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1、关于函数的极限(2)第1页，讲稿共23张，创作于星期日1函数的自变量的变化过程可分为两种情况：函数的自变量的变化过程可分为两种情况：（1）自变量自变量 无限接近有限值无限接近有限值 表示为表示为 （2）自变量自变量 的绝对值的绝对值 无限增大，无限增大，表示为表示为 在自变量的某个变化过程中，在自变量的某个变化过程中，若对应的函数值无限接近于若对应的函数值无限接近于 某个确定的常数，某个确定的常数，那么，这个确定的常数就叫做这一变化过那么，这个确定的常数就叫做这一变化过 程中函数的极限。程中函数的极限。函数极限的描述性定义。函数极限的描述性定义。一、基本理论一、基本理论一、基本理论一、基本理论
2、 xyOA。第2页，讲稿共23张，创作于星期日2函数极限的函数极限的函数极限的函数极限的-定义定义定义定义:注注注注1:1:1:1:注注注注3:3:3:3:注注注注2:2:2:2:第3页，讲稿共23张，创作于星期日3几何解释：几何解释：xyOA。f(x)局局部有界。部有界。此式表明此式表明 f(x)在在 内既有上界，内既有上界，又有下界，即又有下界，即:第4页，讲稿共23张，创作于星期日42.极限的局部保号性极限的局部保号性定理定理定理定理1:1:1:1:第5页，讲稿共23张，创作于星期日5由定理由定理1定理定理定理定理1:1:1:1:定理定理定理定理2:2:2:2:问题：问题：问题：问题：比
3、较定理比较定理1、2，注意，注意“”和和“”，为什么？，为什么？第6页，讲稿共23张，创作于星期日63.左、右极限，函数极限存在的充分必要条件左、右极限，函数极限存在的充分必要条件左、右极限：左、右极限：左、右极限：左、右极限：第7页，讲稿共23张，创作于星期日7左、右极限的左、右极限的左、右极限的左、右极限的-定义定义定义定义:左极限：左极限：左极限：左极限：右极限：右极限：右极限：右极限：注：注：注：注：定理定理3经常用于判断极限不存在的情况。经常用于判断极限不存在的情况。极限存在的充要条件：极限存在的充要条件：极限存在的充要条件：极限存在的充要条件：定理定理定理定理3 3 3 3：第8页
4、，讲稿共23张，创作于星期日84.时函数时函数 的极限的极限 函数极限函数极限函数极限函数极限 X X定义：定义：定义：定义：-描述性定义。描述性定义。第9页，讲稿共23张，创作于星期日9单边极限的定义单边极限的定义单边极限的定义单边极限的定义:第10页，讲稿共23张，创作于星期日10的的水平渐近线水平渐近线。水平渐近线水平渐近线水平渐近线水平渐近线:的图形的图形-11第11页，讲稿共23张，创作于星期日11定理定理定理定理:证证（必要性）（必要性）则则即即当当当当即即（充分性）（充分性）则则取取则只要则只要恒有恒有第12页，讲稿共23张，创作于星期日126.数列极限与函数极限之间的关系数列极
5、限与函数极限之间的关系 若若 存在，必有存在，必有 存在。存在。反之，若反之，若 不存在，不存在，一定不存在。一定不存在。数列是以正整数集为定义域的函数，即数列是以正整数集为定义域的函数，即 因此数列的极限因此数列的极限 可以看成是函数可以看成是函数 当当自变量取正整数自变量取正整数n，并趋于正无穷大时的极限。，并趋于正无穷大时的极限。（1）（2）无论是数列极限还是函数极限，若存在，必唯一。无论是数列极限还是函数极限，若存在，必唯一。（3）收敛数列的有界性是整体概念，即若收敛数列的有界性是整体概念，即若 存在，则对存在，则对 而对于函数而对于函数 存在，则只能推得函数在存在，则只能推得函数在
6、的某个的某个 邻域有界，即邻域有界，即 第13页，讲稿共23张，创作于星期日13证证 例例1 1 用定义证明用定义证明 二、例题二、例题二、例题二、例题 用极限的定义证明用极限的定义证明 函数的极限，关键函数的极限，关键 是找到是找到P3第14页，讲稿共23张，创作于星期日14难找，难找，对不等式对不等式适当放大适当放大 第15页，讲稿共23张，创作于星期日15即即取取则当则当有有注：注：注：注：用定义证明函数极限用定义证明函数极限 的步骤的步骤 取取 由不等式由不等式 经一系列地放大可得：经一系列地放大可得：（其中（其中C为常数）为常数）解不等式解不等式 得得 则当则当 时，总有时，总有 即
7、即 第16页，讲稿共23张，创作于星期日16例例3 3 证明：当证明：当 时，时，证证:对于对于 由于由于 要使要使 只要只要 即即 为保证为保证 有定义，用有定义，用 来限制。来限制。取取 则当则当 时，时，所以所以 第17页，讲稿共23张，创作于星期日171证证例例4 第18页，讲稿共23张，创作于星期日18注：注：注：注：用定义证明函数极限用定义证明函数极限 的步骤的步骤 取取 由不等式由不等式 经一系列地放大可得：经一系列地放大可得：（其中（其中C为常数）为常数）解不等式解不等式 得得 则当则当 时，总有时，总有 即即 第19页，讲稿共23张，创作于星期日19例例5 讨论函数讨论函数
8、当当时，函数时，函数的极限的情况。的极限的情况。因为：因为：因为：因为：1-1而当而当从从的右边逼近于的右边逼近于时，函数值在时，函数值在-1与与1之间振荡，即之间振荡，即不存在。不存在。由定理由定理3知：知：第20页，讲稿共23张，创作于星期日20解：解：例例6（记录）记录）例例7 证明证明 不存在。不存在。证证 设设 取取 及及 当当 时，时，而而 不存在。不存在。（记录）记录）第21页，讲稿共23张，创作于星期日21注：注：注：注：极限不存在的几种典型例子极限不存在的几种典型例子 趋于趋于 如：如：振荡，如：振荡，如：左、右极限不相等，左、右极限不相等，单侧极限不相等，如：单侧极限不相等，如：所以，所以，不存在。不存在。所以，所以，不存在。不存在。第22页，讲稿共23张，创作于星期日22感感谢谢大大家家观观看看4/9/2023第23页，讲稿共23张，创作于星期日