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1、L14 多属性决策2n詹文杰（教授詹文杰（教授/博导）博导）n Office:华中科技大学管理学院华中科技大学管理学院611室室n Tel:027-87556472n Email:学习目标学习目标n层次分析法(AHP)；n加权和法；n加权积法；n权重的灵敏度分析。14 多属性决策n14.1 层次分析法(AHP)n14.2 加权和法n14.3 加权积法n14.4 权重的灵敏度分析14.1 层次分析法层次分析法(The Analytical Hierarchy Process,简称AHP)n层次分析法（The Analytical Hierarchy Process）是美国运筹学家、匹兹堡大学教授
2、T.L.Saaty在20世纪70年代初提出来的。n它是处理多目标、多准则、多要素、多层次的复杂问题，进行决策分析、综合评价的一种简单、实用而有效的方法，是一种定性分析与定量分析相结合的方法。AHP的流程图构造判断矩阵构造判断矩阵B求求B的特征向量的特征向量求求B的最大特征值的最大特征值结束结束一致性检验一致性检验建立层次分析结构模型建立层次分析结构模型修改判断矩阵修改判断矩阵没有通过没有通过AHP的求解步骤步骤步骤1:构造判断矩阵构造判断矩阵B步骤步骤2:求权重求权重步骤步骤3:一致性检验一致性检验步骤步骤4:方案排序方案排序例1:买车(AHP法确定权)备选车价格(万元)y1油耗(升/百公里)
3、y2舒适度y3x1402510 x215183x325106x435158n判判断断矩矩阵阵B的的含含义义：相相对对于于某某个个指指标标，各各个个指指标标重重要要性性两两两两比较的判断值。比较的判断值。bij表示指标表示指标i与指标与指标j重要性的比值。重要性的比值。B（按按19标度给定）标度给定）i与与j重要性比较重要性比较biji与与j同等重要同等重要1i比比j稍重要稍重要3i比比j重要重要5i比比j明显重要明显重要7i比比j绝对重要绝对重要9相邻两级间相邻两级间2,4,6,8判断矩阵判断矩阵B具有如下性质：具有如下性质：(1)bii=1;(2)bij与与bji互为倒数互为倒数;(3)完全
4、一致性，即完全一致性，即:bikbkj=bij,其中，其中，(i,j,k=1,n)b11 b1nB=(bij)nn=bn1 bnn步骤1:构造判断矩阵B步骤1:构造判断矩阵B价格(y1)油耗(y2)舒适度(y3)价格(y1)129油耗(y2)1/217舒适度(y3)1/91/71步骤2:求权重n方法一：特征根法n方法二：Saaty近似算法n 根根据据矩矩阵阵理理论论，一一致致性性矩矩阵阵A的的最最大大特特征征值值等等于于矩矩阵阵A的的阶阶数数n。以以n个个事事物物为为元元素素的的向向量量W是是矩矩阵阵B对对应应于于n的的特特征征向向量量，它它表表示示n个个事事物物在在总总量量和和中中的的权权重
5、重。也也就就是是说说，矩矩阵阵A的的最大特征值最大特征值n所对应的特征向量即为被比较事物的权重所对应的特征向量即为被比较事物的权重。方法一：特征根法A具有如下性质：具有如下性质：aii1 aij与与aji互为倒数互为倒数 完全一致性，即完全一致性，即aikakj=aij,i,j,k=1,n方法一：特征根法n基本思想：当判断矩阵B为一致性矩阵时，其特征根问题 BW=W的最大特征值所对应的特征向量归一化后即为排序权重向量。n结论：求求B的重要性权重就可以归结为求的重要性权重就可以归结为求B的最大特征值所对应的特征向量的最大特征值所对应的特征向量。方法二：Saaty近似算法步骤2:求权重(Saaty
6、近似算法)n(1)A中每行元素连乘并开n次方:n(2)wi*规范化:步骤2:求权重(Saaty近似算法)价格油耗 舒适度价格129油耗1/217舒适度1/91/71 规范化:w1*+w2*+w3*=4.39 w1=w1*/4.39=2.62/4.39=0.6 w2=w2*/4.39=1.52/4.39=0.35 w3=w3*/4.39=0.25/4.39=0.05步骤3:一致性检验nB与A都表示元素重要性比值，但A是按定义构造，而B是由主观判断获得，因此两者数学性质并不完全一致，表现在A具有完全一致性，从而其判断矩阵的最大特征根=n。而B不具备性质，大于n，从而把A推广到B所得的结论也有一定误
7、差。n为使特征根法仍能适用，须对误差进行检验，若误差在允许范围内，则对B所求的特征向量可近似表示权重。n这一检验环节称一致性检验（相容性检验）。n前前述述A的的最最大大特特征征值值为为n，而而判判断断矩矩阵阵B的的最最大大特特征征值值maxn，可可以以认认为为这这是是B不不满满足足而而产产生生的的结结果果，B越越是是不不满满足足，max-n越越大大，因因此此，将将这这一一误误差差值值作作为为衡衡量量A满满足足完全一致性的程度。完全一致性的程度。一致性指标一致性指标(Consistency Index)其中其中 步骤3:一致性检验n考考虑虑到到n越越大大，判判断断矩矩阵阵B越越难难满满足足一一致
8、致性性，所所以以应应对对不不同同阶阶数数的的矩矩阵阵给给予予不不同同的的误误差差限限，为为此此引引入入随随机机一一致致性性指指标标R.I.（1000个样本得到的平均个样本得到的平均C.I.值）：值）：n12345678910R.I.000.580.961.121.241.321.411.451.49max/3.1164.275.456.627.798.9910.1611.34(1)(1)一致性比率一致性比率(Consistency Ratio):):C.R.=C.I./R.I.若若C.R.0.1，判断矩阵，判断矩阵B具有满意一致性具有满意一致性;若若C.R.0.1，判断矩阵，判断矩阵B不具有满
9、意一致性，需要重新构造，直到不具有满意一致性，需要重新构造，直到满意为止。满意为止。步骤3:一致性检验(2)(2)最大特征根检验：最大特征根检验：max max A B1 B2 B3B B1 1 1/3 2 B2 3 1 5 B3 1/2 1/5 1 1 1/3 2BW=3 1 5 1/2 1/5 10.2300.6480.122 0.69=1.948 0.367例例2 2：对下面判断矩阵：对下面判断矩阵B进行一致性检验。进行一致性检验。故此判断矩阵具有满意一致性。故此判断矩阵具有满意一致性。步骤3:一致性检验(Saaty近似算法)n(1)A中每列元素求和:n(2)计算max 的值n(3)与临
10、界值 max 比较:n12345678910R.I.000.580.961.121.241.321.411.451.49max/3.1164.275.456.627.798.9910.1611.34步骤3:一致性检验(Saaty近似算法)价格油耗舒适度价格129油耗1/217舒适度1/91/71S1=1+1/2+1/9 =1.61S2=2+1+1/7 =3.14S3=9+7+1 =17W1=0.6W2=0.35W3=0.05max=(Wi x Si)=0.61.61+0.35 3.14+0.05 17=2.9150 x3 x4 x1例例3(9.3):设某高校拟从三个候选人中选一人担任中层领导，
11、候选人的优劣用六个属性去衡量，这六个属性是：健康状况；业务知识；书面表达能力；口才；道德水平；和工作作风。关于这六个属性的重要性，有关部门设定的属性重要性矩阵B为：111411/2112411/211/21531/21/41/41/511/31/3111/3311222311权重的本征向量 属性值的AHP法 三个候选人分别记作X、Y、Z；设在各属性下比较的结果（称为比较矩阵）如下。属性的最大本征值属性值的调整调整前调整后结果 例例4 4：某省轻工部门有一笔资金欲投资生产轻工产品。某省轻工部门有一笔资金欲投资生产轻工产品。现拟定三个投资方案现拟定三个投资方案:(1)(1)生产某种家用电器；生产某
12、种家用电器；(2)(2)生产生产某种紧俏产品；某种紧俏产品；(3)(3)生产传统产品生产传统产品。评价和选择投资方案。评价和选择投资方案的准则是：的准则是：风险程度、资金利润率和转产难易程度风险程度、资金利润率和转产难易程度。经。经初步分析认为：若投资用来生产家用电器，其优点是资初步分析认为：若投资用来生产家用电器，其优点是资金利润率高，但因竞争厂家多，故所冒风险也大，且今金利润率高，但因竞争厂家多，故所冒风险也大，且今后若要转产其他产品也较困难。若资金用来生产传统产后若要转产其他产品也较困难。若资金用来生产传统产品，情况正好相反，即其优点是所冒风险小，今后若要品，情况正好相反，即其优点是所冒
13、风险小，今后若要转产也较方便，但资金利润却很低。生产紧俏产品的投转产也较方便，但资金利润却很低。生产紧俏产品的投资方案，其优缺点则介于上述两种方案之间。因此，对资方案，其优缺点则介于上述两种方案之间。因此，对上述三种投资方案不能立即作出评价与决策。上述三种投资方案不能立即作出评价与决策。1.1.建立层次分析结构模型建立层次分析结构模型 A B1 B2 B3 Wi0 C.R.=C.I./R.I.B1 1 1/3 2 0.230 B2 3 1 5 0.648 0.004/0.58=0.0070.10 B3 1/2 1/5 1 0.122选择合理投资方向选择合理投资方向选择合理投资方向选择合理投资方
14、向A A 风险小风险小风险小风险小B B1 1 家用电器家用电器家用电器家用电器C C1 1利润高利润高利润高利润高B B2 2 易转产易转产易转产易转产B B3 3 紧俏产品紧俏产品紧俏产品紧俏产品C C2 2传统产品传统产品传统产品传统产品C C3 32.2.构造判断矩阵，进行层次单排序及一致性检验。构造判断矩阵，进行层次单排序及一致性检验。B1 C1 C2 C3 Wi0 C.R.C1 1 1/3 1/5 0.105 C2 3 1 1/3 0.258 0.022/0.58=0.0380.10 C3 5 3 1 0.637 B2 C1 C2 C3 Wi0 C.R.C1 1 2 7 0.592
15、 C2 1/2 1 5 0.333 0.008/0.58=0.014 0.10 C3 1/7 1/5 1 0.075 B3 C1 C2 C3 Wi0 C.R.C1 1 1/3 1/7 0.081 C2 3 1 1/5 0.188 0.035/0.58=0.060.10 C3 7 5 1 0.731属性值的层次分析法：属性值的层次分析法：0.2300.105+0.6480.592+0.1220.0810.2300.022+0.6480.008+0.1220.035层次层次B要素要素 B层总排序值层总排序值单排序值单排序值层次层次C要素要素B1B2B3综合重要综合重要度度0.2300.6480.1
16、22C1C2C30.1050.2580.6370.5920.333 0.0750.0810.1880.7310.4180.2980.284C.I.0.0220.0080.0350.015R.I.0.580.580.580.583.3.层次总排序及一致性检验。层次总排序及一致性检验。C.R.=C.I/R.I.=0.015/0.58=0.0250.1改进的改进的19 标度标度-Ax-Ax标度标度Ax标度标度赋值赋值因素因素i与与j相比较的相比较的重要程度等级重要程度等级 901同等重要同等重要91/81.3161稍微重要稍微重要92/81.7321重要重要94/83明显重要明显重要96/85.19
17、62强烈重要强烈重要98/89极端重要极端重要14.2 加权和法n采用加权和法的关键在于确定指标体系并设定各最低层指标的权系数：有了指标体系就可以设法利用统计数据或专家打分给出属性值表；有了权系数，具体的计算和排序就十分简单了。n正因为此，以往的各种实际评估过程中总要把相当大的精力和时间用在确定指标体系和设定权上。14.2 加权和法n一般加权和法求解步骤:n（1）属性值规范化：得 Zij (i=1,m;j=1,n);n（2）确定各指标的权重系数：Wj (j=1,n);n（3）求各方案的综合值：根据方案综合值的大小对方案排序。例例2:用加权和法求解研究生院排序问题。指标指标方案方案人均专著人均专
18、著 C1（本（本/人）人）生师比生师比 C2科研经费科研经费 C3（万元（万元/年）年）逾期毕业率逾期毕业率 C4（%）A10.1550004.7A20.2740002.2A30.61012603.0A40.3430003.9A52.822841.2例例2:用加权和法求解研究生院排序问题。n（1）进行数据预处理；n（2）设决策人设定的各属性权重分别为:0.2,0.3,0.4,0.1；n（3）计算各方案的综合值，见下表：方案集X中各方案的排序为：解：指标指标方案方案人均专著人均专著 z1生师比生师比 z2科研经费科研经费 z3逾期毕业率逾期毕业率 z4方案综合值方案综合值 Cix10.03571
19、.01.00.00.7074x20.07140.83330.80.53190.6375x30.21430.33330.25200.36170.2871x40.10710.66660.60.17020.4784x51.00.00.05680.74470.2972例例3:用统计处理对属性1作处理，用加权和法求解例2。n（1）进行数据预处理；n（2）设决策人设定的各属性权重分别为:0.2,0.3,0.4,0.1；n（3）计算各方案的综合值，见下表：方案集X中各方案的排序为：解：指标指标方案方案人均专著人均专著 M=0.7生师比生师比 z2科研经费科研经费 z3逾期毕业率逾期毕业率 z4方案综合值方案
20、综合值 Cix10.59501.01.00.00.8190 x20.61000.83330.80.53190.7452x30.67000.33330.25200.36170.3782x40.62500.66660.60.17020.5820 x51.00.00.05680.74470.2972例：例：某航空公司在国际市场买飞机，按某航空公司在国际市场买飞机，按6 6个决策指标对不同个决策指标对不同型号的飞机进行综合评价。这型号的飞机进行综合评价。这6 6个指标是，最大速度（个指标是，最大速度（C1）、）、最大范围（最大范围（C2）、最大负载（）、最大负载（C3）、价格（）、价格（C4）、可靠性
21、）、可靠性（C5）、灵敏度（）、灵敏度（C6）。现有）。现有4 4种型号的飞机可供选择，具体种型号的飞机可供选择，具体指标值如表。使用加权和法就购买飞机问题进行决策。指标值如表。使用加权和法就购买飞机问题进行决策。指标指标机型机型最大速度最大速度马赫马赫最大范围最大范围公里公里最大负载最大负载千克千克费用费用10106 6美元美元可靠性可靠性灵敏度灵敏度A12.01500200005.5一般一般很高很高A22.52700180006.5低低一般一般A31.82000210004.5高高高高A42.21800200005.0一般一般一般一般 指标指标机型机型最大速度最大速度(马赫马赫)最大范围最
22、大范围(公里公里)最大负载最大负载(千克千克)费用费用(10(106 6美元美元)可靠可靠性性灵敏灵敏度度A12.01500200005.5一般一般很高很高A22.52700180006.5低低一般一般A31.82000210004.5高高高高A42.21800200005.0一般一般一般一般 指标指标机型机型最大速度最大速度(马赫马赫)最大范围最大范围(公里公里)最大负载最大负载(千克千克)费用费用(10(106 6美元美元)可靠可靠性性灵敏灵敏度度A12.01500200005.559A22.52700180006.535A31.82000210004.577A42.21800200005
23、.055 指标指标机型机型Ai最大速度最大速度马赫马赫最大范围最大范围公里公里最大负载最大负载千克千克费用费用10106 6美元美元可靠性可靠性灵敏度灵敏度A12.01500200005.559A22.52700180006.535A31.82000210004.577A42.21800200005.055解：用适当方法确定决策指标的权重，得到解：用适当方法确定决策指标的权重，得到wT=(0.2,0.1,0.1,0.1,0.2,0.3)用线性比例变换法得到标准化决策矩阵用线性比例变换法得到标准化决策矩阵求得四个方案的加权指标值分别为求得四个方案的加权指标值分别为u1=0.835,u2=0.70
24、9,u3=0.853,u4=0.738利用公式利用公式 计算各方案的加权指标值。计算各方案的加权指标值。由此可得最满意方案为由此可得最满意方案为a3,且各方案的优劣排序结果为且各方案的优劣排序结果为一般加权和法的适用条件n加权和法常常被人们不适当地使用，这是因为许多人并不清楚：使用加权和法意味着承认如下假设：指标体系为树状结构，即每个下级指标只与一个上级指标相关联；每个属性的边际价值是线性的(优劣与属性值大小成比例)，每两个属性都是相互价值独立的；属性间的完全可补偿性：一个方案的某属性无论多差都可用其他属性来补偿。字典序法n字典序法是在 w1w2 wn (符号表示远远大于）时的加权和法，即某个
25、目标特别重要,它与重要性处于第二位的目标相比重要得多；重要性处于第二位的目标 又比重要性处于第三位的目标重要得多，。n实质上，字典序法是单目标决策,首先只根据最重要目标的属性值的优劣来判断方案集X中各方案的优劣；只有当两个或多个方案的最重要目标的属性值相同时，再比较它们的第二重要的目标的属性值；如此继续，直到排定所有方案的优劣次序为止。14.3 加权积法n在用一般加权和法及层次分析法求解多属性决策问题时，都隐含了各目标的属性值之间的可补偿性，而且这种补偿是线性的。n例如：高考录取只看总分，表示各科成绩直接可以线性补偿。n而事实上，许多决策问题中的属性值之间是不可补偿的，即使在一定范围内可以补偿
26、，这种补偿也是非线性的。n例如：研究生录取不光只看总分，还看单科成绩，如果单科成绩低于分数线，即使总分够线也不可以录取，表示各科成绩直接不可以补偿。例5:可持续发展评价指标体系加权积法1:可持续发展评价加权积法2:可持续发展评价加权积与加权和法的对比 加权积与加权和法的对比从表9.12可知，加权积法与加权和法最显著的差别在于，只要有一个属性值为零，加权积法的综合评价指数也为零，属性之间的不可补偿性得到了充分体现。加权积法的特点:n加权积法与加权和法最显著的差别在于，只要有一个属性值为零，加权积法的综合评价指数也为零，属性之间的不可补偿性得到了充分体现。n加权和法的实质是用加权属性的算术平均值的
27、n倍作为综合评价指数，加权积法的综合评价指数恰恰是加权属性的几何平均值的n倍，而算术平均值不小于几何平均值，所以加权和法的可补偿性不小于加权积法。加权积法对综合评价指数普遍偏小的处理方法：加权积法属性值表的规范化例6：中部六省循环经济发展水平的比较分析。殷克东等，现代经济，2007(9):6-8.1)循环经济指标体系的构建1)循环经济指标体系的构建权重的确定2)加权积模型的构建2)加权积模型的构建2)加权积模型的构建2)加权积模型的构建3)中部六省循环经济发展水平的实证研究3)中部六省循环经济发展水平的实证研究3)中部六省循环经济发展水平的实证研究4)山西省进一步发展循环经济的几点建议4)山西
28、省进一步发展循环经济的几点建议14.4 权的灵敏度分析n灵敏度分析的目的：权在多大范围内变动会影响决策结果。n例子：买车。为了简化分析，我们做了如下假设：w1=w2，有：nw1+w2+w3=1，则：w1+w2=1-w3，其中w30,1；n由于w1=w2，则：w1=w2=(1-w3)/2。综合评价值备选车价格(万元)y1w1=(1-w3)/2油耗(升/百公里)y2w2=(1-w3)/2舒适度y3w3综合评价值(Ci)x1 00 1.0000 w3x21.0 0.466700.73-0.73*w3x3 0.6 1.0000 0.42860.8-1.23*w3x4 0.2 0.6667 0.7143 0.43-1.14*w3权的灵敏度分析结果C1C2C3C4