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1、&1.原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念&2.积分计算公式积分计算公式3.4 原函数与不定积分第1页/共30页 1.原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念 由2基本定理的推论知：设f(z)在单连通区域B内解析，则对B中任意曲线C,积分c fdz与路径无关，只与起点和终点有关。当起点固定在z0,终点z在B内变动,c f(z)dz在B内就定义了一个变上限的单值函数，记作定理 设f(z)在单连通区域B内解析，则F(z)在B内解析，且第2页/共30页定义 若函数 (z)在区域B内的导数等于f(z)，即 ,称 (z)为f(z)在B内的原函数.上面定理表明 是f(z)的一个原函数。设H(z
2、)与G(z)是f(z)的任何两个原函数，这表明：f(z)的任何两个原函数相差一个常数。(见第二章见第二章22例例3)3)第3页/共30页2.积分计算公式积分计算公式定义 设F(z)是f(z)的一个原函数，称F(z)+c(c为任意常数)为f(z)的不定积分，记作定理 设f(z)在单连通区域B内解析，F(z)是f(z)的一个原函数，则A 此公式类似于微积分学中的牛顿莱布尼兹公式此公式类似于微积分学中的牛顿莱布尼兹公式.A 但是要求函数是但是要求函数是解析解析的的,比以前的比以前的连续连续条件要强条件要强第4页/共30页例1 计算下列积分：解1)第5页/共30页解2)第6页/共30页例3 计算下列积
3、分：第7页/共30页小结小结 求积分的方法求积分的方法第8页/共30页 利用Cauchy-Goursat基本定理在多连通域上的推广,即复合闭路定理,导出一个用边界值表示解析函数内部值的积分公式,该公式不仅给出了解析函数的一个积分表达式，从而成为研究解析函数的有力工具，而且提供了计算某些复变函数沿闭路积分的方法.内内 容容 简简 介介3.5 Cauchy积分公式第9页/共30页分析DCz0C1第10页/共30页DCz0C1 猜想积分第11页/共30页定理(Cauchy 积分公式)证明第12页/共30页第13页/共30页A 第14页/共30页A 一个解析函数在圆心处的值等于它在一个解析函数在圆心处
4、的值等于它在圆周上的平均值圆周上的平均值.第15页/共30页例1解第16页/共30页例2解CC1C21xyo第17页/共30页例3解 第18页/共30页内内 容容 简简 介介 本节研究解析函数的无穷次可导性，并导出高阶导数计算公式。研究表明：一个解析函数不仅有一阶导数，而且有各阶导数，它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示。这一点与实变函数有本质区别。6 解析函数的高阶导数第19页/共30页形式上，以下将对这些公式的正确性加以证明。第20页/共30页定理证明 用数学归纳法和导数定义。第21页/共30页令为I第22页/共30页第23页/共30页依次类推，用数学归纳法可得第24页/共30页一个解析函数的导数仍为解析函数。第25页/共30页例1解第26页/共30页第27页/共30页第28页/共30页作业P100 7(3)(5)(7)(9)8(1)(2)9(3)(5)第29页/共30页感谢您的观看！第30页/共30页