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1、1.4 角平分线（二）-三角形中的角平分线第1页/共26页学习目标1.能够证明三角形的三条角平分线交于一点且这一点到三条边的距离相等能够证明三角形的三条角平分线交于一点且这一点到三条边的距离相等；2.角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用第2页/共26页 温故知新如图如图,OC是是AOB的平分线的平分线,PDOA,PEOB,(已知已知)_ CBAPDEO PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等角平分线上的点到这个角的两边距离相等)第3页/共26页 温故知新如图如图,PD=PE且PDOA,PEOB,(已知已知)_ CBAPDEO OC是是AOB的平
2、分线的平分线（在一个角的内部（在一个角的内部,且到角的两边且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上距离相等的点在这个角的平分线上.)第4页/共26页 剪一个三角形纸片通过折叠找出每个角的平分线.结论:三角形三个角的平分线相交于一点.利用尺规作出三角形三个角的角平分线.探究新知探究新知如何证三条角平分线交于一点？第5页/共26页思考分析 基本思路:我们知道,两条直线相交只有一个交点.要想证明三条直线相交于一点,只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可.如何证三条直线交于一点？第6页/共26页证明：过P点作PDAB，PFAC，PEBC，又BM是ABC的角平分线,点P在BAC的平分线上ABC的三
3、条角平分线相交于点PDEFMNCBAP证明：三角形三条角平分线相交于一点 已知：如图，设ABC的角平分线BM、CN相交于点P，求证：P点在BAC的角平分线上例例1 1PD=PE同理：同理：PE=PFPD=PF第7页/共26页 定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.如图,在ABC中,BM,CN,AH分别是ABC的三条角平分且PDAB,PEBC,PFAC 提示:这又是一个证明三条直线交于一点的根据之一这个交点叫做三角形的内心.A AB BC CPM MN NDEFBM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PFH H第8页/共26页例2 如图,在ABC中,已知AC=BC
4、,C=900,AD是ABC的角平分线,DEAB,垂足为E.(1)如果CD=4cm,AC的长;(2)求证:AB=AC+CD.期望:你能正确地解答并规范地写出其过程.E ED DA AB BC C课堂练习课堂练习第9页/共26页 1.已知:如图,C=900,B=300,AD是RtABC的角平分线.求证:BD=2CD.ABCD挑战自我挑战自我第10页/共26页 2.已知:如图,ABC的外角CBD和BCE的角平分线相交于点F.求证:点F在DAE的平分线上.A AB BC CFDE第11页/共26页证明证明 C=C=9090 B=30B=30 RtRtABCABC中，中，AB=2BC,AB=2BC,BA
5、C=60BAC=60 AD AD是是ABCABC的角平分线的角平分线 BAD=BAD=DAC=30DAC=30,AD=BD,AD=BD RtRtACDACD中，中，AD=2CDAD=2CD BD=2CD BD=2CD第12页/共26页证明：证明：BFBF是是CBDCBD的角平分线的角平分线 F F到到BC,ADBC,AD的距离相等的距离相等 BFBF是是CBDCBD的角平分线的角平分线 F F到到BC,AEBC,AE的距离相等的距离相等 F F到到AD,AEAD,AE的距离相等的距离相等 从而点从而点F F在在DAEDAE的平分线上的平分线上.第13页/共26页情境导入某地要在三条公路围某地要
6、在三条公路围成的一块平地上修建成的一块平地上修建一个公园，要使公园一个公园，要使公园到三条公路的距离相到三条公路的距离相等。如果你是设计师，等。如果你是设计师，你会如何修建呢？你会如何修建呢？第14页/共26页 1.如图：直线L1、L2、L3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？l3l21lCBA第15页/共26页通过本节课你学到了什么？第16页/共26页 3.已知:如图,P是AOB平分线上的一个点，并且PCOA,PDOB,垂足分别是C,D.求证:(1)OC=OD;(2)OP是CD的垂直平分线.BAPDCO第17页/共26页证明证明(1
7、)(1)PP为为P P是是AOBAOB平分线上的一个点平分线上的一个点 PCOA,PDOBPCOA,PDOB PC=PD PC=PD Rt RtPOCPOC和和 RtRtPODPOD OP=OP OP=OP Rt RtPOC POC Rt RtPOD POD OC=ODOC=OD (2)(2)由由PC=PDPC=PD得得P P在在CDCD的垂直平分线上的垂直平分线上 由由O OC=ODC=OD得得O O在在CDCD的垂直平分线上的垂直平分线上 OPOP是是CDCD的垂直平分线的垂直平分线.第18页/共26页2.比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理 三边垂直平分线三边垂直平分线三条
8、角平分线三条角平分线三角形三角形锐角三角形锐角三角形交于三角形内一点交于三角形内一点交于三角形内一点交于三角形内一点直角三角形直角三角形交于交于斜边的中点斜边的中点钝角三角形钝角三角形交于交于三角形外一点三角形外一点交点性质交点性质到三角形三个顶点的距离到三角形三个顶点的距离相等相等到三角形三边的距离到三角形三边的距离相等相等第19页/共26页1、已知：如图，在、已知：如图，在RtABC中，中，ACB90，B60，AD，CE是角平分线，是角平分线，AD与与CE相交于点相交于点F，FMAB，FNBC，垂足分别为，垂足分别为 M，N.求证：求证：FEFD.第20页/共26页连接连接BFBF，由题意
9、易知，由题意易知BFBF即即为为ABCABC的平分线，则的平分线，则FMFMFNFN，在在RtRtABCABC中，中，B B6060，BACBAC30.30.DABDAB BACBAC15.15.解：第21页/共26页FDNDABB75，FEMBACACE 30 ACB304575.FEMFDN.在在FEM与与FDN中，中，FEMFDN.FEFD.第22页/共26页例2 如图,已知ABC,作ABC一个内角和与它不相邻的两个外角的平分线,看它们是否交于一点?这样的点有几个?如果以这个点为圆心,这一点到三角形一边的距离为半径作圆,你能作出这个图形吗?A AB BC C老师提示:三角形一个内角和与它不相邻的两个外角的平分线交于一点，这个的点叫做三角形的旁心，这样点有三个。课堂练习课堂练习互动新授第23页/共26页第24页/共26页 结束寄语结束寄语 严格性之于数学家严格性之于数学家,犹如道德之于人犹如道德之于人.证明的规范性在于：条理清晰，因果相应证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据言必有据.这是初学证明者谨记和这是初学证明者谨记和遵循的原则遵循的原则.第25页/共26页谢谢您的观看！第26页/共26页