（C.I.）提示：当判断矩阵具有完全一致性时，C.I.=0第36页/共56页查找同阶数的平均随机一致性指标（R.I.）R.I.的值是这样得到的：随机地从1-9及其倒数中抽取数字构造1000个样本的正互反矩阵，这样构造的判断矩阵最不一致，求其一致性指标的平均值。1.491.461.411.361.261.120.890.5200R.I.10987654321n 平均随机一致性指标平均随机一致性指标第37页/共56页计算一致性比例（C.R.）只有C.R.0.1时，认为判断矩阵具有满意的一致性，层次单排序的结果才认为是可信的，否则需要调整判断矩阵元素的取值，直到具有满意的一
13、致性为止。第38页/共56页B1B2B30.2300.6480.122C10.1050.5920.1490.426C20.2580.3330.0660.283C30.6370.0750.7850.291B层C层（四）计算层次总排序，并得出结论第39页/共56页 四、应用举例 某工厂在扩大企业自主权后，有一笔企业留成利润要由厂领导和职工代表大会决定如何使用。可以供选择的方案有：(1)作为奖金发给职工(2)扩建职工宿舍、食堂、托儿所等福利设施(3)办职工业余技术学校 (4)建图书馆、俱乐部、文工团与体工队 (5)引进技术设备进行企业技术改造这些方案都有其合理的因素，但哪一个方案更能调动职工的积极性
14、，更能促进企业快速发展呢?这是厂领导和职工代表大会所面临的需要分析决策的问题。第40页/共56页1、建立层次分析结构模型对于本题，经过分析后，上面五个措施可以归结为三个方面的准则：（1）调动职工劳动积极性 （2）提高企业技术水平 （3）改善职工物质文化生活 以上三个准则都是以合理使用企业利润，促进企业发展为目的的。第41页/共56页办职工业余技校(S3)合理使用企业利润促进企业发展(A)调动职工劳动积极性(B1)提高企业技术水平(B2)改善职工物质文化生活(B3)发奖金(S1)扩建职工宿舍(S2)新建图书馆(S4)引进新技术设备(S5)第42页/共56页2、建立判断矩阵假定厂长或职工代表大会根
15、据实际情况构造的判断矩阵如下：（1）相对于合理使用企业利润，促进企业发展的总目标A，各考虑准则之间Bi的相对重要性比较(判断矩阵AB)：A第43页/共56页（2）相对于调动职工劳动积极性准则B1，各方案之间的重要性比较(判断矩阵B1S)：B1第44页/共56页（3）相对于提高企业技术水平准则B2，各方案之间的重要性比较(判断矩阵B2S)：B2第45页/共56页（4）相对于改善职工物质文化生活准则B3，各方案之间的重要性比较(判断矩阵B3S)：B3第46页/共56页3、层次单排序，并进行一致性矩阵（1）判断矩阵ABW00.1050.6370.258第47页/共56页(2)判断矩阵B1SW00.4
16、350.2680.0880.1470.062CR0.1第48页/共56页 一致性检验：W00.1050.6370.258BW00.3181.9360.785解得：11/333151/31/51BBBBBB321321第49页/共56页(3)判断矩阵B2SW00.0550.5650.1180.262CR0.1第50页/共56页（4）判断矩阵B3SW00.3750.3750.1250.125CR0.1第51页/共56页4、层次总排序 层次B对层次 A的排序层次S对层次B的排序 B1 B2 B3 S层次总排序权重 序号 S1S2S3S4S5 0.1050.6370.2580.4350.2680.08
17、80.1470.06200.0550.5650.1180.2620.3750.3750.1250.1250 W1=0.143W2=0.16W3=0.4W4=0.122W5=0.17351234第52页/共56页试用求和法计算下述判断矩阵的最大特征根及其对应的特征向量。注：阶数为3的平均随机一致性指标R.I.=0.52作业：BC1C2C3C1135C21/313C31/51/31第53页/共56页简答题1、系统具有哪些特性？系统的一般属性对你的工作和学习有什么启发和帮助？2、系统工程的研究对象是什么？研究对象有哪些具体特征？3、Checkland方法论与Hall三维结构理论有哪些区别？温故而知新（一）温故而知新（一）第54页/共56页求出下图所示有向连接图的邻接矩阵和可达矩阵,写出节点S3的可达集合、先行集合。温故而知新（二）温故而知新（二）第55页/共56页谢谢您的观看！第56页/共56页