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1、第九节二阶常系数非齐次线性微分方程现在学习的是第1页，共19页如果二阶线性微分方程为如果二阶线性微分方程为y +py +qy=f(x)，其中其中 p、q 均为常数，均为常数，则则称称该该方方程程为为二二阶阶常常系系数数线线性微分方程性微分方程.f(x)称称为为自自由由项项，当当 f(x)不不恒恒等等于于0 0 时，称为二阶常系数线性非齐次微分方程时，称为二阶常系数线性非齐次微分方程，当当 f(x)恒恒为为 0 0 时，称为二阶线性齐次微分方程时，称为二阶线性齐次微分方程.现在学习的是第2页，共19页定理定理 如果函数如果函数 y*是常系数线性非齐次方程是常系数线性非齐次方程 y +p y +q
2、 y=f(x)的一个特解，的一个特解，y=Y+y*，是常系数线性非齐次方程的通解是常系数线性非齐次方程的通解.Y 是该方程所对应的常系数是该方程所对应的常系数线性齐次方程的通解，线性齐次方程的通解，则则 前面我们介绍了下面的定理面：前面我们介绍了下面的定理面：前面我们介绍了下面的定理面：前面我们介绍了下面的定理面：现在学习的是第3页，共19页因此求二阶常系数线性非齐次方程通解的一般步骤为：因此求二阶常系数线性非齐次方程通解的一般步骤为：(1)求求常常系系数数线线性性齐齐次次方方程程 y +p y +q y=0 的的线线性性无无关的两个特解关的两个特解 y1 与与 y2，得该方程的通解得该方程的
3、通解(2)求求常常系系数数线线性性非非齐齐次次方方程程 y +p y +q y=f(x)的的一个特解一个特解 y*.那么，方程的通解为那么，方程的通解为 y=Y+y*.Y=C1 y1+C2 y2.下面只介绍当非齐次项下面只介绍当非齐次项f(x)取以下两种特殊的函数形式取以下两种特殊的函数形式时，如何求特解：时，如何求特解：现在学习的是第4页，共19页二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程对应齐次方程通解结构通解结构其中其中难点难点：如何求特解？如何求特解？方法方法：待定系数法待定系数法.一、一、型型现在学习的是第5页，共19页设非齐方程特解为设非齐方程特解为代入原方程代入
4、原方程现在学习的是第6页，共19页综上讨论综上讨论注意注意上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微阶常系数非齐次线性微分方程（分方程（k是重根次数）是重根次数）.现在学习的是第7页，共19页特别地特别地现在学习的是第8页，共19页例例 1求方程求方程 y +y +y=2e2x 的一个特解的一个特解.解解a a=2 它它不不是是特特征征方方程程 r2+r+1=0 的的根根，取取 k=0，则则代入方程，得代入方程，得故原方程的特解为故原方程的特解为所以，设特解为所以，设特解为.B72=现在学习的是第9页，共19页提示 因为f(x)Pm(x)ex3x1 0不是特征方程的根 所以非齐次方
5、程的特解应设为 y*b0 xb1 把它代入所给方程 得 例2 求微分方程y2y3y3x1的一个特解 解 齐次方程y2y3y0的特征方程为r22r30 b0 xb12b0 xb13b0 xb13b0 x2b03b1 2b03b0 x3b1 3b0 x2b03b13x1 提示3b03 2b03b11 特解形式现在学习的是第10页，共19页解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根代入方程代入方程,得得原方程通解为原方程通解为例例3 3现在学习的是第11页，共19页利用欧拉公式利用欧拉公式现在学习的是第12页，共19页注意注意上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性
6、微分方程阶常系数非齐次线性微分方程.现在学习的是第13页，共19页解解对应齐方通解对应齐方通解作辅助方程作辅助方程代入上式代入上式所求非齐方程特解为所求非齐方程特解为原方程通解为原方程通解为（取虚部）（取虚部）例例4 4现在学习的是第14页，共19页解解对应齐方通解对应齐方通解作辅助方程作辅助方程代入辅助方程代入辅助方程例例5 5现在学习的是第15页，共19页所求非齐方程特解为所求非齐方程特解为原方程通解为原方程通解为（取实部）（取实部）注意注意现在学习的是第16页，共19页三、小结(待定系数法待定系数法)只含上式一项解法只含上式一项解法：作辅助方程作辅助方程,求特解求特解,取特取特解的实部或虚部解的实部或虚部,得原非齐方程特解得原非齐方程特解.现在学习的是第17页，共19页思考题思考题写出微分方程写出微分方程的待定特解的形式的待定特解的形式.现在学习的是第18页，共19页思考题解答思考题解答设设 的特解为的特解为设设 的特解为的特解为则所求特解为则所求特解为特征根特征根（重根）（重根）现在学习的是第19页，共19页