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1、第三节开集的可测性现在学习的是第1页，共14页注：开集、闭集既是 型集也是 型集；有理数集是 型集，但不是 型集；无理数集是 型集，但不是 型集。有理数集可看成可数个单点集的并，而单点集是闭集；通过取余 型集与 型集相互转化（并与交，开集与闭集互换）例例 区间区间 是可测集，且是可测集，且注：零集、区间、开集、闭集、型集（可数个开集的交）、型集（可数个闭集的并）、Borel型集（粗略说：从开集出发通过取余，取交或并（有限个或可数个）运算得到）都是可测集。证明见书本p66现在学习的是第2页，共14页 2.2.可测集与开集、闭集的关系即：可测集与开集、闭集只相差一小测度集（可测集“差不多”就是开集
2、或闭集），从而可测集基本上是至多可数个开区间的并。现在学习的是第3页，共14页证明：若(1)已证明，由Ec可测可知取F=G c，则F为闭集现在学习的是第4页，共14页(1).(1).若若E E可测，则可测，则 证明:(1)当mE+时，由外测度定义知从而（这里用到mE+）现在学习的是第5页，共14页对每个Ei应用上述结果(2)当mE=+时，这时将E分解成可数个互不相交的可测集的并：现在学习的是第6页，共14页例证明：对任意的1/n，现在学习的是第7页，共14页例：设例：设E E为为0,10,1中的有理数全体，中的有理数全体，试各写出一个与试各写出一个与E E只相差一小测度集的开只相差一小测度集的
3、开集和闭集。集和闭集。例：设例：设E*E*为为0,10,1中的无理数全体，试各写出一个与中的无理数全体，试各写出一个与E*E*只相差一小测度集的只相差一小测度集的开集和闭集。开集和闭集。开集:(0,1)闭集：开集：闭集：空集现在学习的是第8页，共14页3.3.可测集与可测集与 集和集和 集的关系集的关系 可测集可由 型集去掉一零集，或 型集添上一零集得到。(2).若E可测，则存在 型集H,使(1).若E可测，则存在 型集 O,使现在学习的是第9页，共14页(1).若E可测，则存在 型集 O,使 (2).若E可测，则存在 型集H,使证明：若(1)已证明，由Ec可测可知取H=O c，则H为 型集，
4、且现在学习的是第10页，共14页(1).(1).若若E E可测，则存在 型集 O,O,使使证明：对任意的1/n，现在学习的是第11页，共14页例：例：例：设例：设E*E*为为0,10,1中的无理数全体，试各写出一个与中的无理数全体，试各写出一个与E*E*只相差一零只相差一零测度集的测度集的 型集或型集或 型集。型集。设设E E为为0,10,1中的有理数全体，中的有理数全体，试各写出一个与试各写出一个与E E只相差一只相差一零测度集的零测度集的 型集或型集或 型集。型集。注：上面的交与并不可交换次序现在学习的是第12页，共14页类似可证：类似可证：证明:由外测度定义知现在学习的是第13页，共14页第四节第四节 不可测集不可测集l存在不可测集（利用选择公理构造，教材p73;1970，R.Solovay证明不可测集存在蕴涵选择公理）l存在不是Borel集的可测集（利用Cantor函数和不可测集构造）参见：实变函数周民强,p87现在学习的是第14页，共14页