CH 大数定律和中心极限定理.pptx

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1、1本章要解决的问题 1.为何能以某事件发生的频率 作为该事件的 概率的估计?2.为何能以样本均值作为总体 期望的估计?3.为何正态分布在概率论中占 有极其重要的地位?4.大样本统计推断的理论基础 是什么?大数定律中心极限定理第1页/共23页25.1 切比雪夫不等式引理1 设随机变量X的数学期望E(X)与方差 D(X)均存在,则对于任意实数 0,有下述不等式成立或第2页/共23页3切比雪夫不等式示意图E(X)E(X)+E(X)F(x)x D(X)/2第3页/共23页4例1 已知E(X)=100,D(X)=30,试估计随机变量X 落在(70,130)内的概率。解:P70X130=P|X 100|3

2、0由切比雪夫不等式可得0.967 契比雪夫不等式给出了在随机变量X的分布未知的情况下,事件|X|0,有或第6页/共23页7引入随机变量序列Xk由题设X1,X2,Xn相互独立证明:故n+时,结论成立。由切比雪夫不等式第7页/共23页8贝努里(Bernoulli)大数定律的意义“稳定于”事件 A 在一次试验中发生的概率是指:在概率的统计定义中,事件 A 发生的频率频率 与 p 有较大偏差是小概率事件 因而在试验次数 n 足够大时,可用事件发生的频率近似代替事件发生的概率,即此类定律说明了大次数的重复试验所呈现的客观规律。同时,频率的这种稳定性也称为依概率稳定。第8页/共23页9切比雪夫(Cheby

3、shev)大数定律定理2 设X1,X2,.,Xn,.是相互独立的随机变量,且分别具有数学期望E(Xk)和方差D(Xk),(k=1,2,.)。若方差有界,即存在常数C,使得 D(Xk)C,则对于任意的 0,恒有 切比雪夫大数定律是贝努里大数定律的推广,而贝努里大数定律是切比雪夫大数定律的一个特例。第9页/共23页10证明:对于随机变量序列 Xk记根据切比雪夫不等式可知n1由方差和期望的性质可得第10页/共23页11均服从同一分布,并且有相同的数学期望 和方差 2,则对于任意的 0,恒有或是相互独立的随机变量,推论 设第11页/共23页12当 n 足够大时,算术平均值几乎是一常数。具有相同数学期望

4、和方差的独立随机变量序列的算术平均值依概率收敛于数学期望。算术均值数学期望近似代替可被切比雪夫(Chebyshev)大数定律的意义第12页/共23页13辛钦()大数定律定理3 设随机变量相互独立,均服从同一分布,且具有相同的数学期望 E(X k)=,k=1,2,则对任意的 0,均有第13页/共23页145.3 中心极限定理 在实际问题中,常常需要考虑许多随机因素所产生的总影响。观察表明,如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成,而每一个随机因素在总影响中所起的作用不大,那么这种量一般都服从或近似服从正态分布。研究“在一定条件下,大量独立随机变量和的分布是以正态分布为极限分布”的定理统称

5、为中心极限定理。第14页/共23页15独立同分布的中心极限定理 的分布函数Fn(x)收敛到标准正态分布函数,即定理4 设随机变量X1,X2,Xn,相互独立,服从同一分布,且具有有限的数学期望和方差,E(Xk)=,D(Xk)=20 (k=1,2,)则随机变量 第15页/共23页16林德伯格-列维中心极限定理示意图第16页/共23页17(1)对于当 n 足够大时,Y n 的分布函数近似于标准正态随机变量的分布函数,即近似近似近似服从表明:当n充分大时,n个具有期望和方差的独立同分布的随机变量之和近似服从正态分布。称 Y n 为的标准化随机变量。第17页/共23页18例2 某大型商场每天接待顾客10

6、000人,设每位顾客的消费额(元)服从200,2000上的均匀分布,且顾客的消费额是相互独立的,试求该商场的销售额(元)在平均销售额上、下浮动不超过30000元的概率。解:设第k位顾客的消费额为Xk (k=1,2,10000)商场日销售额为X从而可得 第18页/共23页19由题设可知=100001100=11106第19页/共23页20P11106 30000X11106+30000 2(0.58)1 0.44由独立同分布中心极限定理可得第20页/共23页21德莫弗-拉普拉斯(DeMoivre-Laplace)定理定理5 设随机变量 Xn B(n,p),0 p 1,n=1,2,,则对任意实数 x,均有X n N(np,np(1-p)(近似)即 n 足够大时第21页/共23页221 会利用契比雪夫不等式作简单的估计。3 掌握独立同分布的中心极限定理和德莫 弗-拉普拉斯定理,会利用它们解决一般 实际应用问题。小小 结结2 了解切比雪夫大数定律和贝努里大数 定律的意义和内容。第22页/共23页23感谢您的观赏!第23页/共23页

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