多目标决策方法52629.pptx

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1、HUNAN UNIVERSITY多目标决策方法1 1HUNAN UNIVERSITY1 1 分量加权和方法分量加权和方法 考虑多目标规划：其中可行集 假定多目标函数 中的各个分量fi(x),(1jp)具有相同的度量单位，那就可以按照一定的规则加权后，再按某种方式求和，构成评价函数。然后，再对评价函数求单目标极小化。对于权系数的不同处理和求和方式的不同，可有下列不同方法。2 2HUNAN UNIVERSITY1.1 1.1 线性加权和法线性加权和法 分别给多目标函数F(x)的第j个分量fj(x)赋以权系数 ,作线性加权和评价函数：把求解多目标问题(P0)转化成求解单目标问题(P1):3 3HUN

2、AN UNIVERSITY s.t.xX只要可行集X是凸集，目标函数fj(x)都是X上的凸函数(1j0);如果对于给定的权系数 ,问题（P1）的最优解x*(w)是唯一解，那么x*(w)一定是问题(P0)的非劣解；或者给它的权系数 ,那么问题(P1)的最优解x*(w)也一定是问题(P0）的非劣解。4 4HUNAN UNIVERSITY 例例11 求解 这里：f1(x)=(x1-1)2+(x2-1)2 f2(x)=(x1-2)2+(x2-3)2 f3(x)=(x1-4)2+(x2-2)2 X=xR2/x1+2x210，x24，x10，x20 X是凸集，f1(x),f2(x),f3(x)都是X上的凸

3、函数。5 5HUNAN UNIVERSITY 定义权系数wi0(j=1,2,3),w1+w2+w3=1.构造评价函数 求解单目标最优目标问题：显然，对于不同的权系数，最优解x*(w)是不同的，但是它们都是原多目标问题的非劣解，下面给出几组权系数及其对应的最优解（表1）.6 6HUNAN UNIVERSITY 可以证明，这个问题的全部非劣解为：其中：w=(w1,w2,w3)0序w=(w1,w2,w3)X(w)=(x1,x2)F1=(f1,f2,f3)12345(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)(1/3,1/3,1/3)(3/6,2/6,1/6)(1,1)(2,3)(4,2)(7/3,2)

4、(11/6,11/6)(0,5,10)(5,0,5)(10,5,0)(25/9,10/9,25/9)(25/18,25/18,85/18)表1 线性加权法的最优解7 7HUNAN UNIVERSITY1.2 1.2 平方加权和法平方加权和法 先求各分量的最优值 分别赋以权系数wj ,再作平方加权和评价函数：8 8HUNAN UNIVERSITY1.3 1.3 一法一法 先对P个分量fj(x)求极小化 ,假设得到P个相应的极小点xj ，然后把这个P个极小点分别依次代入各个目标函数，就能得到P2个值。然后，作线性方程组 其中是待定常数，由此可以解出权系数 9 9HUNAN UNIVERSITYn

5、例例22 用法求本节例1的权系数。从表1可知，3个单目标分量单独求极小化，所得3个极小点是：，3个极小点依次代入3个目标函数后，可以构造线性方程组如下：不难解出，这个方程组有唯一解：，其相应的线性加权和问题（P1）的最优解为 ，它也是多目标问题（P0）的非劣解，这时 。1010HUNAN UNIVERSITY1.4 1.4 统计加权和法统计加权和法 这是用统计方法处理权系数，同时进行方案比较的方法，1976年同B.A.By等人提出。首先，由l个老手（专家）各自独立地提出一个权系数方案（见表3.2所示），所以这个方法又称“老手法”。权系数老 手w1w2wjwp1w11w12w13w1pkwk1w

6、k2wk3wkplwl1wl2wljw1p均 值表3.2 权系数方案1111HUNAN UNIVERSITY 在对在均值偏差太大的权系数进行适当协商和调整之后，求出各个权系数wj的平均值：然后构造统计加权和评价函数:因为这时把权系数wj看成是一个随机数，因此在比较两个方案x1和x2的优劣时，不能直接比较 和 的大小，而只能按统计方法进行比较，例如利用假设检验的方法来确定不同方案的优劣。1212HUNAN UNIVERSITY1.5 1.5 变动权系数法变动权系数法 让线性加权和评价函数 中的各权系数wj(1jp)按一定规则变动，再求解问题（P1），就能得到多目标决策问题（P0）的全部非劣解。n

7、 例例33 求解双目标决策问题：1313HUNAN UNIVERSITY 作评价函数 求解 令 ，得 最优解为：当w从1变动到5，x x*由0变到2，当w从1/5变动到0，x*由2变到+，但是这些解不可行，不予考虑。所以这个例子的非劣解集是X*=0，2。但是，变动权系数法对于较大的n和p,以及复杂的分量函数，求解是很困难的，怎样不断变动权系数还是一个问题。1414HUNAN UNIVERSITY2 2 确定加权系数的方法确定加权系数的方法2.1 2.1 法法 考虑多目标数学规划问题：其中X=x|gi(x)0,1im,xRn，法的核心是以理想点P*为标准来确定各目标的权系数。1515HUNAN

8、UNIVERSITY11双目标决策问题（双目标决策问题（p p=2=2）先依次求解单目标最优化问题：分别得到最优解x1和x2；相对应的目标函数值为：1616HUNAN UNIVERSITY 目标空间中的几何图形见图3.3所示。图3.3 法几何说明1717HUNAN UNIVERSITY 记理想点 求解单目标最优化问题 设其最优解为x0，记 。1818HUNAN UNIVERSITY 则从几何意义上易见，F0恰是以理想点F*的圆心所作圆与目标集F(X)相切的切点，连接F*与F0两点，直线F0F*的斜率为：设与直线F0F*垂直的直线方程为：1f1+2f2=（1）其中 0i22）设 （i=1,2,P

9、）记理想点 ，并假定F*不在目标集F(X)中，求解单目标最优化问题：设其最优解为x0，目标函数2121HUNAN UNIVERSITY 在P维空间中，连接F0和F*两点的联线方程为：其方向向量为：易见 。所以，与方向相同。2222HUNAN UNIVERSITY 在P维空间上作超平面 ，使其法向量恰为0，而这个超平面方程的法向量为1，2，P，所以有：（k=1,2,P）而且满足 这样求出的k就是目标fk的权系数，（k=1,2,P）2323HUNAN UNIVERSITY2.2 2.2 环比评分法环比评分法 假定多目标决策问题共有P个目标f1,f2,fP。先把目标依次一对一对进行比较，先确定两个目

10、标之间重要性的比率。等全部对比好之后，再以最末一个目标当作1，循序向上环比，算出全部目标间重要性比率，最后再算出权系数。2424HUNAN UNIVERSITYn 例例 一个多目标决策问题有6个目标，目标间的比率及对应权系数如表3.3所示表3.3 环比评分表 其中f1的权系数 ，其它依此类推。目 标两个之间比率 六个之间比率权 系 数f127.500.4236f213.750.2143f333.750.2143f451.250.0714f50.250.250.0143f61 1.000.0571=17.50=1.002525HUNAN UNIVERSITY 2.3 2.3 二项系数加权法二项系

11、数加权法 设多目标决策问题共有P个目标f1,f2,fP。假定经过专家组评定和比较，已经定性地给这P个目标排列了一个重要性的优先序，不失一般性，不妨记为：我们可按对称方式，将上列优先序重新调整，使得最中间位置的目标最重要，同时重要性分别向两边递减。当P=2K时，排序为：当P=2K+1时，排序为：2626HUNAN UNIVERSITY 当我们对这P个决策目标很不熟悉，缺乏确定优先权的经验时，可以直接采用二项式展开的各项系数作为这P个目标的权系数。按照上述从左向右的优先序排列分配给相应的目标。由于共有P个目标，所以宜采用P-1次幂的二项展开式：展开式中，共有P项系数，从左向右，它们依次是：1，1。

12、若在二项展开式中令b=1，则有：2727HUNAN UNIVERSITY 所以，可以如下定义P个目标的权系数 （1）当P=2K+1时，令，。（2）当P=2K时，令，。不难看出，这样定义的权系数满足条件：2828HUNAN UNIVERSITY 这种二项系数加权法特别适用于决策者毫无赋权经验的问题，而且适宜于计算机求解。而且，当目标个数P很大时，各个目标在给出的重要性排序下，其对决策者所起作用（重要程度）大小的分布可看成具有某种概率分布的随机变量分布；由于各自的重要程度受到大量微小的、独立的因素影响的结果，因此按照概率论中心极限定理，这种分布近似服从正态分布，而二项式系数的大小正好与此吻合。所以

13、，二项系数加权法是比较接近实际的。2929HUNAN UNIVERSITY 2.4 2.4 倒数法倒数法 假定多目标决策问题的P个目标都是求最大值，而且 （k=1,2,P）。这里：（k=1,2,P）如果构造“线性加权和”评价函数 ，则可以定义这P个目标的加权系数为：（k=1,2,P）3030HUNAN UNIVERSITY 必须指出，“倒数法”于1971年提出来时，加权系数定义为：（k=1,2,P）这样定义加权系数，有时候会得出错误结果。下面给出2个反例。n 反例反例11 求解 这里：可行集X由下列约束条件构成：0 x118,x22,x1-x2-13131HUNAN UNIVERSITY 求单

14、目标最优化问题：，得最优解x1=(1,2)，。，得最优解x2=(1,2)，。显然，多目标问题的最优解x*就是(1,2)，即 x*=（x1，x2）=(1,2),F*=(,)=(-5,-4)。3232HUNAN UNIVERSITY 但是，如果用“线性加权和”法来求解这个问题，则令：，。则U(x)=1f1(x)+2f2(x)求解 ，得x*=(18,19)，相应的F*=(-56,-55)。这个结果显然是错误的。3333HUNAN UNIVERSITYn 反例反例22 求解：其中：X=x|3x1+x250,x10,x20 求解单目标最优化问题：，得最优解x1=(0,25)，。，得最优解x2=(0,50

15、)，。3434HUNAN UNIVERSITY 再令：，。用“线性加权和”法求解：这个线性规划问题无解（最优解无界）。但是这个结论显然也是错误的，因为各个单目标规划都存在最优解时，那么不论用什么方法，至少应该找到多目标规划的一个有效解。换言之，这个问题因为2个单目标规划都存在最优解，所以求解“线性加权和”问题，至少存在一个最优解，它就是原多目标问题的有效解。3535HUNAN UNIVERSITY 原因分析原因分析 分析这2个反例产生错误的原因，都是因为所求出的 和 是负值，而f1(x)和f2(x)中所有系数也都是负值。因此，作“线性加权和”评价函数时，U(x)中的系数就都变成了正值。对线性函

16、数而言，这些系数恰是该函数梯度的各分量。因此，由于 和 的负值，改变了系数符号，因而也就改变了梯度的方向。于是，求最大值问题变成了求最小值问题，这是导致错误的根本原因。3636HUNAN UNIVERSITY 如果采用“线性加权和”法构造评价函数时，定义加权系数k=，就能防止发生上述错误。反例1中，令 ，。求解 ，得到最优解x*=(1,2)，目标值向量F*=(-5,-4)，这个结果是正确的。3737HUNAN UNIVERSITY 反例2中，令 求解 ，得到最优解x*=，目标值向量F*=，这也就是原多目标规划的有效解。3838HUNAN UNIVERSITY3 3 分量最优化方法分量最优化方法

17、3.1 3.1 主要目标法主要目标法 从多目标函数F(x)的P个分量中选出一个最重要的fs(x)作为主要目标。同时，对于其余P-1个分量fj(x)（1jP,js）估计出其上限和下限。（1jP，js）这样就把多目标问题转化成求解单目标最优化问题：3939HUNAN UNIVERSITY3.2 3.2 恰当等约束法（恰当等约束法（PECPEC法）法）PEC法于1976年由J.G.Lin提出。从多目标函数F(x)的P个分量中选定一个fs(x)作为目标，同时，对其它P-1个分量恰当地选取一个相应的常数Cj，使fj(x)=Cj，（1jP，js）才可能是原多目标问题的非劣解。具体求解时，每一步都要按照一些

18、判别条件，逐步去掉一些劣解，最后留下非劣解集。4040HUNAN UNIVERSITY 3.3 3.3 分量轮换法分量轮换法 分量轮换法于1971年由R.L.Fox提出，又称“协调研究法”。首先对多目标函数F(x)的P个分量fj(x)分别估计其上限 （1jP），于是有：（1jP）然后，我们构造P个单目标最优化问题：（k=1,2,P）4141HUNAN UNIVERSITY 这就是把F(x)中的P个分量轮流取其中一个作目标函数，其余P-1个分量进入约束条件，构成单目标最优化问题。依次求解这P个单目标最优化问题，得到最优解 （k=1,2,P）。假定开始时，这些上限值 （1kP）选取得当，求出的 就

19、是原多目标决策问题的非渐解，所有 值能为决策者提供很多有用的信息。4242HUNAN UNIVERSITY3.4 3.4 恰当不等式约束法恰当不等式约束法 从多目标函数F(x)的P个分量中选择一个合适的作为目标函数，为方便起见，不妨就选第一个，即f1(x)。同时，对于其余的P-1个分量恰当地选取一个常数Cj，使得fj(x)Cj，j=2,3,P），然后求解单目标问题。只要常数Cj取得恰当，（j=2,3,P）这样求出的最优解x*(C)就是原多目标决策问题的非劣解。4343HUNAN UNIVERSITYn 例例11 求解：其中：4444HUNAN UNIVERSITY 解 构造单目标最优化问题：应

20、用Kuhn-Tucker最优性必要条件，可以求出最优解x*(C)，而且只要C选取“恰当”它也就是原多目标问题的非劣解。要使x*(C2)是非劣解，C2的“恰当”范围是1，4。4545HUNAN UNIVERSITY 最优目标值向量为：假定一开始选取C2=1，单目标问题是：那么它的最优解恰是x*=0，F*=(1,16)，这是原多目标问题的非劣解。4646HUNAN UNIVERSITYn 例例22 求解 其中：4747HUNAN UNIVERSITY 构造单目标最优化问题：应用Kuhn-Tucker条件求解这个问题，可得最优解为：4848HUNAN UNIVERSITY 其中C2、C3必须满足条件

21、：2C2-C30，C3-C20 只要C2、C3选取得“恰当”，x*(C)就是原多目标决策问题的非劣解。例如，下面给出了一些“恰当”非劣解：C2=1，C3=2 x*=(0,1)F*=(10,1,2)C2=1.5，C3=2 x*=(1,0.5)F*=(6.25,1.5,2)C2=2，C3=3 x*=(1,1)F*=(5,2,3)4949HUNAN UNIVERSITYn9、静夜四无邻，荒居旧业贫。3月-233月-23Wednesday,March 22,2023n10、雨中黄叶树，灯下白头人。06:26:3206:26:3206:263/22/2023 6:26:32 AMn11、以我独沈久，愧君

22、相见频。3月-2306:26:3206:26Mar-2322-Mar-23n12、故人江海别，几度隔山川。06:26:3206:26:3206:26Wednesday,March 22,2023n13、乍见翻疑梦，相悲各问年。3月-233月-2306:26:3206:26:32March 22,2023n14、他乡生白发，旧国见青山。22 三月 20236:26:32 上午06:26:323月-23n15、比不了得就不比，得不到的就不要。三月 236:26 上午3月-2306:26March 22,2023n16、行动出成果，工作出财富。2023/3/22 6:26:3206:26:3222

23、March 2023n17、做前，能够环视四周；做时，你只能或者最好沿着以脚为起点的射线向前。6:26:32 上午6:26 上午06:26:323月-23n9、没有失败，只有暂时停止成功！。3月-233月-23Wednesday,March 22,2023n10、很多事情努力了未必有结果，但是不努力却什么改变也没有。06:26:3206:26:3206:263/22/2023 6:26:32 AMn11、成功就是日复一日那一点点小小努力的积累。3月-2306:26:3206:26Mar-2322-Mar-23n12、世间成事，不求其绝对圆满，留一份不足，可得无限完美。06:26:3206:26

24、:3206:26Wednesday,March 22,2023n13、不知香积寺，数里入云峰。3月-233月-2306:26:3206:26:32March 22,2023n14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。22 三月 20236:26:32 上午06:26:323月-23n15、楚塞三湘接，荆门九派通。三月 236:26 上午3月-2306:26March 22,2023n16、少年十五二十时，步行夺得胡马骑。2023/3/22 6:26:3206:26:3222 March 2023n17、空山新雨后，天气晚来秋。6:26:32 上午6:26 上午06:26:323月-

25、23n9、杨柳散和风，青山澹吾虑。3月-233月-23Wednesday,March 22,2023n10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。06:26:3206:26:3206:263/22/2023 6:26:32 AMn11、越是没有本领的就越加自命不凡。3月-2306:26:3206:26Mar-2322-Mar-23n12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。06:26:3206:26:3206:26Wednesday,March 22,2023n13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。3月-233月-2306:26:3206:26:32March 22,2023n14、

26、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。22 三月 20236:26:32 上午06:26:323月-23n15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。三月 236:26 上午3月-2306:26March 22,2023n16、业余生活要有意义，不要越轨。2023/3/22 6:26:3206:26:3222 March 2023n17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。6:26:32 上午6:26 上午06:26:323月-23MOMODA POWERPOINTLorem ipsum dolor sit amet,consectetur adipiscing elit.Fusce id urna blandit,eleifend nulla ac,fringilla purus.Nulla iaculis tempor felis ut cursus.感感 谢谢 您您 的的 下下 载载 观观 看看专家告诉