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1、2.1 测量误差的基本概念测量的目的:获得被测量的真值。真值:在一定的时间和空间环境条件下，被测量本身所具有的真实数值。测量误差:出现测量结果与实际值（真值）有差异，这种差异称为测量误差 所有测量结果都带有误差测量误差的来源（1）仪器误差：由于测量仪器及其附件的设计、制造、检定等不完善，以及仪器使用过程中老化、磨损、疲劳等因素而使仪器带有的误差。（2）影响误差：由于各种环境因素（温度、湿度、振动、电源电压、电磁场等）与测量要求的条件不一致而引起的误差。（3）理论误差和方法误差：由于测量原理、近似公式、测量方法不合理而造成的误差。（4）人身误差：由于测量人员感官的分辨能力、反应速度、视觉疲劳、固
2、有习惯、缺乏责任心等原因，而在测量中使用操作不当、现象判断出错或数据读取疏失等而引起的误差。（5）测量对象变化误差：测量过程中由于测量对象变化而使得测量值不准确，如引起动态误差等。第1页/共105页控制测量误差的意义 对很多测量来说，测量工作的价值完全取决于测量的准确程度。研究误差理论的目的2.1.1 2.1.1 测量误差的定义测量误差的定义测量误差测量结果与被测量真值的差别。2.1.22.1.2测量误差的分类测量误差的分类测量误差的分类测量误差的分类 测量误差按表示方法分类有绝对误差、相对误差。1绝对误差绝对误差又叫绝对真误差，它可以表示为 x=x x0 (2-1)一、测量误差按表示方法分类
3、一、测量误差按表示方法分类 第2页/共105页式中uu给出值：给出值：给出值：给出值：在测量中通常就是被测量的测得值。在测量中通常就是被测量的测得值。包括仪器的示值，量具或元件的标称值（又包括仪器的示值，量具或元件的标称值（又叫名义值），近似计算的近似值等等。叫名义值），近似计算的近似值等等。uu真值得给出：真值得给出：真值得给出：真值得给出：可由理论给出或由计量学作出规定；可由理论给出或由计量学作出规定；用用实际值实际值代替。代替。用已修正过的多次测量的算术平均值来代用已修正过的多次测量的算术平均值来代替真值替真值 满足规定准确度要求，用来代替真值使用的量值。在实际测量中，常把用高一等级的计
4、量标准所测得的量值作为实际值u修正值：与绝对误差x大小相等但符号刚好相反的量，称为修正值，一般用C表示。C=-x=x0 x (2-2)式中第3页/共105页在某些较准确的仪器中，常常以表格、曲线或公式的形式给在某些较准确的仪器中，常常以表格、曲线或公式的形式给出修正值。出修正值。修正值通常是在校准仪器时给出。修正值通常是在校准仪器时给出。当测量时得到给出值当测量时得到给出值x及修正值C以后，由式(2-2)就可以求出被测量的实际值【例如2-1】某电压表的量程为10V，通过检定而得出其修正值为-0.02V。如用这只电压表测电路中的电压，其示值为7.5V，于是得被测量电压的实际值为 解：x0=C+x
5、=（-0.02）+7.5=7.48V绝对误差及修正值是与给出值具有相同的量纲的量。绝对误差的大小和符号分别表示了给出值偏离真值的程度和方向。2相对误差实际测量过程中，常用相对误差来表示仪器测量的准确程度。（1）相对真误差（相对误差）用绝对误差x与被测量的真值的百分比值来表示。用r 表示，r=100%(2-3)第4页/共105页相对误差是一个只有大小和符号，而没有量纲的量。示值相对误差（又叫标称相对误差）：用绝对误差x与被测量的给出值的百分比值来表示；只有在误差较小时用。有时一个仪器的准确程度，可以用误差的绝对形式和相对形式共同表示。分贝误差相对误差的对数表示 在电子学和声学中常用分贝来表示相对
6、误差，叫分贝误差。例如：测量一个有源或无源网络，它的电压或电流传递函数为A0,测得值为A,绝对误差为A，则由A0dB=20lgA0dB及AdB=A0dB+,推导出分贝误差为：相对误差是一个只有大小和符号，而没有量纲的量。相对误差是一个只有大小和符号，而没有量纲的量。示值相对误差（又叫标称相对误差）：示值相对误差（又叫标称相对误差）：用绝对误差x与被测量的给出值的百分比值来表示；只有在误差较小时用只有在误差较小时用。有时一个仪器的准确程度，可以用误差的绝对形式和相对形式有时一个仪器的准确程度，可以用误差的绝对形式和相对形式有时一个仪器的准确程度，可以用误差的绝对形式和相对形式有时一个仪器的准确程
7、度，可以用误差的绝对形式和相对形式共同表示。共同表示。共同表示。共同表示。是一个只与相对误差有关的量；并且是有符号的。是一个只与相对误差有关的量；并且是有符号的。（3）满度相对误差分贝误差相对误差的对数表示 在电子学和声学中常用分贝来表示相对误差，叫分贝误差。例如：测量一个有源或无源网络，它的电压或电流传递函数为A0,测得值为A,绝对误差为A，则由A0dB=20lgA0dB及AdB=A0dB+,推导出分贝误差为：分贝误差相对误差的对数表示 在电子学和声学中常用分贝来表示相对误差，叫分贝误差。例如：测量一个有源或无源网络，它的电压或电流传递函数为A0,测得值为A,绝对误差为A，则由A0dB=20
8、lgA0dB及AdB=A0dB+,推导出分贝误差为：(2-5)为了计算和划分电表准确度等级的方便，在用（2-3）式求相对误差时，改为取电表量程，即满刻度值作为分母，这就引出了满度相对误差（又叫引用相对误差）的概念：第5页/共105页用绝对误差x与仪器的满刻度值xm比值来表示的误差称为满度相对误差。用r n表示，(2-6)式中电子仪器正是按r n之值来进行分级的，例如，0.5级的电子仪器，就表明其r n 0.5%，即表示它的引用相对误差所不超过的百分比，并在其面板上标有0.5的符号。如果该仪器同时有几个量程，则所有量程有r n 0.5%。我国生产的电子仪器精度一般分有七级：0.1、0.2、0.5
9、、1.0、1.5、2.5、5.0。用绝对误差x与仪器的满刻度值xm比值来表示的误差称为满度相对误差。用r n表示，(2-6)用绝对误差x与仪器的满刻度值xm比值来表示的误差称为满度相对误差。用r n表示，若某仪表的等级是s级，它的满刻度值为 ，被测量的真值为 ，那么测量的绝对误差(2-7)若某仪表的等级是s级，它的满刻度值为 ，被测量的真值为 ，那么测量的绝对误差第6页/共105页测量的相对误差(2-8)由式（2-7）、（2-8）可见，我们在用这类仪表测量时，所选仪表的满刻度值不应比实测量大得太多；在一般情况下应使被测量的数值尽可能在仪表满刻度的三分之二以上。由P16例3可见，在测量中我们不能
10、片面追求仪表的级别，而应该根据被测量的大小，兼顾仪表的满刻度值和级别，合理的选择仪表。二、测量误差按性质和特点分类二、测量误差按性质和特点分类 根据测量误差的根据测量误差的性质和特点性质和特点，测量误差可分为系统误差、随机，测量误差可分为系统误差、随机误差、粗大误差三类。误差、粗大误差三类。第7页/共105页（一）.系统误差定义：在同一测量条件下，多次测量同一量时，测量误差的绝对值和符号都保持不变，或在测量条件改变时按一定规律变化的误差，称为系统误差。例如仪器的刻度误差和零位误差，或值随温度变化的误差。系统误差一般可以归结为若干个因素的函数。产生的主要原因是测量设备的缺陷、测量仪器不准、测量仪
11、表的安装、放置或使用方法不正确；环境因素（温度、湿度、电源、周围电磁场等）影响；测量时使用的方法不完善，所依据的理论不严密或测量原理中使用近似计算公式（常称为理论误差或方法误差）；测量人员不良的读数习惯等。第8页/共105页 定义、根源和特点定义:在同一测量条件下（指在测量环境、测量人 员、测量技术和测量仪器都相同的条件下），多次重 复测量同一量值时，每次测量误差的绝对值和符号都 以不可预知的方式变化的误差，称为随机误差或偶然 误差，简称随差。随机误差主要由那些对测量值影响较微小，又互不相 关的多种因素共同造成的。这些因素主要是噪声干扰、电磁场微变、零件的摩擦 和配合间隙、热起伏、空气扰动、大
12、地微震、测量人 员感官的各种无规律的微小变化等。（二）（二）.随机误差随机误差第9页/共105页一次测量的随机误差没有规律、不可预定、不能控制 也不能用实验的方法加以消除。但是，对于大量的测量，从统计的观点来看，随机误 差表现了它的规律性，即随机误差在多次测量的总体 上服从统计规律。可通过数理统计的方法来处理,即求算术平均值，通过多次测量取平均值的办法来削弱随机误差对测量结果的影响。随机误差变化的特点是：有界性；对称性；抵偿性。很多测量结果的随机误差的分布形式接近于正态分布，也有部分测量结果的随机误差属于均匀分布或其他分布。第10页/共105页在测量中，随机误差是不可避免的。在进行测量之前，我
13、们不能预言测量值肯定为多少，只能对它的变化范围进行估计，因而测量值是一个随机变量。多次测量，测量值和随机误差服从概率统计规律。可用数理统计的方法，处理测量数据，从而减少随机误差对测量结果的影响。测量值的取值可以是连续的，也可以是离散的。测量值为离散值时的数学期望和方差 测量值为离散值时的数学期望 测量数据的数学期望和方差测量数据的数学期望和方差第11页/共105页uu若若测量值测量值X X可能的取值数可能的取值数mm为有限个或无穷可数个离散为有限个或无穷可数个离散值时：值时：当测量次数当测量次数nn时，可以用某取值发生的频率时，可以用某取值发生的频率n ni in n代替事件发生的概率代替事件
14、发生的概率P Pi i(i=1(i=1m),m),这时，测量值这时，测量值X X的数学期望为：式中第12页/共105页若每个测量值只得到一次，或者每次测量结果单独统计，若每个测量值只得到一次，或者每次测量结果单独统计，认为认为n n次测量得到次测量得到n n个测量值，而不考虑这些结果中有无个测量值，而不考虑这些结果中有无相同的情况时：相同的情况时：当测量次数当测量次数nn时，可以用测量值出现的频率时，可以用测量值出现的频率1 1n n代代替事件发生的概率替事件发生的概率P Pi i(i=1(i=1m),m),这时，则得到测量值这时，则得到测量值X X的数学期望为：测量值测量值的数学期望就是当测
15、量次数当测量次数nn时，它的各次时，它的各次测量值的算术平均值测量值的算术平均值测量值测量值的数学期望只反映测量值平均的情况测量值平均的情况 测量值测量值的数学期望就是当测量次数当测量次数nn时，它的各次时，它的各次测量值的算术平均值测量值的算术平均值测量值测量值的数学期望只反映测量值平均的情况测量值平均的情况第13页/共105页 测量值为离散值时的方差若测量值若测量值X X可能的取值数可能的取值数mm为有限个或无穷可数个离散值时：为有限个或无穷可数个离散值时：当测量次数当测量次数nn时，可以用事件发生的频率时，可以用事件发生的频率n ni in n代替第代替第i i种取种取值的概率值的概率P
16、 Pi i(i=1(i=1m),m),这时，测量值这时，测量值X X的方差为：若每个测量值只得到一次，或者每次测量结果单独统计，认为若每个测量值只得到一次，或者每次测量结果单独统计，认为n n次次测量得到测量得到n n个测量值，而不考虑这些结果中有无相同的情况时：个测量值，而不考虑这些结果中有无相同的情况时：当测量次数当测量次数nn时，可以用测量值出现的频率时，可以用测量值出现的频率1 1n n代替概率代替概率P Pi i(i=1(i=1m),m),这时，则得到测量值这时，则得到测量值X X的方差：若测量值若测量值X X可能的取值数可能的取值数mm为有限个或无穷可数个离散值时：为有限个或无穷可
17、数个离散值时：当测量次数当测量次数nn时，可以用事件发生的频率时，可以用事件发生的频率n ni in n代替第代替第i i种取种取值的概率值的概率P Pi i(i=1(i=1m),m),这时，测量值这时，测量值X X的方差为：若每个测量值只得到一次，或者每次测量结果单独统计，认为若每个测量值只得到一次，或者每次测量结果单独统计，认为n n次次测量得到测量得到n n个测量值，而不考虑这些结果中有无相同的情况时：个测量值，而不考虑这些结果中有无相同的情况时：当测量次数当测量次数nn时，可以用测量值出现的频率时，可以用测量值出现的频率1 1n n代替概率代替概率P Pi i(i=1(i=1m),m)
18、,这时，则得到测量值这时，则得到测量值X X的方差：第14页/共105页 测量值测量值的方差是用来描述测量值的离散程度或者说随机误差对测量值的影响的。在式（在式（2-112-11）中，不采用）中，不采用xxi i-M(X)-M(X)来进行平均，而取它的平方来平均。来进行平均，而取它的平方来平均。标准偏差：标准偏差：标准偏差：标准偏差：方差的算术平方根方差的算术平方根方差的算术平方根方差的算术平方根 标准偏差同样用来描述测量值的离散程度，标准偏差同样用来描述测量值的离散程度，标准偏差同样用来描述测量值的离散程度，标准偏差同样用来描述测量值的离散程度，越小，测量值越集中。越小，测量值越集中。越小，
19、测量值越集中。越小，测量值越集中。测量值测量值的方差是用来描述测量值的离散程度或者说随机误差对测量值的影响的。在式（在式（2-112-11）中，不采用）中，不采用xxi i-M(X)-M(X)来进行平均，而取它的平方来平均。来进行平均，而取它的平方来平均。标准偏差：标准偏差：标准偏差：标准偏差：方差的算术平方根方差的算术平方根方差的算术平方根方差的算术平方根 标准偏差同样用来描述标准偏差同样用来描述标准偏差同样用来描述标准偏差同样用来描述测量值的离散程度测量值的离散程度测量值的离散程度测量值的离散程度，越小，测量值越集中。越小，测量值越集中。越小，测量值越集中。越小，测量值越集中。测量值为连续
20、值时的数学期望和方差设测量值X落在区间内的概率为之比的极限存在当趋于零时，若就把它称为测量值X在x点的概率密度，记为第15页/共105页则测量值X的数学期望为：则测量值X的方差为：（2-13）（2-14）（三）（三）.粗大误差粗大误差uu定义：定义：定义：定义：超出规定条件下预期的误差。也就是说在一定的测量条件下，超出规定条件下预期的误差。也就是说在一定的测量条件下，超出规定条件下预期的误差。也就是说在一定的测量条件下，超出规定条件下预期的误差。也就是说在一定的测量条件下，测量结果明显地偏离了真值。测量结果明显地偏离了真值。测量结果明显地偏离了真值。测量结果明显地偏离了真值。uu产生粗差的原因
21、有：产生粗差的原因有：产生粗差的原因有：产生粗差的原因有：测量操作疏忽和失误测量操作疏忽和失误测量操作疏忽和失误测量操作疏忽和失误 如测错、读错、记错以及实验条件未达如测错、读错、记错以及实验条件未达如测错、读错、记错以及实验条件未达如测错、读错、记错以及实验条件未达 到预定的要求而匆忙实验等。到预定的要求而匆忙实验等。到预定的要求而匆忙实验等。到预定的要求而匆忙实验等。测量方法不当或错误测量方法不当或错误测量方法不当或错误测量方法不当或错误 测量环境条件的突然变化测量环境条件的突然变化测量环境条件的突然变化测量环境条件的突然变化 如电源电压突然增高或降低，雷电如电源电压突然增高或降低，雷电如
22、电源电压突然增高或降低，雷电如电源电压突然增高或降低，雷电 干扰、机械冲击等引起测量仪器示值的剧烈变化等。干扰、机械冲击等引起测量仪器示值的剧烈变化等。干扰、机械冲击等引起测量仪器示值的剧烈变化等。干扰、机械冲击等引起测量仪器示值的剧烈变化等。uu含有粗差的测量值称为坏值或异常值；含有粗差的测量值称为坏值或异常值；粗大误差明显地歪曲了测量结粗大误差明显地歪曲了测量结粗大误差明显地歪曲了测量结粗大误差明显地歪曲了测量结 果，果，果，果，在数据处理时，应剔除掉在数据处理时，应剔除掉。第16页/共105页（四）测量误差对测量结果的影响及测量的正确度、精密度和准确度系差和随差的表达式系差和随差的表达式
23、对于一个测量误差，在剔除粗大误差后，只剩下系统误差和随机误差，而一般说来，在任何一次测量中，系统误差和随机误差都是同时存在的。那么各次测得值的绝对误差就等于系统误差和随机误差的代数和。即在确定条件下，对被测量x的第i次测量的误差可表示为 式中系统误差在测量条件相同时是不变的，当测量次数n时，若对n次测量的绝对误差取平均值，则第17页/共105页的平均值等于零，由此可得：由于随机误差的抵偿性，当n时(2-15a)(2-15b)式式(2-15a)说明说明说明说明，对于同时存在系统误差和随机误差的测量数据，只，对于同时存在系统误差和随机误差的测量数据，只要测量次数足够多（理论上要测量次数足够多（理论
24、上nn），各次测量绝对误差的算术平均），各次测量绝对误差的算术平均值就等于测量的系统误差。取平均值后，随机误差的影响可以消除。值就等于测量的系统误差。取平均值后，随机误差的影响可以消除。式式(2-15b)说明说明说明说明系统误差使测量值的数学期望偏离被测量的真值；当系统误差使测量值的数学期望偏离被测量的真值；当不存在系统误差时，测量值的数学期望就等于被测量的真值，即不存在系统误差时，测量值的数学期望就等于被测量的真值，即(2-16)系差的表达式系差的表达式第18页/共105页 随差的表达式随差的表达式由于第i次测量的随机误差由于第i次测量的随机误差将及式（2-15b）代入上式，可得及式（2-1
25、5b）代入上式，可得将及式（2-15b）代入上式，可得(2-17a)式式(2-17a)说明说明说明说明，某次测量的随机误差等于这次测量的测量值与测量，某次测量的随机误差等于这次测量的测量值与测量值的数学期望之差。值的数学期望之差。当不存在或修正了系统误差以后，由式（当不存在或修正了系统误差以后，由式（2-162-16）可将上式变为）可将上式变为(2-17b)测量误差对测量数据的影响测量误差对测量数据的影响第19页/共105页（a）（b）（b）（c）（c）第20页/共105页3.3.测量的正确度、精密度和准确度uu正确度：正确度：正确度：正确度：表示测量结果中系统误差大小的程度表示测量结果中系统
26、误差大小的程度表示测量结果中系统误差大小的程度表示测量结果中系统误差大小的程度。系统。系统。系统。系统误差越小，则正确度越高，就有可能使测量结果越误差越小，则正确度越高，就有可能使测量结果越误差越小，则正确度越高，就有可能使测量结果越误差越小，则正确度越高，就有可能使测量结果越正确，即测量值的数学期望与真值符合的程度越高。所正确，即测量值的数学期望与真值符合的程度越高。所正确，即测量值的数学期望与真值符合的程度越高。所正确，即测量值的数学期望与真值符合的程度越高。所以就可以用系统误差以就可以用系统误差以就可以用系统误差以就可以用系统误差来作为衡量测量是否正确的来作为衡量测量是否正确的来作为衡量
27、测量是否正确的来作为衡量测量是否正确的尺度。尺度。尺度。尺度。uu精密度：精密度：精密度：精密度：表示测量结果中随机误差大小的程度，也可以表示测量结果中随机误差大小的程度，也可以表示测量结果中随机误差大小的程度，也可以表示测量结果中随机误差大小的程度，也可以简称为精度简称为精度简称为精度简称为精度。精密度越高，表示随机误差越小。随机。精密度越高，表示随机误差越小。随机。精密度越高，表示随机误差越小。随机。精密度越高，表示随机误差越小。随机误差的大小可以用测量值的标准偏差误差的大小可以用测量值的标准偏差误差的大小可以用测量值的标准偏差误差的大小可以用测量值的标准偏差来衡量。来衡量。来衡量。来衡量
28、。越越越越小小小小，测测测测量量量量值值值值越越越越集集集集中中中中；反反反反之之之之，越越越越大大大大，测测测测量量量量值值值值越越越越分分分分散散散散，测量的精度越低。测量的精度越低。测量的精度越低。测量的精度越低。相同的测量叫等精密度测量。随相同的测量叫等精密度测量。随相同的测量叫等精密度测量。随相同的测量叫等精密度测量。随机因素使测量值呈现分散而不确定，但总是分布在平均机因素使测量值呈现分散而不确定，但总是分布在平均机因素使测量值呈现分散而不确定，但总是分布在平均机因素使测量值呈现分散而不确定，但总是分布在平均值附近。值附近。值附近。值附近。如图如图如图如图2-42-4所示所示所示所示
29、第21页/共105页准确度：用来反映测量结果中系统误差和随机误差的 综合影响。表示测量结果与真值的一致程度。准确度 越高，表示正确度和精密度都高，意味着系统误差和 随机误差都小。在一定的测量条件下，总是力求测量 结果尽量接近真值，即力求准确度高。图2-4 随机误差不同的两组测量数据：（a）随机误差较小 （b）随机误差较大（a）（b）第22页/共105页测量结果的正确度、精密度和准确度的涵义可用图2-5说明：图2-5（c）（a）（b）第23页/共105页4.系差、随差和粗大误差之间在一定条件下是可以相互转化在对三种误差进行判别时，也会发现它们之间没有不可逾越的鸿沟，即三种测量误差的划分也不是绝对
30、严格的，而是具有一定的相对性；但是，这种相对的划分还是必要的，根据这种划分人们对三种误差的处理方法是不同的：对于含有粗大误差的测量值予以剔除；对于随机误差的影响用统计平均的方法来消除或减弱；对系统误差则主要靠在测量过程中采用一定的技术措施来削弱或对测量值进行必要的修正来减弱系统误差的影响误差的其他多种分类第24页/共105页2.2 2.2 测量误差的估计和处理2.2.1 随机误差的影响及统计处理随机误差是在实际相同条件下多次测量同一量时，误差的绝对值和符号均发生变化，而且这种变化没有确定的规律也不能事先确定的误差。随机误差使测量数据产生分散，即偏离它的数学期望。对某一次测量来说，随机误差使测量
31、数据偏离数学期望的大小和方向是没有规律的，但多次测量就会发现随机误差使测量数据的分布服从一定的概率统计规律。可用数理统计的方法研究随机误差对测量数据的影响，并用统计平均的方法来克服或处理这种误差。第25页/共105页测量中的随机误差通常是多种相互独立的因素造成的许多微小误差的总和。中心极限定理：假设被研究的随机变量可以表示为大量独立的随机变量的和，其中每一个随机变量对于总和只起微小作用，则可认为这个随机变量服从正态分布。为什么测量数据和随机为什么测量数据和随机误差大多接近正态分布误差大多接近正态分布？(一一一一)中心极限定理在误差分析中的应用中心极限定理在误差分析中的应用测量测量测量测量数据的
32、正态分布数据的正态分布数据的正态分布数据的正态分布第26页/共105页随机误差的概率密度函数为：测量数据X的概率密度函数为：随机误差的数学期望和方差为：同样测量数据的数学期望M(X)，方差D(X)（2-18）（2-192-19）第27页/共105页随机误差和测量数据的正态分布时概率密度曲线 随机误差和测量数据的分布形状相同，因而它们的标准偏差随机误差和测量数据的分布形状相同，因而它们的标准偏差 相同，只是横坐标相差相同，只是横坐标相差第28页/共105页标准偏差意义标准偏差是代表测量数据和测量误差分布离散程度的特征数。标准偏差越小，则曲线形状越尖锐，说明数据越集中；标准偏差越大，则曲线形状越平
33、坦，说明数据越分散。第29页/共105页 求被测量的数字特征，理论上需无穷多次测量，但在实际测量中只能进行有限次测量，怎么办？有限次测量值的算术平均值及其分布有限次测量值的算术平均值及其分布对于某被测量进行一系列独立的等精度的测量，从统计的观点来看，这一系列测量值的分布形状完全是确定的，也就是说只要测量系统、测量条件和被测量不变，那么这一系列测量就具有相同的数学期望和标准偏差，即：（二）（二）用有限次测量数据估计测量值的数学期望用有限次测量数据估计测量值的数学期望和标准偏差和标准偏差那么根据概率论中相关的定理就可以求出n次测量值的测量值的算术平均值的数学期望和方差：数学期望和方差：第30页/共
34、105页*（2-22）（2-23b）（2-23a）算术平均值的标准偏差比总体或单次测量值的标准偏差小算术平均值的标准偏差比总体或单次测量值的标准偏差小 倍。原倍。原因是随机误差的抵偿性因是随机误差的抵偿性 。若每个平均值均由n个标准偏差为（X）的数据平均而成，则n越大，平均值的离散程度越小，这是采用统计平均的方法减弱随机误差的影响的理论根据。第31页/共105页根据中心极限定理，可以得到一个重要结论：无论被测量总体的分布是什么形状，随着测量次数的增加，测量值算术平均值的分布都越来越趋近于正态分布。用有限次测量数据估计测量值的数学期望用有限次测量数据估计测量值的数学期望uu用用用用n n n n
35、次次次次测测测测量量量量值值值值的的的的算算算算术术术术平平平平均均均均值值值值作作作作为为为为数数数数学学学学期期期期望望望望的的的的估估估估计计计计值值值值，并并并并作为最后的测量结果。即：作为最后的测量结果。即：作为最后的测量结果。即：作为最后的测量结果。即：uu算术平均值是数学期望的无偏估计值、一致估计值，即算术平均值是数学期望的无偏估计值、一致估计值，即算术平均值是数学期望的无偏估计值、一致估计值，即算术平均值是数学期望的无偏估计值、一致估计值，即第32页/共105页式（式（2-24a、b、c）称为贝塞尔公式贝塞尔公式3.3.用有限次测量数据估计用有限次测量数据估计测量值的方差和标准
36、偏差测量值的方差和标准偏差式中：称为残差（2-24a）（2-24b）（2-24c）第33页/共105页算术平均值的标准偏差估计值：uu注意：注意：注意：注意：第34页/共105页【例例2.52.5】用温度计重复测量某个不变的温度，得用温度计重复测量某个不变的温度，得1111个测量值个测量值的序列（见下表）。求测量值的平均值及其标准偏差估计值的序列（见下表）。求测量值的平均值及其标准偏差估计值 。解：解：平均值平均值 用公式用公式 计算各测量值残差列于上表中计算各测量值残差列于上表中标准偏差的估计值：偏差的估计值：标准偏差标准偏差的估计值：第35页/共105页测量结果的置信问题问题的提出：当我们
37、知道了某被测量在一定条件下测量值的分布曲线后，希望知道尚未测得的数据x可能处于区间内的概率有多大，这里c是指定的系数；而当我们测得一个测量值x后,又希望估计被测量的数学期望M（X）可能处于x附近某确定区间 内的概率是多少。即想知道测量的可信度测量结果的置信问题。测量结果的置信问题。置信概率与置信区间对应的两种概率是相等的置信概率：置信区间包含估计值的概率称为置信概率。置信区间：估计值以多大的概率包含在某一数值区间，该数值区间就 称为置信区间。是完全等价的且与对应的两种概率是相等的对应的两种概率是相等的与对应的两种概率是相等的与对应的两种概率是相等的是完全等价的且与对应的两种概率是相等的第36页
38、/共105页服从正态分布正态分布的测量值在对称区间的置信概率的测量值在对称区间的置信概率若某测量值X服从正态分布，它的概率密度为：则测量值处于则测量值处于则测量值处于则测量值处于MM（X X）对称区间）对称区间）对称区间）对称区间内的置信概率为：则测量值处于则测量值处于则测量值处于则测量值处于MM（X X）对称区间）对称区间）对称区间）对称区间内的置信概率为：则测量值处于则测量值处于则测量值处于则测量值处于MM（X X）对称区间）对称区间）对称区间）对称区间令（2-27）令（2-27）令于是可以把积分变量换为Z,即第37页/共105页（2-28）uu根据系数根据系数根据系数根据系数c c或者说
39、根据置信区间或者说根据置信区间或者说根据置信区间或者说根据置信区间就可以从表（附录就可以从表（附录就可以从表（附录就可以从表（附录1 1）中查得相应的）中查得相应的）中查得相应的）中查得相应的置信概率uu由由由由P P4444页例页例页例页例6 6可知，对于正态分布的误差或测量值，不超过可知，对于正态分布的误差或测量值，不超过可知，对于正态分布的误差或测量值，不超过可知，对于正态分布的误差或测量值，不超过的置信概率为99.73%,因而可以认为实际测量值均处于uu由由由由P P4444页例页例页例页例6 6可知，对于正态分布的误差或测量值，不超过可知，对于正态分布的误差或测量值，不超过可知，对于
40、正态分布的误差或测量值，不超过可知，对于正态分布的误差或测量值，不超过的置信概率为99.73%,因而可以认为实际测量值均处于uu由由由由P P4444页例页例页例页例6 6可知，对于正态分布的误差或测量值，不超过可知，对于正态分布的误差或测量值，不超过可知，对于正态分布的误差或测量值，不超过可知，对于正态分布的误差或测量值，不超过uu由由由由P P4444页例页例页例页例6 6可知，对于正态分布的误差或测量值，不超过可知，对于正态分布的误差或测量值，不超过可知，对于正态分布的误差或测量值，不超过可知，对于正态分布的误差或测量值，不超过的置信概率为99.73%,因而可以认为实际测量值均处于uu由
41、由由由P P4444页例页例页例页例6 6可知，对于正态分布的误差或测量值，不超过可知，对于正态分布的误差或测量值，不超过可知，对于正态分布的误差或测量值，不超过可知，对于正态分布的误差或测量值，不超过的置信概率为99.73%,因而可以认为实际测量值均处于uu由由由由P P4444页例页例页例页例6 6可知，对于正态分布的误差或测量值，不超过可知，对于正态分布的误差或测量值，不超过可知，对于正态分布的误差或测量值，不超过可知，对于正态分布的误差或测量值，不超过的置信概率为99.73%,因而可以认为实际测量值均处于uu由由由由P P4444页例页例页例页例6 6可知，对于正态分布的误差或测量值，
42、不超过可知，对于正态分布的误差或测量值，不超过可知，对于正态分布的误差或测量值，不超过可知，对于正态分布的误差或测量值，不超过置信因子置信因子置信因子置信因子c c置信概率置信概率置信概率置信概率P P1 10.6830.6832 20.9550.9553 30.9970.997uu根据系数根据系数根据系数根据系数c c或者说根据置信区间或者说根据置信区间或者说根据置信区间或者说根据置信区间就可以从表（附录就可以从表（附录就可以从表（附录就可以从表（附录1 1）中查得相应的）中查得相应的）中查得相应的）中查得相应的置信概率uu根据系数根据系数根据系数根据系数c c或者说根据置信区间或者说根据置
43、信区间或者说根据置信区间或者说根据置信区间就可以从就可以从就可以从就可以从表（附录表（附录表（附录表（附录1 1）中查得相应的中查得相应的中查得相应的中查得相应的置信概率区间越宽，区间越宽，置信概率越大置信概率越大第38页/共105页有限次测量情况下的置信问题测量情况下的置信问题由正态分布到由正态分布到t t分布分布（2-29a）uu设随机变量设随机变量设随机变量设随机变量它的概率密度为它的概率密度为：（2-30）式中称为伽马函数；k=n-1,称为自由度uut t分布分布分布分布的图形关于的图形关于t=0t=0对称，类似于标准正态分布的图形。但它不仅对称，类似于标准正态分布的图形。但它不仅和随
44、机变量和随机变量t t有关，而且和自由度有关，而且和自由度k k有关。当有关。当n20n20以后，以后，t t分布分布分布分布趋于正趋于正态分布。正态分布是态分布。正态分布是t t分布分布的极限分布的极限分布(当当nn时，时，t t分布与正态分布分布与正态分布完全相同完全相同)第39页/共105页内的置信概率为：则则MM（X X）处于）处于附近对称区间附近对称区间uu对于确定的测量次数对于确定的测量次数对于确定的测量次数对于确定的测量次数n n，给定了置信概率就可以根据附录，给定了置信概率就可以根据附录，给定了置信概率就可以根据附录，给定了置信概率就可以根据附录找到相找到相找到相找到相应的系数
45、应的系数应的系数应的系数t ta a,即找到对应的置信区间；或者反过来。即找到对应的置信区间；或者反过来。即找到对应的置信区间；或者反过来。即找到对应的置信区间；或者反过来。uu当测量次数不同时，对于同样的置信概率，置信区间是不同的。当测量次数不同时，对于同样的置信概率，置信区间是不同的。当测量次数不同时，对于同样的置信概率，置信区间是不同的。当测量次数不同时，对于同样的置信概率，置信区间是不同的。uu对于同样的置信概率，当样本不同时，由于平均值和平均值的标准对于同样的置信概率，当样本不同时，由于平均值和平均值的标准对于同样的置信概率，当样本不同时，由于平均值和平均值的标准对于同样的置信概率，
46、当样本不同时，由于平均值和平均值的标准偏差估计值不同，得到的置信区间也不同。偏差估计值不同，得到的置信区间也不同。偏差估计值不同，得到的置信区间也不同。偏差估计值不同，得到的置信区间也不同。第40页/共105页测量误差的非正态分布在测量实践中，除正态分布外，常见的非正态分布是均匀分布。服从于均匀分布情况：仪器中的刻度盘回差；最小分辨力引起的误 差；“四舍五入”的截尾误差；当只能估计误差在某一范围内，而不 知其分布时，一般也可假定均匀分布等。均匀分布的特点：在其分布范围内，测量值或测量误差出现的概率 密度相等，其概率密度为：概率密度:数学期望:标准偏差:方差:概率密度:方差:标准偏差:第41页/
47、共105页2.2.2 2.2.2 用统计学方法剔除异常数据 大误差出现的概率很小对于误差绝对值较大的测量数据，可以列为可疑数据。根据观察分析得到的物理原因或技术上的原因决定可疑 数据的取舍。产生原因以及防止与消除的方法可疑数据产生原因随机误差造成的正常分散性；测量人员的主观原因：操作失误或错误记录；客观外界条件的原因：测量条件意外改变、受较大的电磁干扰，或测量仪器偶然失效等。是产生粗大误差的原因采取各种措施，防止产生粗大误差。第42页/共105页统计学的方法的基本思想是：给定一置信概率，确定相应的置信区间，凡超过置信区间的数据就认为是异常数据（含有粗大误差），并予以剔除。置信区间的确定：在实际
48、测量中常用算术平均值代替真值，用标准偏差估计值代替标准偏差，则测量值xi在区间以外的，就将数据xi剔除不用。2.2.统计学的方法处理可疑数据一个可疑数据是否被剔除，与我们给定的置信概率的大小或一个可疑数据是否被剔除，与我们给定的置信概率的大小或一个可疑数据是否被剔除，与我们给定的置信概率的大小或一个可疑数据是否被剔除，与我们给定的置信概率的大小或者说对应的系数者说对应的系数者说对应的系数者说对应的系数c c的大小有关，当置信概率给定得过小时，有的大小有关，当置信概率给定得过小时，有的大小有关，当置信概率给定得过小时，有的大小有关，当置信概率给定得过小时，有可能把正常测量值当成异常值剔除；当置信
49、概率给定得过大可能把正常测量值当成异常值剔除；当置信概率给定得过大可能把正常测量值当成异常值剔除；当置信概率给定得过大可能把正常测量值当成异常值剔除；当置信概率给定得过大时，又有可能异常值判别不出。时，又有可能异常值判别不出。时，又有可能异常值判别不出。时，又有可能异常值判别不出。在测量中设法提高测量的精密度，即设法减小测量值的标准偏在测量中设法提高测量的精密度，即设法减小测量值的标准偏在测量中设法提高测量的精密度，即设法减小测量值的标准偏在测量中设法提高测量的精密度，即设法减小测量值的标准偏差，将有利于对可疑数据的判别。如图差，将有利于对可疑数据的判别。如图差，将有利于对可疑数据的判别。如图
50、差，将有利于对可疑数据的判别。如图P P5353页页页页2-112-11所示：所示：所示：所示：第43页/共105页莱特准则莱特准则莱特准则莱特准则：在测量数据为正态分布且测量次数足够多：在测量数据为正态分布且测量次数足够多：在测量数据为正态分布且测量次数足够多：在测量数据为正态分布且测量次数足够多时，习惯上取时，习惯上取时，习惯上取时，习惯上取3 3倍倍倍倍作为判别异常数据的界限。作为判别异常数据的界限。作为判别异常数据的界限。作为判别异常数据的界限。莱特准则的优点：方法简单，使用方便；莱特准则的优点：方法简单，使用方便；莱特准则的优点：方法简单，使用方便；莱特准则的优点：方法简单，使用方便