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1、2-3 灵敏度分析灵敏度分析例例2-12 某工厂某工厂 用甲、乙两种原用甲、乙两种原料生产料生产A、B、C、D四种产品，四种产品，每种产品的利润、现有的原料数每种产品的利润、现有的原料数及每种产品消耗原料定量如表。及每种产品消耗原料定量如表。问题问题1：怎样组织生产，才能使总利润怎样组织生产，才能使总利润 最大？最大？设生产设生产A、B、C、D产品各产品各X1，X2，X3，X4万件，数学模型为：万件，数学模型为：max S=9x1+8x2+50 x3+19x4 3x1+2x2+10 x3+4x4 18 2x3+(1/2)x4 3 x1，x2，x3，x4 0化成标准型化成标准型 max S=9x
2、1+8x2+50 x3+19x4 3x1+2x2+10 x3+4x4+x5 =18 2x3+(1/2)x4 +x6=3 x1,x2,x3,x4,x5,x6 0初始基初始基 B1=（P5，P6）第二行除以第二行除以2第一行加上第二行的（第一行加上第二行的（第一行加上第二行的（第一行加上第二行的（-10-10）B B3 3=（P P1 1，P P3 3）第一行除以）第一行除以）第一行除以）第一行除以3 3B B3 3=（P P1 1，P P3 3）B B4 4=（P P2 2，P P3 3）第一行乘以）第一行乘以）第一行乘以）第一行乘以（3/23/2）第一行乘以（第一行乘以（第一行乘以（第一行乘以
3、（4/34/3）B B5 5=（P P4 4，P P3 3）第二行减去第一行）第二行减去第一行）第二行减去第一行）第二行减去第一行1/41/4倍倍倍倍最优基最优基最优基最优基 B B5 5=（P P4 4，P P3 3）最优解最优解最优解最优解=（0 0，0 0，1 1，2 2）S=88 S=88B5=（P4，P3）在初始表中）在初始表中最优决策方案：生产最优决策方案：生产C 1万件，万件，D 2万件，最大利润为万件，最大利润为88万元。万元。问题问题2：若若A、C产品的利润产生波产品的利润产生波动，波动范围多大，最优基不变？动，波动范围多大，最优基不变？4 10最优表最优表B5=（P4，P3
4、）=1/2 2对应原松驶变量的位置即为对应原松驶变量的位置即为对应原松驶变量的位置即为对应原松驶变量的位置即为B B-1-1初始表初始表初始表初始表最优表最优表最优表最优表B-1=2/3 -10/3 -1/6 4/3B-1A=2 4/3 0 1 2/3 -10/3 -1/2 -1/3 1 0 -1/6 4/3CB=（C4，C3）=（19，50）C=（9，8，50，19，0，0）当目标函数的当目标函数的C1=9 有波动，设波动有波动，设波动为为C1=9+a,CB =CB,C=（9+a，8，50，19，0，0）得到检验数的变化为得到检验数的变化为：=(-4+a,-2/3,0,0,-13/3,-10
5、/3)=(-4+a,-2/3,0,0,-13/3,-10/3)仅当仅当-4+a0时，即时，即a4时，即每万件时，即每万件A产品的利润产品的利润超过超过13万元时，万元时，B 已经不是最优基，已经不是最优基，继续进行最优化。继续进行最优化。当当a4时，时，-4+a0第一行除以第一行除以第一行除以第一行除以2 2第二行加上第一行（第二行加上第一行（第二行加上第一行（第二行加上第一行（1/21/2）。重新计算检验数，为）。重新计算检验数，为）。重新计算检验数，为）。重新计算检验数，为了保证了保证了保证了保证B B为最优，必须满足为最优，必须满足为最优，必须满足为最优，必须满足 6-2a 6-2a 0
6、,4-a 0,4-a 0,-0,-9-a 9-a 0,5a-30 0,5a-30 0 0 得到得到得到得到4 4 a a 6 6当当4 a 6时，即每万件时，即每万件A产品的利润产品的利润在在13-15万元之间，得到新的最优基万元之间，得到新的最优基=（P1，P3）最优决策方案）最优决策方案=（1，0，3/2，0），最优利润），最优利润=84+a，最大利，最大利润在润在88-90之间。之间。当目标函数的当目标函数的C3=50 有波动，设波有波动，设波动为动为C3=50+a,CB=CB,原最优表如原最优表如下下当目标函数的当目标函数的C3=50有波动，设波动有波动，设波动为为C3=50+a,CB
7、=CB,重新计算检验重新计算检验数如下数如下为保证最优，满足为保证最优，满足 a-8 0,a-2 0,a-26 0,-10-4a 0。得到。得到-5/2 a 2，即，即产品产品C的利润在的利润在47.5-52万元之间，原最万元之间，原最优决策方案不变，最优利润在优决策方案不变，最优利润在85.5-90万万元之间。元之间。同理可以讨论：同理可以讨论：a 2时，只要时，只要X2进基变进基变量。量。问题问题3：若想增加甲种原料，增加多若想增加甲种原料，增加多少时，原最优基不变？少时，原最优基不变？当增加甲种原料供应量时，当增加甲种原料供应量时，b1发发生了变化，设生了变化，设b1=18+a，b=(1
8、8+a,3)2/3 -10/3 18+a 2+(2/3)aB-1 b=-1/6 4/3 3 =1-(1/6)a解：解：2+(2/3)a 0,1-(1/6)a 0得到：得到：-3 a 6 即即 15 b1 24原最优基不变，但最优解与目标原最优基不变，但最优解与目标函数最优值都是函数最优值都是 a 的函数：的函数：X*=（0，0，1-a/6，2+（2/3）a）S*=88+（13/3）a（万元）（万元）当当 a 6 ,a6 情形：情形：原问题最优基。原问题最优基。2+(2/3)a用用 B-1 b=1-(1/6)a 代替常数项代替常数项因为因为 a6，则则1-(1/6)a6 a6新的最优基新的最优基
9、新的最优基新的最优基,B,B,=(P=(P4 4,P,P2 2)最优解最优解最优解最优解=(0=(0，-3+(1/2)a-3+(1/2)a，0 0，6)6)最大利润最大利润最大利润最大利润=90+4 a (=90+4 a (万元万元万元万元)问题问题4：若考虑要生产产品若考虑要生产产品E，且生产且生产1万件万件E产品要消耗甲原产品要消耗甲原料料3公斤，消耗乙原料公斤，消耗乙原料1公斤。公斤。那么，那么，E产品的每万件利润是产品的每万件利润是多少时有利于投产？多少时有利于投产？增加变量；设生产增加变量；设生产E产品产品X7万件，每万件，每万件利润是万件利润是C7万元，则模型为：万元，则模型为：m
10、ax S=9x1+8x2+50 x3+19x4+C7 x7 3x1+2x2+10 x3+4x4+x5+3x7=18 2x3+(1/2)x4 +x6+x7=3 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7 0A=（P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7）P7=（3，1）t原最优解原最优解=（0，0，1，2，0，0）则则 X=（0，0，1，2，0，0，0）一定是原问题的可行解，但不一定一定是原问题的可行解，但不一定是原问题的最优解。是原问题的最优解。若要生产若要生产E，在原最优表中增加，在原最优表中增加非基变量非基变量X7，其中，其中P7,=B-1 P7=2/3 -10/3 3 =-4/3 -1/1
11、0 4/3 1 5/6相应的检验数相应的检验数=-49/3+C7 0 时，时，才有利生产。才有利生产。令令C7=17，相应的检验数，相应的检验数=2/3插入原最优表，继续求解。插入原最优表，继续求解。插入原最优表，继续求解。插入原最优表，继续求解。第二行乘以第二行乘以第二行乘以第二行乘以6/56/5第一行加上第二行乘以第一行加上第二行乘以第一行加上第二行乘以第一行加上第二行乘以4/34/3得到新的最优解得到新的最优解=(0,0,0,18/5,0,0,6/5)最优值最优值=88(4/5)。最优方案生产。最优方案生产D产品产品18/5(万件万件),E产品产品6/5(万件万件),利润达到利润达到88
12、.8(万元万元)。问题问题5：假设该工厂又增加了用假设该工厂又增加了用电不超过电不超过8千瓦的限制，而生产千瓦的限制，而生产A、B、C、D四种产品各四种产品各1万件分别万件分别消耗电消耗电4、3、5、2千瓦。此约束千瓦。此约束是否改变了原最优决策方案？是否改变了原最优决策方案？只需在模型中增加新的约束条件：只需在模型中增加新的约束条件：4x1+3x2+5x3+2x4 8标准化后有标准化后有4x1+3x2+5x3+2x4+x7=8加入模型中：加入模型中：X X4 4,X,X3 3,X,X7 7是基变量是基变量是基变量是基变量,使增加一行元素使增加一行元素使增加一行元素使增加一行元素(5)(2)(
13、5)(2)为零为零为零为零第三行加上第一行的（第三行加上第一行的（第三行加上第一行的（第三行加上第一行的（-2-2）倍）倍）倍）倍第三行加上第二行的（第三行加上第二行的（第三行加上第二行的（第三行加上第二行的（-5-5）倍）倍）倍）倍第三行对偶不可行第三行对偶不可行第三行对偶不可行第三行对偶不可行第三行乘以（第三行乘以（-2）第一行加上第三行乘以（第一行加上第三行乘以（第一行加上第三行乘以（第一行加上第三行乘以（-2/3-2/3）。第二行加上第三行乘以（第二行加上第三行乘以（第二行加上第三行乘以（第二行加上第三行乘以（1/61/6）计算检验数得最优表）计算检验数得最优表）计算检验数得最优表）计
14、算检验数得最优表增加用电约束后，最优生产方案：增加用电约束后，最优生产方案：生产生产4/3万件万件C产品，产品，2/3万件万件D产产品，总利润为品，总利润为79.5万元万元2-4 对偶解的经济解释对偶解的经济解释 如果把线性规划的约束看成广如果把线性规划的约束看成广义资源约束，右边项则代表某种资义资源约束，右边项则代表某种资源的可用量。对偶解的经济含义是源的可用量。对偶解的经济含义是资源的单位改变量引起目标函数值资源的单位改变量引起目标函数值的改变量。通常称为影子价格。影的改变量。通常称为影子价格。影子价格表明对偶解是对系统内部资子价格表明对偶解是对系统内部资源的客观估计，又表明它是一种虚源的
15、客观估计，又表明它是一种虚拟的价格而不是真实价格。拟的价格而不是真实价格。影子价格的特征：影子价格的特征：影子价格是对系统资源的最优估影子价格是对系统资源的最优估计，只有系统达到最优状态时才计，只有系统达到最优状态时才可能赋与资源这种价值。因此，可能赋与资源这种价值。因此，也称为最优价格。也称为最优价格。影子价格的特征：影子价格的特征：影子价格是对系统资源的最优估影子价格是对系统资源的最优估计，只有系统达到最优状态时才可计，只有系统达到最优状态时才可能赋与资源这种价值。因此，也称能赋与资源这种价值。因此，也称为最优价格。为最优价格。影子价格的取值与系统的价值取影子价格的取值与系统的价值取向有关
16、，并受系统状态变化的影响。向有关，并受系统状态变化的影响。系统内部资源数量和价格的变化，系统内部资源数量和价格的变化，它是一种动态的价格体系。它是一种动态的价格体系。影子价格的特征：影子价格的特征：对偶解对偶解影子价格的大小客观影子价格的大小客观反映了资源在系统内的稀缺程度。反映了资源在系统内的稀缺程度。如果某资源在系统内供大于求，如果某资源在系统内供大于求，尽管它有市场价格，但它的影子尽管它有市场价格，但它的影子价格等于零。增加这种资源的供价格等于零。增加这种资源的供应不会引起系统目标的任何变化。应不会引起系统目标的任何变化。如果某资源是稀缺资源，其影子如果某资源是稀缺资源，其影子价格必然大
17、于零。影子价格越高，价格必然大于零。影子价格越高，这种资源在系统中越稀缺。这种资源在系统中越稀缺。影子价格的特征：影子价格的特征：影子价格是一种边际价值，它与影子价格是一种边际价值，它与经济学中边际成本的概念相同。经济学中边际成本的概念相同。因而在经济管理中有十分重要的因而在经济管理中有十分重要的价值。企业管理者可以根据资源价值。企业管理者可以根据资源在企业内部影子价格的在企业内部影子价格的 大小决定大小决定企业的经营策略。企业的经营策略。例例2-13：某企业生产某企业生产A，B二种产二种产品。品。A产品需要消耗产品需要消耗2个单位原料个单位原料和和1个小时人工；个小时人工；B产品需要消耗产品
18、需要消耗3个单位原料和个单位原料和2个小时人工；个小时人工；A产品销售价格产品销售价格23元，元，B产品销售产品销售价格价格40元。该企业每天可利用生元。该企业每天可利用生产原料产原料25单位和单位和15个人工。每单个人工。每单位原料的采购成本为位原料的采购成本为5元，每小时元，每小时人工工资为人工工资为10元。问该企业如何元。问该企业如何组织生产才能使销售利润最大？组织生产才能使销售利润最大？解：解：（模型一模型一）目标函数系数直接使用计算好的目标函数系数直接使用计算好的销售利润，成本数据不直接反映销售利润，成本数据不直接反映在模型中。在模型中。max g=3x1+5x2 s.t.2x1+3
19、x2 25 x1+2x2 15 x1,x2 0最优解最优解X=（5，5）最优值）最优值Z=40对偶解对偶解Y=（1，1）解：解：（模型二模型二）目标函数系数使用未经过处理的目标函数系数使用未经过处理的数据，成本数据直接反映在模型数据，成本数据直接反映在模型中。中。max g=23x1+40 x2-5 x3-10 x4 s.t.2x1+3x2-x3 =0 x1+2x2 -x4=0 x3 25 x4 15 x1,x2,x3,x4 0（模型二模型二）最优解最优解 X=（5，5，0，0）最优值最优值 Z=40对偶解对偶解 Y=（6，11，1，1）一般来讲，如果模型显性地处理所有资源一般来讲，如果模型显
20、性地处理所有资源的成本计算（模型二）则对偶解与影子价的成本计算（模型二）则对偶解与影子价格相等，我们按以下原则考虑企业的经营格相等，我们按以下原则考虑企业的经营策略：策略：如果某资源的影子价格高于市场价格，表如果某资源的影子价格高于市场价格，表明该资源在系统内有获利能力，应买入该明该资源在系统内有获利能力，应买入该资源。资源。一般来讲，如果模型显性地处理所有资源一般来讲，如果模型显性地处理所有资源的成本计算（模型二）则对偶解与影子价的成本计算（模型二）则对偶解与影子价格相等，我们按以下原则考虑企业的经营格相等，我们按以下原则考虑企业的经营策略：策略：如果某资源的影子价格高于市场价格，表如果某资
21、源的影子价格高于市场价格，表明该资源在系统内有获利能力，应买入该明该资源在系统内有获利能力，应买入该资源。资源。如果某资源的影子价格低于市场价格，表如果某资源的影子价格低于市场价格，表明该资源在系统内无获利能力，应卖出该明该资源在系统内无获利能力，应卖出该资源。资源。一般来讲，如果模型显性地处理所有资源一般来讲，如果模型显性地处理所有资源的成本计算（模型二）则对偶解与影子价的成本计算（模型二）则对偶解与影子价格相等，我们按以下原则考虑企业的经营格相等，我们按以下原则考虑企业的经营策略：策略：如果某资源的影子价格高于市场价格，表如果某资源的影子价格高于市场价格，表明该资源在系统内有获利能力，应买
22、入该明该资源在系统内有获利能力，应买入该资源。资源。如果某资源的影子价格低于市场价格，表如果某资源的影子价格低于市场价格，表明该资源在系统内无获利能力，应卖出该明该资源在系统内无获利能力，应卖出该资源。资源。如果某资源的影子价格等于市场价格，表如果某资源的影子价格等于市场价格，表明该资源在系统内处于平衡状态，既不用明该资源在系统内处于平衡状态，既不用买入，也不必卖出该资源。买入，也不必卖出该资源。一般来讲，如果模型隐性地处理所有资源一般来讲，如果模型隐性地处理所有资源的成本计算（模型一）则影子价格应等于的成本计算（模型一）则影子价格应等于对偶解与资源的成本之和，我们按以下原对偶解与资源的成本之
23、和，我们按以下原则考虑企业的经营策略：则考虑企业的经营策略：如果某资源的对偶解大于零，表明该资源如果某资源的对偶解大于零，表明该资源在系统内有获利能力，应买入该资源。在系统内有获利能力，应买入该资源。一般来讲，如果模型隐性地处理所有资源一般来讲，如果模型隐性地处理所有资源的成本计算（模型一）则影子价格应等于的成本计算（模型一）则影子价格应等于对偶解与资源的成本之和，我们按以下原对偶解与资源的成本之和，我们按以下原则考虑企业的经营策略：则考虑企业的经营策略：如果某资源的对偶解大于零，表明该资源如果某资源的对偶解大于零，表明该资源在系统内有获利能力，应买入该资源。在系统内有获利能力，应买入该资源。
24、如果某资源的对偶解小于零，表明该资源如果某资源的对偶解小于零，表明该资源在系统内无获利能力，应卖出该资源。在系统内无获利能力，应卖出该资源。一般来讲，如果模型隐性地处理所有资源一般来讲，如果模型隐性地处理所有资源的成本计算（模型一）则影子价格应等于的成本计算（模型一）则影子价格应等于对偶解与资源的成本之和，我们按以下原对偶解与资源的成本之和，我们按以下原则考虑企业的经营策略：则考虑企业的经营策略：如果某资源的对偶解大于零，表明该资源如果某资源的对偶解大于零，表明该资源在系统内有获利能力，应买入该资源。在系统内有获利能力，应买入该资源。如果某资源的对偶解小于零，表明该资源如果某资源的对偶解小于零，表明该资源在系统内无获利能力，应卖出该资源。在系统内无获利能力，应卖出该资源。如果某资源的对偶解如果某资源的对偶解 等于零，表明该资源等于零，表明该资源在系统内处于平衡状态，既不用买入，也在系统内处于平衡状态，既不用买入，也不必卖出。不必卖出。