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1、5.9 简单的微分方程 含有函数的导数的方程称为微分方程。如果导数是一元函数的导数，则称为常微分方程。微分方程的阶数：微分方程中所含未知函数的导数的最高阶数。微分方程的次数：微分方程中所含有的各项中未知函数及其各阶导数的次数之和的最大值。一次微分方程称为线性微分方程。由微分方程求原函数称为解微分方程。求出的原函数称为微分方程的解。含有任意常数的微分方程的解称为通解，不含有任意常数的微分方程的解称为特解。第1页/共24页一阶微分方程的解法两边积分法 形如yf(x)的微分方程可用两边积分的方法直接求出微分方程的解。例 5.44 求 经 过 点(3,10)，并 且 在 每 一 点P(x,y)处的切线
2、的斜率等于该点横坐标的平方的曲线。解：设曲线方程为yf(x)，由题意得y 初始条件为y|x=310 两边积分得 y 代入初始条件得109C，C1 故所求曲线为 第2页/共24页可分离变量的微分方程 先把y写成 的形式，如微分方程可化为g(y)dyf(x)dx，则两边积分就可求得通解为G(y)F(x)C例如：解微分方程 yy2+xy2解：原方程即 y2(1+x)可变形为 两边积分得第3页/共24页第六章 定积分6.1 定积分的概念与性质定积分的概念 y=f(x)求曲边梯形的面积在直角坐标系中，设有曲线yf(x)x=a x=b我们不妨假定f(x)0，求yf(x)、xa、xb和X轴所围成的曲边梯形的
3、面积。我们可以在a,b中任意插入n1个分点把a,b分成n个小区间xi-1,xi，其长度xixixi-1，在每一个小区间内任取一点i，用长为f(i)宽为xi的矩形面积代替小曲边梯形面积Si，则曲边梯形面积为这些矩形面积的和当n时的极限。第4页/共24页例6.1 求由曲线yx2，X轴(即直线y0)和直线x1所围成的图形的面积。分割：在0,1之间插入n-1个分点，每一段记作xi，则xi ，把梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积为Si 替代：在xi中任取一点i(例如左端点)，用矩形面积代替小曲边梯形面积Sif(i)xi=作和式：Sn 求极限:当n时，S=第5页/共24页 由此可见，求曲边梯形的面积问题可
4、以通过分割、替代、作和式、求极限四个步骤，最终归结为求和式Sn 的极限问题。定积分的概念 设函数f(x)在a,b上有定义，在a,b中任意插入n1个分点,ax1x2xnxn+1b，把a,b分成n个小区间xi-1,xi，每一段的长度记作xi，在每一个小区间内取一点i，作和式Sn ，若当n时和式Sn的极限存在，则称此极限值为f(x)在a,b上的定积分记作 ,则 其中a叫做积分下限，b叫做积分上限，a,b叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积式，x叫做积分变量。第6页/共24页说明1.曲边梯形的面积是函数yf(x)在a,b上的定积分。其中X轴上方的面积为正，X轴下方的面积为负。2.如
5、果定积分存在，那么对a,b所作的分割是任意的，每一个小区间内i的取法也是任意的，当n时，Sn的极限都相同。定理6.1 如果函数f(x)在区间a,b上连续，则f(x)在a,b上的定积分 存在。函数f(x)在a,b上的定积分 存在又称为函数f(x)在a,b上可积。第7页/共24页2.定积分的性质 定积分有下列三条主要性质：被积函数的常数因子可以提到积分号的前面，即 ，(k为常数)例如，两个函数的和(或差)在区间a,b上的定积分等于这两个函数在区间a,b上的定积分的和(或差)，即例如，第8页/共24页 如果将区间a,b分成区间a,c和c,b，即acb，那么例如，第9页/共24页6.1 牛顿莱布尼兹公
6、式 运用定积分的定义求函数的定积分是一件很困难的事，而且和求不定积分一点都拉不上关系。有没有简单一点的方法呢？定理6.2(牛顿莱布尼兹公式)如 果 函 数 f(x)在 区 间 a,b上 连 续，F(x)是f(x)在a,b上的一个原函数，那么 习惯上，我们常将F(b)F(a)记作 这样一来，定理6.2 称为微积分基本定理。有了这一定理，定积分的计算问题就转化为求原函数的问题了。第10页/共24页求定积分的一般步骤 1.用不定积分求出被积函数的一个原函数 F(x)2.用F(b)F(a)求出定积分的值。例6.3 求解：是f(x)x2 的一个原函数 注意：定积分 表示的是一个数，而不定积分 表示的是一
7、族函数。第11页/共24页例6.3 求解：是f(x)5x4ex的一个原函数 例6.4 求解：第12页/共24页例6.9 求解：f(x)第13页/共24页 推论1证明：设F(x)是f(x)的一个原函数，则 ，。所以 。而 。第14页/共24页 推论2 设f(x)在-a,a上连续，当f(x)为奇函数时,当f(x)为偶函数时,例如：第15页/共24页6.3 定积分在几何上的应用1.求平面图形的面积 当f(x)0时的情况 当f(x)0时，曲线在X轴的上方，则f(x)在a,b上的定积分 是曲线yf(x)和xa、xb、y0所围成的曲边梯形的面积。例1 求曲线yx2的下方与X轴上方在x0,1和x-1,1之间
8、的面积 解：A1 A2第16页/共24页 当f(x)0时的情况 当f(x)0时曲线在X轴的下方，令g(x)-f(x)，则g(x)|f(x)|0，则g(x)的曲线在X轴的上方，面积A0，由此可得出一个结论：曲线yf(x)和xa、xb、y0所围成的曲边梯形的面积为 。第17页/共24页 两条曲线围成的图形的面积 1.先研究两条曲线yf(x)、yg(x)与直线xa、xb围成的图形面积 当f(x)g(x)时，A 第18页/共24页图形说明：Y y=f(x)A y=g(x)X a b第19页/共24页 当xa,c时f(x)g(x)，xc,b时f(x)g(x)当xa,c时，A1 当xc,b时，A2 综合上
9、述两种情况有A第20页/共24页 2.再研究两条曲线相交的情况 设yf(x)与yg(x)相交于两点x1，x2则两条曲线所围成的图形的面积就是它们与直线xx1、xx2所围成的图形的面积 例2.求yx2与yx所围成的图形的面积 解：由 yx2 得 x10 x21 yx y10 y21 A 第21页/共24页作业P.246 7,8,9,11 P.248 6,7,8 P.263 3,4 P.287 1，2，3,5,6,16 P.290 1,2,3 第22页/共24页*u$rZnWkShPeMaJ7G4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u
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13、L9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v%s#pXlUiRfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPeMbJ7G4D1z-w
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