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1、关于等比数列前项和公式的推导第一页，讲稿共八十七页哦复习等差数列等差数列等比数列等比数列定义定义通项通项公式公式性质性质Sn第二页，讲稿共八十七页哦预备知识：预备知识：Sn=a1+a2+an Sn-1=a1+a2+an-1(n 2)an=Sn Sn-1(n 2)你能得出吗你能得出吗?第三页，讲稿共八十七页哦第四页，讲稿共八十七页哦问题：如何来求麦子的总量？问题：如何来求麦子的总量？得得:2S:2S6464=2+2=2+22 2+2+23 3+2+26363+2+26464错位相减得：错位相减得：S S6464=2=264 64 1 1.8 10 1 1.8 101919即求：即求：1 1，2
2、2，2 22 2，2 26363的和；的和；令：令：S S6464=1+2+2=1+2+22 2+2+26262+2+26363，以小麦千粒重为以小麦千粒重为4040麦子质量超过麦子质量超过70007000亿吨！亿吨！麦粒总质量达麦粒总质量达70007000亿吨亿吨国王是拿不出的。国王是拿不出的。第五页，讲稿共八十七页哦q,得，得由此得q1时，等比数列的前n项和设等比数列它的前n项和是即说明：这种求和方法称为错位相减法第六页，讲稿共八十七页哦当q1时，显然，当q=1时，第七页，讲稿共八十七页哦(q=1).(q1).等比数列的前n项和表述为：第八页，讲稿共八十七页哦已知a1、n、q时已知a1、a
3、n、q时等比数列的前n项和公式第九页，讲稿共八十七页哦(1)(1)等比数列前等比数列前n n项和公式：项和公式：等比数列前等比数列前n项和公式你了项和公式你了解多少？解多少？Sn=1-q(q=1)(q=1)Sn=1-q(q=1)(q=1)(2)(2)等比数列前等比数列前n n项和公式的应用：项和公式的应用：1.1.在使用公式时在使用公式时.注意注意q q的取值的取值是利用公式的前提；是利用公式的前提；.在使用公式时，要根据题意，适当选择公式。在使用公式时，要根据题意，适当选择公式。利用“错位相减法”推导第十页，讲稿共八十七页哦例1、求下列等比数列前8项的和第十一页，讲稿共八十七页哦说明：.第十
4、二页，讲稿共八十七页哦1数列2n1的前99项和为()A21001 B12100C2991 D1299答案：C第十三页，讲稿共八十七页哦2在等比数列an中，已知a13，an96，Sn189，则n的值为()A4 B5C6 D7答案：C第十四页，讲稿共八十七页哦3已知等比数列an中，an0，n1,2,3，a22，a48，则前5项和S5的值为_答案：31第十五页，讲稿共八十七页哦4求Snx2x23x3nxn(x0)第十六页，讲稿共八十七页哦第十七页，讲稿共八十七页哦(一)用等比定理推导当当 q=1 时时 Sn=n a1因为因为所以所以 合比定理：合比定理：第十八页，讲稿共八十七页哦Sn=a1+a2+a
5、3+.+an-1+an =a1+a1q+a1q2+.+a1qn-2+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+.+a1qn-3+a1qn-2)=a1+q Sn-1=a1+q(Sn an)Sn=a1(1 q n)1 q 递推公式：递推公式：第十九页，讲稿共八十七页哦答案：B第二十页，讲稿共八十七页哦2在等比数列an中，公比q2，S544，则a1的值为()A4 B4C2 D2答案：A第二十一页，讲稿共八十七页哦3在等比数列an中，已知a1a2an2n1，则a12a22an2等于_第二十二页，讲稿共八十七页哦4设数列an是等比数列，其前n项和为Sn，且S33a3，求公比q的值第二十三页，讲稿共八十七页哦
6、分析：第1年产量为 5000台第2年产量为 5000(1+10%)=50001.1台第3年产量为5000(1+10%)(1+10%)第n年产量为则n年内的总产量为：第二十四页，讲稿共八十七页哦解：第二十五页，讲稿共八十七页哦第二十六页，讲稿共八十七页哦第二十七页，讲稿共八十七页哦第二十八页，讲稿共八十七页哦第二十九页，讲稿共八十七页哦第三十页，讲稿共八十七页哦分析由题目可获取以下主要信息：已知等比数列的前3项和前6项的和，求其通项解答本题可直接利用前n项和公式，列方程求解第三十一页，讲稿共八十七页哦第三十二页，讲稿共八十七页哦点评在等比数列an的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基
7、本的元素，在条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q列方程组求解第三十三页，讲稿共八十七页哦迁移变式2设等比数列an的前n项和为Sn，若S3S62S9，求公比q的值第三十四页，讲稿共八十七页哦第三十五页，讲稿共八十七页哦第三十六页，讲稿共八十七页哦第三十七页，讲稿共八十七页哦点评在求含有参数的等比数列的前n项和时，容易忽略对a1和q1的讨论，从而丢掉一种情况第三十八页，讲稿共八十七页哦第三十九页，讲稿共八十七页哦第四十页，讲稿共八十七页哦第四十一页，讲稿共八十七页哦如图1，一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气
8、球上升的高度能超过125 m吗？第四十二页，讲稿共八十七页哦分析通过仔细审题，抓住“在以后每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%”这一“题眼”，从而构造出等比数列模型热气球在每分钟里上升的高度组成一个等比数列，于是热气球上升的总高度便是该等比数列的前n项和，利用公式即可第四十三页，讲稿共八十七页哦第四十四页，讲稿共八十七页哦第四十五页，讲稿共八十七页哦迁移变式4如果某人在听到喜讯后的1 h后将这一喜讯传给2个人，这2个人又以同样的速度各传给未听到喜讯的另2个人，如果每人只传2人，这样继续下去，要把喜讯传遍一个有2047人(包括第一个人)的小镇，所需时间为()A8 h B9
9、hC10 h D11 h第四十六页，讲稿共八十七页哦解析：设第n个小时后知道喜讯的总人数为Sn，Sn12222n2n112047，n10，故选C.答案：C第四十七页，讲稿共八十七页哦第四十八页，讲稿共八十七页哦2因为公比为1和不为1时等比数列前n项和有不同的公式，所以若公比为字母时，应进行分类讨论这也是由公式的适用范围引发的分类讨论的典型例子之一第四十九页，讲稿共八十七页哦第五十页，讲稿共八十七页哦第五十一页，讲稿共八十七页哦第五十二页，讲稿共八十七页哦第五十三页，讲稿共八十七页哦第五十四页，讲稿共八十七页哦第五十五页，讲稿共八十七页哦题后感悟在等比数列an的五个量a1，q，an，n，Sn中，
10、a1与q是最基本的元素，在条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q列方程组求解,第五十六页，讲稿共八十七页哦1.在等比数列an中，a1an66，a2an1128，前n项和Sn126，求n和q.第五十七页，讲稿共八十七页哦第五十八页，讲稿共八十七页哦第五十九页，讲稿共八十七页哦第六十页，讲稿共八十七页哦已知等比数列an中，前10项和S1010，前20项和S2030，求S30.第六十一页，讲稿共八十七页哦第六十二页，讲稿共八十七页哦第六十三页，讲稿共八十七页哦题后感悟等比数列前n项和的常用性质：(1)“片断和”性质：等比数列an中，公比为q，前m项和为Sm(Sm0)，则Sm，S2mSm，S3m
11、S2m，SkmS(k1)m，构成公比为qm的等比数列，即等比数列的前m项的和与以后依次m项的和构成等比数列第六十四页，讲稿共八十七页哦3.各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，若Sn2，S3n14，则S4n等于()A80 B30C26 D16第六十五页，讲稿共八十七页哦解析：Sn，S2nSn，S3nS2n，S4nS3n成等比数列(S2nSn)2Sn(S3nS2n)(S2n2)22(14S2n)，解得S2n6又(S3nS2n)2(S2nSn)(S4nS3n)(146)2(62)(S4n14)S4n30.故选B.答案：B第六十六页，讲稿共八十七页哦已知等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项
12、的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比与项数由题目可获取以下主要信息：等比数列的奇数项与偶数项分别依次构成等比数列；当项数为2n时，S偶S奇q.解答本题的关键是设出项数与公比，然后建立方程组求解第六十七页，讲稿共八十七页哦，得q2，代入得22n256，解得2n8，所以这个数列共8项，公比为2.第六十八页，讲稿共八十七页哦第六十九页，讲稿共八十七页哦4.等比数列an共2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，求该数列的公比q.第七十页，讲稿共八十七页哦 求数列1,3a,5a2,7a3，(2n1)an1的前n项和(a0)由题目可获取以下主要信息：数列的通项公式an(2n1)a
13、n1.每一项可分成两个因式，由前一个因式可构成等差数列，后一因式可构成等比数列解答本题可选用错位相减法求数列的和第七十一页，讲稿共八十七页哦第七十二页，讲稿共八十七页哦题后感悟错位相减法一般来说，如果数列an是等差数列，公差为d；数列bn是等比数列，公比为q，则求数列anbn的前n项和就可以运用错位相减法第七十三页，讲稿共八十七页哦在运用错位相减法求数列的和时，要注意以下四个问题：(1)注意对q的讨论，在前面的讨论中，我们已知q是等比数列bn的公比，所以q0，但求和Sn12x3x2nxn1时，就应分x0、x1和x0且x1三种情况讨论(2)注意相消的规律(3)注意相消后式子(1q)Sn的构成，以
14、及其中成等比数列的一部分的和的项数(4)应用等比数列求和公式必须注意公比q1这一前提条件如果不能确定公比q是否为1，应分两种情况讨论，这在以前高考中经常考查第七十四页，讲稿共八十七页哦第七十五页，讲稿共八十七页哦第七十六页，讲稿共八十七页哦1在运用等比数列前n项和公式进行运算时应注意以下几点：(1)在等比数列的通项公式及前n项和公式中共有a1，an，n，q，Sn五个量，知道其中任意三个量，都可求出其余两个量第七十七页，讲稿共八十七页哦(3)在公比为字母参数的等比数列求和时，应分q1与q1两种情况进行讨论第七十八页，讲稿共八十七页哦第七十九页，讲稿共八十七页哦第八十页，讲稿共八十七页哦第八十一页，讲稿共八十七页哦第八十二页，讲稿共八十七页哦第八十三页，讲稿共八十七页哦第八十四页，讲稿共八十七页哦第八十五页，讲稿共八十七页哦第八十六页，讲稿共八十七页哦感感谢谢大大家家观观看看第八十七页，讲稿共八十七页哦