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1、运输问题的一般描述设某种物资有设某种物资有m个产地个产地A1,A2,Am，和和n个销地个销地B1,B2,Bn,其中其中Ai的产量的产量为为ai,Bjai,Bj的销量为的销量为bjbj，产地产地Ai运往销地运往销地Bj的单位运价的单位运价Cij,i=1,2,m;j=1,2,n.求尽可能满足销地需求且总费用最小的求尽可能满足销地需求且总费用最小的运输方案。运输方案。第1页/共64页运输问题的数学模型可以分以下3种情况讨论：1.产销平衡问题2.销大于产问题产大于销问题解：设产地Ai运往销地Bj的运量为第2页/共64页1.1.产销平衡问题的数学模型产销平衡问题的数学模型产销平衡时，各个产地的物资总和正
2、好满足所有销地的需求，运输问题的数学模型为第3页/共64页第4页/共64页2.2.销大于产问题的数学模销大于产问题的数学模型型销大于产时，各个销地的需求不一定能够得到满足，运输问题的数学模型为第5页/共64页第6页/共64页2.2.产大于销问题的数学模产大于销问题的数学模型型销大于产时，各个销地的需求一定能够得到满足，但各个产地的物资不一定全部运走。运输问题的数学模型为第7页/共64页第8页/共64页运输问题本质是一个线性规划问题运输问题变量比较多，系数矩阵为0-1矩阵，其中大部分元素为零。计算运输问题我们有比单纯形法更好的专门求解运输问题的算法。第9页/共64页产销平衡运输问题的求解产销平衡
3、运输问题的求解定理 产销平衡运输问题一定存在最优解。第10页/共64页产销平衡运输问题的Lingo模型MODEL:sets:row/1.m/:a;arrange/1.n/:b;link(row,arrange):c,x;endsetsdata:a=a(1)a(2)a(m);b=b(1)b(2)b(n);第11页/共64页C=c(1,1)c(1,2)c(1,n),c(2,1)c(2,2)c(2,n),c(m,1)c(m,2)c(m,n);enddataOBJmin=sum(link(i,j):c(i,j)*x(i,j);for(row(i):sum(arrange(j):x(i,j)=a(i);
4、);for(arrange(j):sum(row(i):x(i,j)=b(j););for(link(i,j):x(i,j)=0;);END第12页/共64页产销不平衡运输问题也有类似的Lingo模型第13页/共64页产销平衡运输问题的初始解产销平衡运输问题的初始解1.西北角法在运价表的西北角选择运量和销量中的较小数作为运量（初始基变量），每确定一个初始基变量后，划去需求变成零的剩余列元素或划去运量变成零的剩余行元素。第14页/共64页B1B2B3B4产量A13 2 9 10 7 9,6A2 1 3 4 2 5A3 8 4 2 5 7销量 3,0 8 4 6第15页/共64页B1B2B3B4产
5、量A13 26 9 10 7 9,6,0A2 1 3 4 2 5A3 8 4 2 5 7销量 3,0 8,2 4 6第16页/共64页B1B2B3B4产量A13 26 9 10 7 9,6,0A2 12 3 4 2 5,3A3 8 4 2 5 7销量 3,0 8,2,0 4 6第17页/共64页B1B2B3B4产量A13 26 9 10 7 9,6,0A2 12 3 3 4 2 5,3,0A3 8 4 2 5 7销量 3,0 8,2,0 4,1 6第18页/共64页B1B2B3B4产量A13 26 9 10 7 9,6,0A2 12 3 3 4 2 5,3,0A3 8 41 2 5 7,6销量
6、 3,0 8,2,0 4,1,0 6第19页/共64页填上x33=1后,自然少去一列(第3列),这时不要再去掉第3行。注意到每填一个数据恰好减少一行或一列。第20页/共64页B1B2B3B4产量A13 26 9 10 7 9,6,0A2 12 3 3 4 2 5,3,0A3 8 41 26 5 7,6销量 3,0 8,2,0 4,1,0 6第21页/共64页总共填写m+n个数据填上去的m+n个数据为基变量第22页/共64页产销平衡运输问题的初始解产销平衡运输问题的初始解2.最小元素法选择运价表中最小运价，运量和销量中的较小数作为运量（初始基变量），每确定一个初始基变量后，划去需求变成零的剩余列
7、元素或划去运量变成零的剩余行元素。第23页/共64页B1B2B3B4产量A1 2 9 10 7 9A23 1 3 4 2 5，2A3 8 4 2 5 7销量 3,0 8 4 6第24页/共64页B1B2B3B4产量A1 2 9 10 7 9A23 1 3 4 2 5，2A3 8 44 2 5 7，3销量 3,0 8 4，0 6第25页/共64页B1B2B3B4产量A1 2 9 10 7 9A23 1 3 42 2 5,2,0A3 8 44 2 5 7，3销量 3,0 8 4，0 6,4第26页/共64页B1B2B3B4产量A1 2 9 10 7 9A23 1 3 42 2 5,2,0A3 83
8、 44 2 5 7,3,0销量 3,0 8,5 4，0 6,4第27页/共64页B1B2B3B4产量A1 2 9 104 7 9,5A23 1 3 42 2 5,2,0A3 83 44 2 5 7,3,0销量 3,0 8,5 4，0 6,4,0第28页/共64页填上x14=4后,第4列自然被去掉记住每填一个数据减少一行或一列。第29页/共64页B1B2B3B4产量A1 25 9 104 7 9,5A23 1 3 42 2 5,2,0A3 83 44 2 5 7,3,0销量 3,0 8,5 4，0 6,4,0第30页/共64页3.3.位势法求检验数对每个基变量xij，计算ui和vj，使 ui+v
9、j=cij 其中u1=0u1=0第31页/共64页B1B2V2=9B3B4V4=7产量A1u1=0 25 9 104 7 9,5A23 1 3 42 2 5,2,0A3 83 44 2 5 7,3,0销量 3,0 8,5 4，0 6,4,0第32页/共64页B1B2V2=9B3B4V4=7产量A1u1=0 25 9 104 7 9,5A2u2=-53 1 3 42 2 5,2,0A3u3=-5 83 44 2 5 7,3,0销量 3,0 8,5 4，0 6,4,0第33页/共64页B1v1=6B2v2=9B3v3=7B4V4=7产量A1u1=0 25 9 104 7 9,5A2u2=-53 1
10、 3 42 2 5,2,0A3u3=-5 83 44 2 5 7,3,0销量 3,0 8,5 4，0 6,4,0第34页/共64页再计算非基变量检验数ij=cij-（ui+vj）第35页/共64页B1v1=6B2v2=9B3v3=7B4V4=7产量A1u1=0-4 25 93 104 7 9,5A2u2=-53 1-1 3 2 42 2 5,2,0A3u3=-57 83 44 23 5 7,3,0销量 3,0 8,5 4，0 6,4,0第36页/共64页11=-4 x1111=-4 x11每增加一个单位，目标函数可以减少4 4个单位。目标可以减少，说明当前解不是最优解第37页/共64页闭回路法
11、调整选x11进基，找到闭回路 x11 x14 4-x21 x24 2+3-第38页/共64页闭回路法调整为了保证所有xij非负，x11最多增加3。取x11=3 x11+3 x14 4-3 x21 x24 2+3 3-3第39页/共64页B1B2B3B4产量A1u1=03 25 93 101 7 9,5A2 1-1 3 2 45 2 5,2,0A37 83 44 23 5 7,3,0销量 3,0 8,5 4，0 6,4,0第40页/共64页重新计算检验数第41页/共64页B1v1=2B2v2=9B3B4v4=7产量A1u1=03 25 93 101 7 9,5A2u2=-5 1-1 3 2 45
12、 2 5,2,0A3u3=-57 83 44 23 5 7,3,0销量 3,0 8,5 4，0 6,4,0第42页/共64页B1v1=2B2v2=9B3V3=7B4v4=7产量A1u1=03 25 93 101 7 9,5A2u2=-54 1-1 3 2 45 2 5,2,0A3u3=-511 83 44 23 5 7,3,0销量 3,0 8,5 4，0 6,4,0第43页/共64页22=-1 x2222=-1 x22每增加一个单位，目标函数可以减少1 1个单位。目标可以减少，说明当前解不是最优解第44页/共64页闭回路法调整选x22进基，找到闭回路 x12 5-x14 1+x22+x24 5
13、-第45页/共64页X22最多增加5 x12 5-5 x14 1+5 x22+5 x24 5-5 第46页/共64页X22进基，x12和x24经过调整同时变成零。但是要注意只有一个变量出基。例如：例如：令x12x12出基得调整后的运输表为：第47页/共64页B1B2B3B4产量A1u1=03 2 93 106 7 9,5A24 15 3 2 40 2 5,2,0A311 83 44 23 5 7,3,0销量 3,0 8,5 4，0 6,4,0第48页/共64页重新计算检验数第49页/共64页B1v1=2B2B3B4v4=7产量A1u1=03 2 93 106 7 9,5A2u2=-54 15
14、3 2 40 2 5,2,0A311 83 44 23 5 7,3,0销量 3,0 8,5 4，0 6,4,0第50页/共64页B1v1=2B2v2=8B3B4v4=7产量A1u1=03 2 93 106 7 9,5A2u2=-54 15 3 2 40 2 5,2,0A3u3=-411 83 44 23 5 7,3,0销量 3,0 8,5 4，0 6,4,0第51页/共64页B1v1=2B2v2=8B3V3=6B4v4=7产量A1u1=03 2 1 94 106 7 9,5A2u2=-54 15 3 3 40 2 5,2,0A3u3=-410 83 44 22 5 7,3,0销量 3,0 8,
15、5 4，0 6,4,0第52页/共64页所有非基变量检验数均非所有非基变量检验数均非负，当前解为负，当前解为最优解最优解最优解为：X11*=3X11*=3，x14*=6x14*=6，x22*=5x22*=5，x32*=3x32*=3，x33*=4x33*=4，其余xij*=0 xij*=0最优目标值为Z*=3Z*=32+67+53+34+42=832+67+53+34+42=83第53页/共64页运输问题数学模型的应用实例设某制造企业根据合同要求，从当年起需连续三年在年末提供3套型号规格相同的大型设备，已知该厂的生产能力及生产成本如下表所示：第54页/共64页生产能力与生产成本表年度 正常生产
16、可 加班生产可 正常生产 完成设备数 完成设备数 成本(万)第一年 2 3 500第二年 4 2 600 第三年 1 3 550 设加班生产情况下每套设备成本比正常生产时高70万元,每套设备不及时交货积压一年的维护费用为40万元。该厂现库存有2套设备，希望第三年末完成合同要求后还能储存1台设备，问如何安排生产，才能使总成本最低。第55页/共64页解：设xj为初始存货用于第j年交货的设备数 yij为第i年正常生产用于第j年交货的设备数，zij为第i年加班生产用于第j年交货的设备数，cj为初始库存设备第j年交货时每台设备维护费，aij为第i年正常生产到第j年交货的每台设备成本费，bij为第i年加班
17、生产到第j年交货的每台设备成本费。上述生产计划问题的数学模型为：第56页/共64页第57页/共64页记A为正常生产时的费用矩阵第58页/共64页B为加班生产时的费用矩阵C=（0，40，80）第59页/共64页生产计划问题的Lingo模型为MODEL:sets:row/1,2,3/;arrange/1,2,3/:c,x;link(row,arrange):a,b,y,z;Endsetsdata:c=0,40,80;a=500,540,580,0,600,640,0,0,550;b=570,610,650,0,670,710,0,0,620;enddata第60页/共64页OBJmin=sum(a
18、rrange(j):c(j)*x(j)+sum(link(i,j):a(i,j)*y(i,j)+sum(link(i,j):b(i,j)*z(i,j);sum(arrange(j):x(j)=2;sum(arrange(j):y(1,j)=2;sum(arrange(j):z(1,j)=3;y(2,2)+y(2,3)=4;z(2,2)+z(2,3)=2;y(3,3)=1;z(3,3)=0;);for(link(i,j):y(i,j)=0;);for(link(i,j):z(i,j)=0;);END运行结果：x1=2,y11=y12=1,y22=2,y33=1,z33=3,其余其余变量均等于变量均等于0，最低总成本，最低总成本z=4650万元。万元。第62页/共64页谢谢 谢谢 !Thank you!沈沈 灏灏杭州电子科技大学理学院信息与计算科学教研室杭州电子科技大学理学院信息与计算科学教研室第63页/共64页感谢您的观看！第64页/共64页