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1、跳转到第一页第第6章章 一阶动态电一阶动态电路分析路分析跳转到第一页学习要点学习要点n n掌握用三要素法分析一阶动态电路的方法掌握用三要素法分析一阶动态电路的方法n n理解电路的暂态和稳态以及时间常数的物理解电路的暂态和稳态以及时间常数的物理意义理意义n n了解了解用经典法分析一阶动态电路的方法用经典法分析一阶动态电路的方法n n了了解解一一阶阶电电路路的的零零输输入入响响应应、零零状状态态响响应应和全响应的概念和全响应的概念n n了了解解微微分分电电路路和和积积分分电电路路的的构构成成及及其其必必须须具备的条件具备的条件第第6章章 一阶动态电路分析一阶动态电路分析跳转到第一页第第6章章 一阶
2、动态电路分析一阶动态电路分析n n6.1 换路定理换路定理n n6.2 一阶动态电路分析方法一阶动态电路分析方法n n6.3 零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应n n6.4 微分电路和积分电路微分电路和积分电路跳转到第一页6.1 换路定理换路定理过渡过程过渡过程过渡过程过渡过程：电路从一个稳定状态过渡到另一个稳定状态，电：电路从一个稳定状态过渡到另一个稳定状态，电压、电流等物理量经历一个随时间变化的过程。压、电流等物理量经历一个随时间变化的过程。含有动态元件电容含有动态元件电容C和电感和电感L的电路称为的电路称为动态电路动态电路动态电路动态电路。动态电路的。动态电路的伏安关系伏安关系
3、是用微分或积分方程表示的。通常用是用微分或积分方程表示的。通常用微分形式微分形式微分形式微分形式。一阶电路一阶电路一阶电路一阶电路：用一阶微分方程来描述的电路。一阶电路中只含有：用一阶微分方程来描述的电路。一阶电路中只含有一个一个 动态元件。本章着重于无源和直流一阶电路。动态元件。本章着重于无源和直流一阶电路。产生过渡过程的条件产生过渡过程的条件产生过渡过程的条件产生过渡过程的条件：电路结构或参数的突然改变。：电路结构或参数的突然改变。产生过渡过程的原因产生过渡过程的原因产生过渡过程的原因产生过渡过程的原因：能量不能跃变，电感及电容能量的存：能量不能跃变，电感及电容能量的存储和释放需要时间，从
4、而引起过渡过程。储和释放需要时间，从而引起过渡过程。6.1.1 电路产生过渡过程的原因电路产生过渡过程的原因跳转到第一页换路换路：电路工作条件发生变化，如电源的接通：电路工作条件发生变化，如电源的接通或切断，电路连接方法或参数值的突然变化等或切断，电路连接方法或参数值的突然变化等称为换路。称为换路。换路定理换路定理：电容上的电压：电容上的电压uC及电感中的电流及电感中的电流iL在换路前后瞬间的值是相等的，即：在换路前后瞬间的值是相等的，即：必须注意必须注意：只有只有uC、iL受换路定理的约束而保持受换路定理的约束而保持不变，电路中其他电压、电流都可能发生跃变。不变，电路中其他电压、电流都可能发
5、生跃变。6.1.2 换路定理换路定理跳转到第一页例：图示电路原处于稳态，例：图示电路原处于稳态，t=0时开关时开关S闭合，闭合，US=10V，R1=10，R2=5，求初始值求初始值uC(0+)、i1(0+)、i2(0+)、iC(0+)。解：由于在直流稳态电路中，电容解：由于在直流稳态电路中，电容C相当于开路，因此相当于开路，因此t=0-时时电容两端电压分别为：电容两端电压分别为：在开关在开关S闭合后瞬间，根据换路定理有：闭合后瞬间，根据换路定理有：由此可画出开关由此可画出开关S闭合后瞬间即时的等闭合后瞬间即时的等效电路，如图所示。由图得：效电路，如图所示。由图得：跳转到第一页例：图示电路原处于
6、稳态，例：图示电路原处于稳态，t=0时开关时开关S闭合，求初始值闭合，求初始值uC(0+)、iC(0+)和和u(0+)。解：由于在直流稳态电路中，电感解：由于在直流稳态电路中，电感L相当于短路、电容相当于短路、电容C相当相当于开路，因此于开路，因此t=0-时电感支路电流和电容两端电压分别为：时电感支路电流和电容两端电压分别为：在开关在开关S闭合后瞬间，根据换路定理有：闭合后瞬间，根据换路定理有：跳转到第一页由此可画出开关由此可画出开关S闭合后瞬间即时的等效电路，如图所示。闭合后瞬间即时的等效电路，如图所示。由图得：由图得：u(0+)可用节点电压法由可用节点电压法由t=0+时的电路求出，为：时的
7、电路求出，为：跳转到第一页6.2 一阶动态电路的分析方法一阶动态电路的分析方法任何一个复杂的一阶电路，总可以用戴微南定理或诺顿定理任何一个复杂的一阶电路，总可以用戴微南定理或诺顿定理将其等效为一个简单的将其等效为一个简单的RC电路或电路或RL电路。电路。因此，对一阶电路的分析，因此，对一阶电路的分析，实际上可归结为对简单的实际上可归结为对简单的RC电路和电路和RL电路的求解。一阶电路的求解。一阶动态电路的分析方法有经典动态电路的分析方法有经典法和三要素法两种。法和三要素法两种。跳转到第一页1RC电路分析电路分析图示电路，图示电路，t=0时开关时开关S闭合。根据闭合。根据KVL，得回路电压方程为
8、：得回路电压方程为：从而得微分方程：从而得微分方程：而而:6.2.1 经典分析法经典分析法跳转到第一页解微分方程，得：解微分方程，得：只存在于暂态过程中，只存在于暂态过程中，t时时uC0，称为称为暂态分量暂态分量暂态分量暂态分量。其中其中uC=US为为t时时uC的值，称为的值，称为稳态分量稳态分量稳态分量稳态分量。=RC称为称为时间常数，决定过渡过程的快慢时间常数，决定过渡过程的快慢时间常数，决定过渡过程的快慢时间常数，决定过渡过程的快慢。波波形形图图：跳转到第一页电路中的电流为：电路中的电流为：电阻上的电压为：电阻上的电压为：iC与与uR的波形的波形跳转到第一页2RL电路分析电路分析图示电路
9、，图示电路，t=0时开关时开关S闭合。根据闭合。根据KVL，得回路电压方程为：得回路电压方程为：因为：因为：从而得微分方程：从而得微分方程：解之得：解之得：稳态分量稳态分量暂态分量暂态分量式中式中=L/R为时为时间常数间常数跳转到第一页经典法求解一阶电路的步骤：经典法求解一阶电路的步骤：（1）利利用用基基尔尔霍霍夫夫定定律律和和元元件件的的伏伏安安关关系系，根据换路后的电路列出微分方程；根据换路后的电路列出微分方程；（2）求微分方程的特解，即稳态分量；）求微分方程的特解，即稳态分量；（3）求微分方程的补函数，即暂态分量；）求微分方程的补函数，即暂态分量；（4）将将稳稳态态分分量量与与暂暂态态分
10、分量量相相加加，即即得得微微分方程的全解；分方程的全解；（5）按按照照换换路路定定理理求求出出暂暂态态过过程程的的初初始始值值，从而定出积分常数。从而定出积分常数。跳转到第一页例：图例：图(a)所示电路原处于稳态，所示电路原处于稳态，t=0时开关时开关S闭合，求开关闭闭合，求开关闭合后的电容电压合后的电容电压uC和通过和通过3电阻的电流电阻的电流i。解：用戴微南定理将图解：用戴微南定理将图(a)所示开关所示开关闭合后的电路等效为图闭合后的电路等效为图(b)，图中：图中：对图对图(b)列微分方程：列微分方程：解微分方程：解微分方程：跳转到第一页由图由图(a)求求uC的初始值为：的初始值为：积分常
11、数为：积分常数为：所以，电容电压为：所以，电容电压为：通过通过3电阻的电流为：电阻的电流为：跳转到第一页6.2.2 三要素分析法三要素分析法求解一阶电路任一支路电流或电压的三要素公式为：求解一阶电路任一支路电流或电压的三要素公式为：式中，式中，f(0+)为待求电流或电压的初始值，为待求电流或电压的初始值，f()为待求电流为待求电流或电压的稳态值，或电压的稳态值，为电路的时间常数。为电路的时间常数。对于对于RC电路，时间常数为：电路，时间常数为：对于对于RL电路，时间常数为：电路，时间常数为：跳转到第一页例例：图图示示电电路路，IS=10mA，R1=20k，R2=5k，C=100F。开开关关S闭
12、闭合合之之前前电电路路已已处处于于稳稳态态，在在t=0时时开开关关S闭闭合合。试试用用三要素法求开关闭合后的三要素法求开关闭合后的uC。解解：（1）求求初初始始值值。因因为为开开关关S闭闭合合之之前前电电路路已已处处于于稳稳态态，故在瞬间电容故在瞬间电容C可看作开路，因此：可看作开路，因此：（2）求稳态值。当）求稳态值。当t=时，电时，电容容C同样可看作开路，因此：同样可看作开路，因此：跳转到第一页（3）求时间常数）求时间常数。将电容支路断开，恒流源开路，得将电容支路断开，恒流源开路，得：时间常数为：时间常数为：（4）求）求uC。利用三要素公式，得：利用三要素公式，得：跳转到第一页例例：图图示
13、示电电路路，US1=9V，US2=6V，R1=6，R2=3，L=1H。开开关关S闭闭合合之之前前电电路路已已处处于于稳稳态态，在在t=0时时开开关关S闭闭合合。试试用三要素法求开关闭合后的用三要素法求开关闭合后的iL和和u2。解解：（1）求求初初始始值值。因因为为开开关关S闭闭合合之之前前电电路路已已处处于于稳稳态态，故在瞬间电感故在瞬间电感L可看作短路，因此：可看作短路，因此：（2）求稳态值。当）求稳态值。当t=时，电时，电感感L同样可看作短路，因此：同样可看作短路，因此：跳转到第一页（3）求时间常数）求时间常数。将电感支路断开，恒压源短路，得将电感支路断开，恒压源短路，得：时间常数为：时间
14、常数为：（4）求）求iL和和u2。利用三要素公式，得：利用三要素公式，得：跳转到第一页6.3 零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应6.3.1 一阶电路响应的分解一阶电路响应的分解根据电路的工作状态，全响应可分解为稳态分量和暂态分量，根据电路的工作状态，全响应可分解为稳态分量和暂态分量，即：即：全响应全响应=稳态分量稳态分量+暂态分量暂态分量根据激励与响应的因果关系，全响应可分解为零输入响应和零根据激励与响应的因果关系，全响应可分解为零输入响应和零状态响应，即：状态响应，即：全响应全响应=零输入响应零输入响应+零状态响应零状态响应零输入响应零输入响应是输入为零时，由初始状态产生的响应，仅
15、与初是输入为零时，由初始状态产生的响应，仅与初始状态有关，而与激励无关。始状态有关，而与激励无关。零状态响应零状态响应是初始状态为零时，是初始状态为零时，由激励产生的响应，仅与激励有关，而与初始状态无关。由激励产生的响应，仅与激励有关，而与初始状态无关。跳转到第一页将一阶将一阶RC电路中电容电压电路中电容电压uC随时间变化的规律改写为：随时间变化的规律改写为：零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应将一阶将一阶RL电路中电感电流电路中电感电流iL随时间变化的规律改写为：随时间变化的规律改写为：零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应跳转到第一页例例：图图示示电电路路有有两两个个开开关关S1和和
16、S2，t0时时S1闭闭合合，S2打打开开，电电路路处处于于稳稳态态。t=0时时S1打打开开，S2闭闭合合。已已知知IS=2.5A，US=12V，R1=2，R2=3，R3=6，C=1F。求求换换路路后后的的电电容容电电压压uC，并并指指出出其其稳稳态态分分量量、暂暂态态分分量量、零零输输入入响响应应、零零状状态态响响应应，画出波形图。画出波形图。解：（解：（1）全响应）全响应=稳态分量稳态分量+暂态分量暂态分量稳态分量稳态分量初始值初始值跳转到第一页时间常数时间常数暂态分量暂态分量全响应全响应（2）全响应）全响应=零输入响应零输入响应+零状态响应零状态响应零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应
17、全响应全响应跳转到第一页6.3.2 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应1RC电路的零输入响应电路的零输入响应图示电路，换路前开关图示电路，换路前开关S置于位置置于位置1，电容上已充有电压。，电容上已充有电压。t=0时开关时开关S从位置从位置1拨到位置拨到位置2，使，使RC电路脱离电源。根据换路电路脱离电源。根据换路定理，电容电压不能突变。于是，电容电压由初始值开始，定理，电容电压不能突变。于是，电容电压由初始值开始，通过电阻通过电阻R放电，在电路中产生放电电流放电，在电路中产生放电电流iC。随着时间增长，随着时间增长，电容电压电容电压uC和放电电流和放电电流iC将逐渐减小，最后趋近于零。
18、这样，将逐渐减小，最后趋近于零。这样，电容存储的能量全部被电阻所消耗。可见电路换路后的响应电容存储的能量全部被电阻所消耗。可见电路换路后的响应仅由电容的初始状态所引起，故为零输入响应。仅由电容的初始状态所引起，故为零输入响应。由初始值由初始值uC(0+)=U0，稳态值稳态值uC()=0，时间常数时间常数=RC，运用三要素法得电容电压：运用三要素法得电容电压：跳转到第一页放电电流放电电流放电过程的快慢是由时间常数放电过程的快慢是由时间常数决定。决定。越大，在电容电压的初始值越大，在电容电压的初始值U0一定一定的情况下，的情况下，C越大，电容存储的电越大，电容存储的电荷越多，放电所需的时间越长；而
19、荷越多，放电所需的时间越长；而R越大，则放电电流就越小，放电越大，则放电电流就越小，放电所需的时间也就越长。相反，所需的时间也就越长。相反，越小，越小，电容放电越快，放电过程所需的时电容放电越快，放电过程所需的时间就越短。间就越短。从理论上讲，需要经历无限长的时间，电容电压从理论上讲，需要经历无限长的时间，电容电压uC才衰减到零，才衰减到零，电路到达稳态。但实际上，电路到达稳态。但实际上，uC开始时衰减得较快，随着时间的开始时衰减得较快，随着时间的增加，衰减得越来越慢。经过增加，衰减得越来越慢。经过t=(35)的时间，的时间，uC已经衰减到可已经衰减到可以忽略不计的程度。这时，可以认为暂态过程
20、已经基本结束，以忽略不计的程度。这时，可以认为暂态过程已经基本结束，电路到达稳定状态。电路到达稳定状态。跳转到第一页2RL电路的零输入响应电路的零输入响应图示电路，换路前开关图示电路，换路前开关S置于位置置于位置1，电路已处于稳态，电感，电路已处于稳态，电感中已有电流。在中已有电流。在t=0时，开关时，开关S从位置从位置1拨到位置拨到位置2，使，使RL电路电路脱离电源。根据换路定理，电感电流不能突变。于是，电感脱离电源。根据换路定理，电感电流不能突变。于是，电感由初始储能开始，通过电阻由初始储能开始，通过电阻R释放能量。随着时间的增长，电释放能量。随着时间的增长，电感电流感电流iL将逐渐减小，
21、最后趋近于零。这样，电感存储的能量将逐渐减小，最后趋近于零。这样，电感存储的能量全部被电阻所消耗。可见电路换路后的响应仅由电感的初始全部被电阻所消耗。可见电路换路后的响应仅由电感的初始状态所引起，故为零输入响应。状态所引起，故为零输入响应。由初始值由初始值iL(0+)=I0，稳态值稳态值iL()=0，时间常数时间常数=L/R，运用三要素法得电感电流：运用三要素法得电感电流：跳转到第一页电感两端的电压电感两端的电压RL电路暂态过程的快慢也是电路暂态过程的快慢也是由时间常数由时间常数来决定的。来决定的。越越大，暂态过程所需的时间越大，暂态过程所需的时间越长。相反，长。相反，越小，暂态过越小，暂态过
22、程所需的时间就越短。且经程所需的时间就越短。且经过过t=(35)的时间，的时间，iL已经衰已经衰减到可以忽略不计的程度。减到可以忽略不计的程度。这时，可以认为暂态过程已这时，可以认为暂态过程已经基本结束，电路到达稳定经基本结束，电路到达稳定状态。状态。跳转到第一页6.3.3 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应1RC电路的零状态响应电路的零状态响应图示电路，换路前开关图示电路，换路前开关S置于位置置于位置1，电路已处于稳态，电容，电路已处于稳态，电容没有初始储能。没有初始储能。t=0时开关时开关S从位置从位置1拨到位置拨到位置2，RC电路接通电路接通电压源电压源US。根据换路定理，电容电压
23、不能突变。于是根据换路定理，电容电压不能突变。于是US通过通过R对对C充电，产生充电电流充电，产生充电电流iC。随着时间增长，电容电压随着时间增长，电容电压uC逐逐渐升高，充电电流渐升高，充电电流iC逐渐减小。最后电路到达稳态时，电容逐渐减小。最后电路到达稳态时，电容电压等于电压等于US，充电电流等于零。可见电路换路后的初始储能充电电流等于零。可见电路换路后的初始储能为零，响应仅由外加电源所引起，故为零状态响应。为零，响应仅由外加电源所引起，故为零状态响应。由初始值由初始值uC(0+)=0，稳态值稳态值uC()=US，时间常数时间常数=RC，运用三要素法得电容电压：运用三要素法得电容电压：跳转
24、到第一页充电电流充电电流RC电路充电过程的快慢也是由电路充电过程的快慢也是由时间常数时间常数来决定的，来决定的，越大，越大，电容充电越慢，过渡过程所需电容充电越慢，过渡过程所需的时间越长；相反，的时间越长；相反，越小，电越小，电容充电越快，过渡过程所需的容充电越快，过渡过程所需的时间越短。同样，可以根据实时间越短。同样，可以根据实际需要来调整电路中的元件参际需要来调整电路中的元件参数或电路结构，以改变时间常数或电路结构，以改变时间常数的大小。数的大小。跳转到第一页2RL电路的零状态响应电路的零状态响应图示电路，换路前开关图示电路，换路前开关S置于位置置于位置1，电路已处于稳态，电感，电路已处于
25、稳态，电感没有初始储能。没有初始储能。t=0时开关时开关S从位置从位置1拨到位置拨到位置2，RL电路接通电路接通电压源电压源US。根据换路定理，电感电流不能突变。于是根据换路定理，电感电流不能突变。于是US通过通过R对对L供电，产生电流供电，产生电流iL。随着时间增长，电感电流随着时间增长，电感电流iL逐渐增逐渐增大，最后电路到达稳态时，电感电流等于大，最后电路到达稳态时，电感电流等于US/R。可见电路换。可见电路换路后的初始储能为零，响应仅由外加电源所引起，故为零状路后的初始储能为零，响应仅由外加电源所引起，故为零状态响应。态响应。由初始值由初始值iL(0+)=0，稳态值稳态值iL()=US
26、/R，时间常数时间常数=L/R，运用三要素法得电运用三要素法得电感电流：感电流：跳转到第一页电感两端的电压电感两端的电压RL电路暂态过程的快慢也是电路暂态过程的快慢也是由时间常数由时间常数来决定的。来决定的。越越大，暂态过程所需的时间越大，暂态过程所需的时间越长。相反，长。相反，越小，暂态过越小，暂态过程所需的时间就越短。且经程所需的时间就越短。且经过过t=(35)的时间，的时间，iL已经衰已经衰减到可以忽略不计的程度。减到可以忽略不计的程度。这时，可以认为暂态过程已这时，可以认为暂态过程已经基本结束，电路到达稳定经基本结束，电路到达稳定状态。状态。跳转到第一页6.4 微分电路与积分电路微分电路与积分电路6.4.1 微分电路微分电路条件：条件：(1)时间常数时间常数tw；(2)输出电压从电容两端取出。输出电压从电容两端取出。