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1、线性代数第二章矩阵及其运算第1页，此课件共22页哦一、引例一、引例第2页，此课件共22页哦定义定义 7 设设 是是是是 n n 阶方阵，若存在阶方阵，若存在阶方阵，若存在阶方阵，若存在 n n 阶方阶方阶方阶方阵阵阵阵，使得，使得ABBABAE （）（）则称矩阵则称矩阵则称矩阵则称矩阵 A A 可逆，且称可逆，且称可逆，且称可逆，且称 B B 是是是是 A 的的逆矩阵逆矩阵，记作，记作，记作，记作B BA如果不存在满足（）的矩阵如果不存在满足（）的矩阵 B，则称矩阵则称矩阵 A 是不可逆的是不可逆的 二、逆矩阵的概念二、逆矩阵的概念第3页，此课件共22页哦现在的问题是，矩阵现在的问题是，矩阵
2、A 满足什么条件时可逆？满足什么条件时可逆？可逆方阵的逆阵是否唯一，如何求逆阵？可逆可逆方阵的逆阵是否唯一，如何求逆阵？可逆矩阵有什么性质？这是本节要讨论的问题矩阵有什么性质？这是本节要讨论的问题第4页，此课件共22页哦 三、矩阵可逆的充要条件三、矩阵可逆的充要条件定理定理 1 如果如果如果如果 n n 阶方阵阶方阵阶方阵阶方阵可逆，则它的逆可逆，则它的逆可逆，则它的逆可逆，则它的逆阵是唯一的阵是唯一的定理定理 n n 阶方阵阶方阵 可逆的充要条件是可逆的充要条件是可逆的充要条件是可逆的充要条件是|0.0.如果如果如果如果 可逆，则可逆，则可逆，则可逆，则其中其中其中其中 为方阵为方阵为方阵为
3、方阵 的伴随矩阵的伴随矩阵.第5页，此课件共22页哦由由推论推论 若若若若 AB AB E E（或（或 BA E E），），则则则则 B B A.可得下述推论：可得下述推论：第6页，此课件共22页哦若若 n 阶方阵阶方阵 A 的行列式不为零，即的行列式不为零，即|A|0，则称则称 A 为为非奇异方阵非奇异方阵，否则称，否则称 A 为为奇异方阵奇异方阵.说明，方阵说明，方阵 A 可逆与方阵可逆与方阵非奇异是非奇异是等价的概念等价的概念.定理不仅给出了方阵可逆的充要条件，而定理不仅给出了方阵可逆的充要条件，而且给出了求方阵逆阵的一种方法，称这种方法为且给出了求方阵逆阵的一种方法，称这种方法为伴随矩
4、阵法伴随矩阵法.第7页，此课件共22页哦练习：练习：A,B均为均为n（n3）阶方阵，且）阶方阵，且AB=0，则，则A与与B（）A)均为零矩阵均为零矩阵B)至少有一个零矩阵至少有一个零矩阵C)至少有一个奇异阵至少有一个奇异阵D)均为奇异阵均为奇异阵解答：可以等式两边同取行列式解答：可以等式两边同取行列式AB=0 AB=0|AB|=0|AB|=0|A|B|=0|A|B|=0，故选，故选C C第8页，此课件共22页哦练习：练习：A,B,C为同阶方阵，为同阶方阵，A可逆，则下列命题正确的是可逆，则下列命题正确的是()A)若若AB=0，则，则B=0B)若若BA=BC,则则A=C C)若若AB=CB,则则
5、A=C D)若若BC=0,则则B=0或或C=0解答：可以等式两边同乘解答：可以等式两边同乘A A-1-1AB=0 AB=0 A A-1-1AB=AAB=A-1-10 0 EB=0 EB=0，故选，故选A A第9页，此课件共22页哦练习：练习：设设n阶方阵阶方阵A满足满足A2 2+2A-4E=0，则必有，则必有()A)A=EB)A=-3EB)A=-3E C)A-E可逆可逆 D)A+3E不可逆不可逆解答：因为解答：因为A A与与E E是可交换的，依题意可得：是可交换的，依题意可得：A2 2+2A-4E=0 A2 2+2A-3E=E (A-E)(A+3E)=E(A-E)(A+3E)=E，根据逆，根据
6、逆矩阵的定义，矩阵的定义，(A-E)(A-E)与与(A+3E)(A+3E)互逆。故选互逆。故选C C第10页，此课件共22页哦 四、可逆矩阵的性质四、可逆矩阵的性质(2)设设 A,B,Ai,(i=1,2,m),为为 n 阶可逆方阵，阶可逆方阵，k 为非零常数，则为非零常数，则 A-1,kA,AB,A1A2Am,AT 也都是可逆矩阵，且也都是可逆矩阵，且(1)(1)(A-1)-1=A;(3)(3)(AB)-1=B-1A-1,(A1A2Am)-1=Am-1A2-1A1-1;第11页，此课件共22页哦（4）(AT)-1=(A-1)T;（5）（6 6 6 6）(Am)-1=(A-1)m,m 为正整数为
7、正整数.第12页，此课件共22页哦练习：练习：设设A为为n阶可逆矩阵，下列等式成立的是阶可逆矩阵，下列等式成立的是()A)(2A)T=2ATB)(2A)B)(2A)-1=2A=2A-1 C)AAT=ATA D)|2A|=2|A|解答：解答：B)项项=A A-1/2，C)项不满足交换律，项不满足交换律，D)项项=2n|A|故选故选A A第13页，此课件共22页哦 例例 10 求二阶矩阵求二阶矩阵的逆矩阵的逆矩阵.五、举例五、举例第14页，此课件共22页哦练习：练习：设设则则A*=,A-1=。解答：解答：第15页，此课件共22页哦 例例 11 用伴随矩阵法求下列矩阵的逆阵用伴随矩阵法求下列矩阵的逆
8、阵单单单单 击击击击 这这这这 里里里里 开开开开 始始始始第16页，此课件共22页哦例例 12 解下列矩阵方程解下列矩阵方程AXB=C 其中其中例例 13 设设求求 An.第17页，此课件共22页哦 六、矩阵多项式六、矩阵多项式设设 (x)=a0+a1x+amxm 为为 x 的的 m 次多次多项式，项式，A 为为 n 阶矩阵，记阶矩阵，记 (A)=a0 E+a1 A+am A m，(A)称为称为矩阵矩阵 A 的的 m 次多项式次多项式.1.定义定义第18页，此课件共22页哦从而从而 A 的几个多项式可以像数的几个多项式可以像数 x 的多项式一样相的多项式一样相乘或分解因式乘或分解因式.（P3
9、7）例如例如(E+A)(2E A)=2E+A A2,(E A)3=E 3A+3A2 A3.因为矩阵因为矩阵 Ak、Al 和和 E 都是可交换的，所以都是可交换的，所以矩阵矩阵 A 的两个多项式的两个多项式 (A)和和 f(A)总是可交换的，总是可交换的，即总有即总有 (A)f(A)=f(A)(A)，2.性质性质第19页，此课件共22页哦3.计算方法计算方法（i）如果如果 A=P P-1，则，则 Ak=P k P 1，从而，从而 (A)=a0 E+a1 A+am A m=Pa0EP-1+Pa1 P-1+Pam mP 1=P ()P-1.（ii ii）如果如果 =diag(1,2,n)为对角矩阵为对角矩阵,则，则，k=diag(1k,2k,nk)，从而，从而第20页，此课件共22页哦 ()=a0 E+a1 +am m 第21页，此课件共22页哦例例 14 设设求求 (A)=A3+2A2 3A.第22页，此课件共22页哦