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1、关于梁的弹塑性弯曲及关于梁的弹塑性弯曲及第一张，PPT共七十页，创作于2022年6月2.1 2.1 矩形截面梁的弹塑性纯弯曲矩形截面梁的弹塑性纯弯曲关于梁的两个假定（材料力学）关于梁的两个假定（材料力学）关于梁的两个假定（材料力学）关于梁的两个假定（材料力学）：平截面假定：梁的横截面在变形之后仍然保持平面。平截面假定：梁的横截面在变形之后仍然保持平面。平截面假定：梁的横截面在变形之后仍然保持平面。平截面假定：梁的横截面在变形之后仍然保持平面。截面上正应力对变形的影响是主要的，其它应力分量的影截面上正应力对变形的影响是主要的，其它应力分量的影截面上正应力对变形的影响是主要的，其它应力分量的影截面
2、上正应力对变形的影响是主要的，其它应力分量的影响可以忽略。故应力应变关系可简化为正应力响可以忽略。故应力应变关系可简化为正应力响可以忽略。故应力应变关系可简化为正应力响可以忽略。故应力应变关系可简化为正应力和正应变和正应变和正应变和正应变之间的关系。之间的关系。之间的关系。之间的关系。一、基本关系一、基本关系第二张，PPT共七十页，创作于2022年6月在图示的矩形截面梁中，如取在图示的矩形截面梁中，如取在图示的矩形截面梁中，如取在图示的矩形截面梁中，如取x x x x轴为中心线，轴为中心线，轴为中心线，轴为中心线，y y y y轴指向梁轴指向梁轴指向梁轴指向梁的挠度方向，梁的受力状态对称与的挠
3、度方向，梁的受力状态对称与的挠度方向，梁的受力状态对称与的挠度方向，梁的受力状态对称与x-yx-yx-yx-y平面时。平面时。平面时。平面时。由平面假设，截面上的正应变为由平面假设，截面上的正应变为由平面假设，截面上的正应变为由平面假设，截面上的正应变为其中其中其中其中 为曲率，为曲率，为曲率，为曲率，和和和和 都是都是都是都是 的函数。的函数。的函数。的函数。小变形情形下小变形情形下小变形情形下小变形情形下式中挠度以指向轴的方向为正。式中挠度以指向轴的方向为正。式中挠度以指向轴的方向为正。式中挠度以指向轴的方向为正。截面上的轴力和弯矩为截面上的轴力和弯矩为截面上的轴力和弯矩为截面上的轴力和弯
4、矩为式中式中式中式中b b b b和和和和h h h h分别为矩形截面的宽度和高度分别为矩形截面的宽度和高度分别为矩形截面的宽度和高度分别为矩形截面的宽度和高度第三张，PPT共七十页，创作于2022年6月考虑梁的纯弯曲问题，故（考虑梁的纯弯曲问题，故（考虑梁的纯弯曲问题，故（考虑梁的纯弯曲问题，故（3 3 3 3）式中轴向力为零，）式中轴向力为零，）式中轴向力为零，）式中轴向力为零，N=0N=0N=0N=0，而而而而（4 4 4 4）式的弯矩）式的弯矩）式的弯矩）式的弯矩 M M M M 与与与与 x x x x 无关。无关。无关。无关。二、二、二、二、弹弹弹弹性性性性阶阶阶阶段段段段由由由由
5、得得得得将将将将代入代入代入代入（3）、（）、（4）截面的惯性矩截面的惯性矩截面的惯性矩截面的惯性矩说明弯矩和曲率之间有线性关系说明弯矩和曲率之间有线性关系代入式（代入式（代入式（代入式（5 5）说明应力分布与说明应力分布与y y成比例成比例第四张，PPT共七十页，创作于2022年6月在梁的最上层和最下层，应力的绝对值最大，故开始屈服在梁的最上层和最下层，应力的绝对值最大，故开始屈服在梁的最上层和最下层，应力的绝对值最大，故开始屈服在梁的最上层和最下层，应力的绝对值最大，故开始屈服所对应的弯矩和曲率为所对应的弯矩和曲率为所对应的弯矩和曲率为所对应的弯矩和曲率为弹性极限弯矩弹性极限弯矩弹性极限弯
6、矩弹性极限弯矩弹性极限曲率弹性极限曲率弹性极限曲率弹性极限曲率则（则（则（则（6 6 6 6）式的无量纲形式可写为）式的无量纲形式可写为）式的无量纲形式可写为）式的无量纲形式可写为第五张，PPT共七十页，创作于2022年6月三、三、三、三、弹弹弹弹塑性塑性塑性塑性阶阶阶阶段段段段考虑考虑考虑考虑 的情形的情形的情形的情形设弹塑性区交界处的设弹塑性区交界处的设弹塑性区交界处的设弹塑性区交界处的 值值值值为为为为有有有有截面上的弯矩：截面上的弯矩：截面上的弯矩：截面上的弯矩：第六张，PPT共七十页，创作于2022年6月或或或或（1010）式中，对应于）式中，对应于）式中，对应于）式中，对应于y=y
7、y=y0 0的应力为的应力为的应力为的应力为=s s，故故故故 考虑考虑考虑考虑 的情形的情形的情形的情形（1111）式也可写为）式也可写为）式也可写为）式也可写为对比弹性解对比弹性解对比弹性解对比弹性解第七张，PPT共七十页，创作于2022年6月1 1、表明虽然梁截面的外层纤维已进入塑性屈服阶段，但由于其、表明虽然梁截面的外层纤维已进入塑性屈服阶段，但由于其、表明虽然梁截面的外层纤维已进入塑性屈服阶段，但由于其、表明虽然梁截面的外层纤维已进入塑性屈服阶段，但由于其中间部分仍处于弹性阶段，中间部分仍处于弹性阶段，中间部分仍处于弹性阶段，中间部分仍处于弹性阶段，“平截面平截面平截面平截面”的变形
8、特性限制了外层的变形特性限制了外层的变形特性限制了外层的变形特性限制了外层纤维塑性变形的大小，因而它们是处于约束塑性变形状态，纤维塑性变形的大小，因而它们是处于约束塑性变形状态，纤维塑性变形的大小，因而它们是处于约束塑性变形状态，纤维塑性变形的大小，因而它们是处于约束塑性变形状态，梁的曲率完全由中间弹性部分控制。梁的曲率完全由中间弹性部分控制。梁的曲率完全由中间弹性部分控制。梁的曲率完全由中间弹性部分控制。第八张，PPT共七十页，创作于2022年6月，塑性极限载荷，塑性极限载荷，在在y=0处上下纤维的正应力从处上下纤维的正应力从+s跳到跳到-s，出现了正应出现了正应力的强间断。力的强间断。2
9、2、3 3、当变形限制在弹性变形的量级时，当变形限制在弹性变形的量级时，材料的塑性变形可以使梁的抗弯材料的塑性变形可以使梁的抗弯能力得到提高。能力得到提高。矩形截面梁矩形截面梁矩形截面梁矩形截面梁圆形截面圆形截面圆形截面圆形截面薄圆管薄圆管薄圆管薄圆管工字梁工字梁工字梁工字梁 第九张，PPT共七十页，创作于2022年6月三、卸三、卸载时载时的残余曲率和残余的残余曲率和残余应应力力 1 1、卸、卸、卸、卸载规载规载规载规律律律律在卸在卸载时载时MK之之间应间应服从服从弹弹性性规规律律弯矩的改弯矩的改弯矩的改弯矩的改变变变变量和曲率的改量和曲率的改量和曲率的改量和曲率的改变变变变量之量之量之量之间
10、间间间的关系：的关系：的关系：的关系：应应应应力的改力的改力的改力的改变变变变量：量：量：量：2 2、残余曲率、残余曲率、残余曲率、残余曲率若弯矩完全卸到零，即若弯矩完全卸到零，即若弯矩完全卸到零，即若弯矩完全卸到零，即残余曲率的表达式残余曲率的表达式残余曲率的表达式残余曲率的表达式第十张，PPT共七十页，创作于2022年6月卸卸卸卸载载载载后的残余曲率与未卸后的残余曲率与未卸后的残余曲率与未卸后的残余曲率与未卸载时载时载时载时的曲率之比：的曲率之比：的曲率之比：的曲率之比：或：或：或：或：适用：适用：适用：适用：或：或：或：或：当当当当时时时时，显显显显然有然有然有然有第十一张，PPT共七十
11、页，创作于2022年6月3、残余、残余、残余、残余应应应应力力力力其中其中其中其中 与与与与 之之之之间间间间的关系有式（的关系有式（的关系有式（的关系有式（13131313）和（）和（）和（）和（14141414）给给给给出出出出说说说说明：明：明：明：1.1.1.1.在在在在弹弹弹弹性区的残余性区的残余性区的残余性区的残余应应应应力仍保留原来的符号。力仍保留原来的符号。力仍保留原来的符号。力仍保留原来的符号。2.2.2.2.卸卸卸卸载时载时载时载时，应应应应力力力力变变变变化最大的部位在梁的最外化最大的部位在梁的最外化最大的部位在梁的最外化最大的部位在梁的最外层层层层 由由由由和和和和第十
12、二张，PPT共七十页，创作于2022年6月3.3.3.3.当再次施加的正向弯矩当再次施加的正向弯矩当再次施加的正向弯矩当再次施加的正向弯矩值值值值不不不不超超超超过过过过M*M*M*M*时时时时，梁将呈，梁将呈，梁将呈，梁将呈弹弹弹弹性响性响性响性响应应应应。得得得得外外外外层层层层的正的正的正的正应应应应力改力改力改力改变变变变了符号但未出了符号但未出了符号但未出了符号但未出现现现现反向屈服反向屈服反向屈服反向屈服4.4.4.4.如卸如卸如卸如卸载载载载到零以后再施加反向弯矩，到零以后再施加反向弯矩，到零以后再施加反向弯矩，到零以后再施加反向弯矩，则则则则开始开始开始开始时时时时的响的响的响
13、的响应应应应仍是仍是仍是仍是弹弹弹弹性的，当性的，当性的，当性的，当M M M M满满满满足足足足外外外外层纤维层纤维层纤维层纤维开始反向屈服开始反向屈服开始反向屈服开始反向屈服,即弯矩的即弯矩的即弯矩的即弯矩的变变变变化范化范化范化范围围围围不大于不大于不大于不大于2 2 2 2MeMeMeMe时时时时，结结结结构将是安定的。构将是安定的。构将是安定的。构将是安定的。第十三张，PPT共七十页，创作于2022年6月 2.2 2.2横向载荷作用下梁的弹塑性分析横向载荷作用下梁的弹塑性分析一、梁的一、梁的一、梁的一、梁的弹弹弹弹性极限性极限性极限性极限载载载载荷荷荷荷研究矩形截面的理想研究矩形截面
14、的理想研究矩形截面的理想研究矩形截面的理想弹弹弹弹塑性塑性塑性塑性悬悬悬悬臂梁，在端点受集中力作用臂梁，在端点受集中力作用臂梁，在端点受集中力作用臂梁，在端点受集中力作用梁的弯矩：梁的弯矩：梁的弯矩：梁的弯矩：当当当当P P P P增至增至增至增至根部的弯矩根部的弯矩根部的弯矩根部的弯矩X=0X=0X=0X=0截面的最外截面的最外截面的最外截面的最外层纤维层纤维层纤维层纤维开始屈服开始屈服开始屈服开始屈服称称称称为弹为弹为弹为弹性极限性极限性极限性极限载载载载荷荷荷荷第十四张，PPT共七十页，创作于2022年6月二、塑性状二、塑性状二、塑性状二、塑性状态态态态时时时时，梁的弯矩分布仍服从（，梁
15、的弯矩分布仍服从（，梁的弯矩分布仍服从（，梁的弯矩分布仍服从（19191919）式。）式。）式。）式。设设设设开始开始开始开始进进进进入塑性状入塑性状入塑性状入塑性状态态态态的截面在的截面在的截面在的截面在 处处处处，则则则则有有有有位于位于位于位于 的各截面上均有部分区域的各截面上均有部分区域的各截面上均有部分区域的各截面上均有部分区域进进进进入屈服状入屈服状入屈服状入屈服状态态态态，其其其其弹弹弹弹塑性交界位置塑性交界位置塑性交界位置塑性交界位置1 1 1 1、塑性极限、塑性极限、塑性极限、塑性极限载载载载荷荷荷荷第十五张，PPT共七十页，创作于2022年6月在在在在 处处处处，当当当当
16、时时时时，即梁根部的整个截面都即梁根部的整个截面都即梁根部的整个截面都即梁根部的整个截面都进进进进入塑性流入塑性流入塑性流入塑性流动阶动阶动阶动阶段段段段称称称称为为为为塑性极限塑性极限塑性极限塑性极限载载载载荷荷荷荷与与与与 相相相相应应应应的的的的 值值值值可由可由可由可由第十六张，PPT共七十页，创作于2022年6月2 2 2 2、塑性、塑性、塑性、塑性铰铰铰铰塑性铰塑性铰：弯矩达到了塑性极限弯矩，则相应的曲率可任意地弯矩达到了塑性极限弯矩，则相应的曲率可任意地弯矩达到了塑性极限弯矩，则相应的曲率可任意地弯矩达到了塑性极限弯矩，则相应的曲率可任意地增长，就好像一个铰那样。增长，就好像一个
17、铰那样。增长，就好像一个铰那样。增长，就好像一个铰那样。与通常的铰有两点区别与通常的铰有两点区别：1.1.通常的铰不承受弯矩通常的铰不承受弯矩通常的铰不承受弯矩通常的铰不承受弯矩 ；2.2.通常较两侧的梁段可在两个方向作相对通常较两侧的梁段可在两个方向作相对通常较两侧的梁段可在两个方向作相对通常较两侧的梁段可在两个方向作相对 转动，转动，转动，转动，而塑性铰作反方向相对转动对应于卸载。而塑性铰作反方向相对转动对应于卸载。而塑性铰作反方向相对转动对应于卸载。而塑性铰作反方向相对转动对应于卸载。第十七张，PPT共七十页，创作于2022年6月三、梁的三、梁的三、梁的三、梁的挠挠挠挠度度度度1 1、梁
18、、梁、梁、梁处处处处于于于于弹弹弹弹性状性状性状性状态态态态以及端条件以及端条件以及端条件以及端条件可得可得可得可得特特特特别别别别地地地地第十八张，PPT共七十页，创作于2022年6月1 1、梁、梁、梁、梁处处处处于于于于弹弹弹弹塑性状塑性状塑性状塑性状态态态态弹弹弹弹塑性梁段塑性梁段塑性梁段塑性梁段弹弹弹弹性梁段性梁段性梁段性梁段当当当当第十九张，PPT共七十页，创作于2022年6月区区区区间间间间 中的曲率可由下式中的曲率可由下式中的曲率可由下式中的曲率可由下式给给给给出：出：出：出：利用端条件，得利用端条件，得利用端条件，得利用端条件，得区区区区间间间间 中的曲率可由下式中的曲率可由下
19、式中的曲率可由下式中的曲率可由下式给给给给出：出：出：出：利用利用利用利用x=3/Lx=3/Lx=3/Lx=3/L处处处处的的的的连连连连接条件，得接条件，得接条件，得接条件，得第二十张，PPT共七十页，创作于2022年6月其中其中其中其中自由端的自由端的自由端的自由端的挠挠挠挠度度度度为为为为：可可可可见见见见，弹弹弹弹塑性塑性塑性塑性变变变变形与形与形与形与弹弹弹弹性性性性变变变变形是同数量形是同数量形是同数量形是同数量级级级级的。的。的。的。当载荷当载荷当载荷当载荷P P P P先加到先加到先加到先加到P P，然后又卸载到零时，自由端，然后又卸载到零时，自由端，然后又卸载到零时，自由端，
20、然后又卸载到零时，自由端的残余挠度？的残余挠度？的残余挠度？的残余挠度？第二十一张，PPT共七十页，创作于2022年6月2.3 2.3 强化材料矩形截面梁的弹塑性纯弯曲强化材料矩形截面梁的弹塑性纯弯曲一般一般一般一般强强强强化材料化材料化材料化材料:在在在在纯纯纯纯弯曲条件下，弯曲条件下，弯曲条件下，弯曲条件下，单调单调单调单调加加加加载时载时载时载时，弯矩表达式，弯矩表达式，弯矩表达式，弯矩表达式为为为为：作作作作变变变变量替量替量替量替换换换换 后，上式可写后，上式可写后，上式可写后，上式可写为为为为：可得到可得到可得到可得到 M M M MK K K K 关系。关系。关系。关系。仅仅仅仅
21、当当当当 时时时时，上式中的，上式中的，上式中的，上式中的 才不才不才不才不为为为为零零零零第二十二张，PPT共七十页，创作于2022年6月 如已知如已知如已知如已知K K K K 0 0 0 0，则则则则由（由（由（由（9 9 9 9）和（）和（）和（）和（12121212）式：）式：）式：）式：可直接求得可直接求得可直接求得可直接求得M M M M 值值值值。如已知如已知如已知如已知M M M M 0 0 0 0，则则则则需用叠代法求出相需用叠代法求出相需用叠代法求出相需用叠代法求出相应应应应的的的的K K K K 值值值值和和和和应应应应力分布。力分布。力分布。力分布。为为为为此，可利用
22、此，可利用此，可利用此，可利用 将（将（将（将（24242424）式改写）式改写）式改写）式改写为为为为：上式右端的第一上式右端的第一上式右端的第一上式右端的第一项为纯弹项为纯弹项为纯弹项为纯弹性部分，第二性部分，第二性部分，第二性部分，第二项项项项是由于梁的塑性是由于梁的塑性是由于梁的塑性是由于梁的塑性变变变变形而形而形而形而对对对对曲率的修正。注意到曲率的修正。注意到曲率的修正。注意到曲率的修正。注意到 ，有，有，有，有在令：在令：在令：在令：第二十三张，PPT共七十页，创作于2022年6月则对则对则对则对任意两个曲率任意两个曲率任意两个曲率任意两个曲率 和和和和 ，由中，由中，由中，由中
23、值值值值定理可得定理可得定理可得定理可得-现现现现定定定定义义义义算子算子算子算子T T T T：而将（而将（而将（而将（27272727）式写成）式写成）式写成）式写成采用迭代法：采用迭代法：采用迭代法：采用迭代法：先令先令先令先令则则则则第一次迭代第一次迭代第一次迭代第一次迭代为为为为：第二十四张，PPT共七十页，创作于2022年6月由于由于由于由于可可可可见见见见T T T T 是一个是一个是一个是一个压缩压缩压缩压缩映象，以上迭代映象，以上迭代映象，以上迭代映象，以上迭代过过过过程是收程是收程是收程是收敛敛敛敛的。的。的。的。-则则则则第第第第 次迭代次迭代次迭代次迭代为为为为：第二十
24、五张，PPT共七十页，创作于2022年6月2.2.4 4 超静定梁的塑性极限载荷超静定梁的塑性极限载荷以以图图示示的的一一次次超超静静定定梁梁为为例例第二十六张，PPT共七十页，创作于2022年6月设设设设其其其其 M KM KM KM K 曲曲线线可由可由图图7 7中的理想中的理想弹弹塑性模型表示，即塑性模型表示，即第二十七张，PPT共七十页，创作于2022年6月当当当当 时时时时设载设载设载设载荷荷荷荷P P从零开始增从零开始增从零开始增从零开始增长长长长。ABAB段和段和段和段和BCBC段弯矩是段弯矩是段弯矩是段弯矩是线线线线性分布的性分布的性分布的性分布的其中其中其中其中在根部在根部在
25、根部在根部A A截面截面截面截面当当当当 时时时时，对应对应对应对应的的的的载载载载荷荷荷荷为为为为：第二十八张，PPT共七十页，创作于2022年6月当当当当 时时时时（1 1 1 1）梁的根部形成一个塑性铰，）梁的根部形成一个塑性铰，）梁的根部形成一个塑性铰，）梁的根部形成一个塑性铰，可以产生任意大的曲率。但由于可以产生任意大的曲率。但由于可以产生任意大的曲率。但由于可以产生任意大的曲率。但由于其它部位仍处于弹性阶段，故根其它部位仍处于弹性阶段，故根其它部位仍处于弹性阶段，故根其它部位仍处于弹性阶段，故根部曲率的大小要受到这些部位的部曲率的大小要受到这些部位的部曲率的大小要受到这些部位的部曲
26、率的大小要受到这些部位的约束。约束。约束。约束。（2 2 2 2）A A点成为塑性铰后，该处的点成为塑性铰后，该处的点成为塑性铰后，该处的点成为塑性铰后，该处的弯矩已知，结构成为静定的。弯矩已知，结构成为静定的。弯矩已知，结构成为静定的。弯矩已知，结构成为静定的。由平衡条件得由平衡条件得由平衡条件得由平衡条件得当当当当 时时时时，B B点的弯矩点的弯矩点的弯矩点的弯矩为为为为梁成梁成梁成梁成为为为为一个机构而不能一个机构而不能一个机构而不能一个机构而不能进进进进一步承一步承一步承一步承载载载载。称称称称为为为为塑性极限塑性极限塑性极限塑性极限载载载载荷荷荷荷第二十九张，PPT共七十页，创作于2
27、022年6月分析：分析：分析：分析：1.1.塑性极限塑性极限塑性极限塑性极限载载载载荷并不依荷并不依荷并不依荷并不依赖赖赖赖于于于于弹弹弹弹模模模模 E E E E，其其其其值仅值仅值仅值仅与与与与结结结结构本身和构本身和构本身和构本身和载载载载荷有荷有荷有荷有关，而与关，而与关，而与关，而与结结结结构的残余构的残余构的残余构的残余应应应应力状力状力状力状态态态态和加和加和加和加载历载历载历载历史无关。史无关。史无关。史无关。弹塑性结构的极限载荷与刚塑性结构的极限载荷是相同的弹塑性结构的极限载荷与刚塑性结构的极限载荷是相同的弹塑性结构的极限载荷与刚塑性结构的极限载荷是相同的弹塑性结构的极限载荷
28、与刚塑性结构的极限载荷是相同的2.2.2.2.若若若若仅计仅计仅计仅计算极限算极限算极限算极限载载载载荷，无荷，无荷，无荷，无须须须须分析分析分析分析弹弹弹弹塑性塑性塑性塑性变变变变形形形形过过过过程，可采用程，可采用程，可采用程，可采用刚刚刚刚塑性塑性塑性塑性模型，用更模型，用更模型，用更模型，用更为简单为简单为简单为简单的方法的方法的方法的方法进进进进行行行行计计计计算。算。算。算。常用的方法：常用的方法：常用的方法：常用的方法：静力法：以应力作为基本未知量静力法：以应力作为基本未知量机动法：以位移作为基本未知量机动法：以位移作为基本未知量第三十张，PPT共七十页，创作于2022年6月静力
29、法：静力法：静力法：静力法：是通是通是通是通过过过过与外与外与外与外载载载载荷相平衡且在荷相平衡且在荷相平衡且在荷相平衡且在结结结结构内构内构内构内处处处处处处处处不不不不违违违违反屈服条件的广反屈服条件的广反屈服条件的广反屈服条件的广义应义应义应义应力力力力场场场场来来来来寻寻寻寻求所求所求所求所对应对应对应对应外外外外载载载载荷的最大荷的最大荷的最大荷的最大值值值值的一种方法。的一种方法。的一种方法。的一种方法。以以以以图图图图6 6 6 6所示的梁所示的梁所示的梁所示的梁为为为为例例例例弯矩（绝对值）的最大值只可能弯矩（绝对值）的最大值只可能弯矩（绝对值）的最大值只可能弯矩（绝对值）的最
30、大值只可能在在在在A A点和点和点和点和B B点。点。点。点。以以以以C C点的支座反力为参数点的支座反力为参数点的支座反力为参数点的支座反力为参数梁内处处不违反屈服条件就要求梁内处处不违反屈服条件就要求梁内处处不违反屈服条件就要求梁内处处不违反屈服条件就要求第三十一张，PPT共七十页，创作于2022年6月两个不等式同时成立，所对应的最大外载荷为：两个不等式同时成立，所对应的最大外载荷为：两个不等式同时成立，所对应的最大外载荷为：两个不等式同时成立，所对应的最大外载荷为：塑性极限塑性极限塑性极限塑性极限载载载载荷荷荷荷机机机机动动动动法：法：法：法：是当是当是当是当结结结结构的构的构的构的变变
31、变变形可能成形可能成形可能成形可能成为为为为一个塑性流一个塑性流一个塑性流一个塑性流动动动动（或破（或破（或破（或破损损损损）机构）机构）机构）机构时时时时，通，通，通，通过过过过外外外外载载载载荷所做的功与内部耗散功的关系来荷所做的功与内部耗散功的关系来荷所做的功与内部耗散功的关系来荷所做的功与内部耗散功的关系来寻寻寻寻求所求所求所求所对应对应对应对应外外外外载载载载荷的荷的荷的荷的最小最小最小最小值值值值的一种方法。的一种方法。的一种方法。的一种方法。对于图对于图对于图对于图6 6 6 6所示的梁，可能的破所示的梁，可能的破所示的梁，可能的破所示的梁，可能的破损机构只有一种，即根部损机构只
32、有一种，即根部损机构只有一种，即根部损机构只有一种，即根部A A和中点和中点和中点和中点B B都成为塑性铰。都成为塑性铰。都成为塑性铰。都成为塑性铰。第三十二张，PPT共七十页，创作于2022年6月令令令令B B点向下移动的距离为点向下移动的距离为点向下移动的距离为点向下移动的距离为，A A A A点处梁的转角为点处梁的转角为点处梁的转角为点处梁的转角为 B B B B点两侧梁段的相对转角为点两侧梁段的相对转角为点两侧梁段的相对转角为点两侧梁段的相对转角为则力则力则力则力P P所作的功为：所作的功为：所作的功为：所作的功为：塑性铰上所作的耗散功为：塑性铰上所作的耗散功为：塑性铰上所作的耗散功为
33、：塑性铰上所作的耗散功为：由外力功和内部耗散功相等的条件由外力功和内部耗散功相等的条件由外力功和内部耗散功相等的条件由外力功和内部耗散功相等的条件塑性极限塑性极限塑性极限塑性极限载载载载荷荷荷荷或或或或注：注：注：注：对对对对于于于于较为较为较为较为复复复复杂杂杂杂的的的的结结结结构，可能的破构，可能的破构，可能的破构，可能的破损损损损机构一般有好几种。机构一般有好几种。机构一般有好几种。机构一般有好几种。对对对对应应应应于每一种机构，都可求得一个于每一种机构，都可求得一个于每一种机构，都可求得一个于每一种机构，都可求得一个载载载载荷荷荷荷值值值值。真。真。真。真实实实实的极限的极限的极限的极
34、限载载载载荷是所荷是所荷是所荷是所有有有有这这这这些些些些载载载载荷中的最小荷中的最小荷中的最小荷中的最小值值值值。第三十三张，PPT共七十页，创作于2022年6月2.5 2.5 2.5 2.5 用静力法和机动法求刚架的塑性极限载荷用静力法和机动法求刚架的塑性极限载荷用静力法和机动法求刚架的塑性极限载荷用静力法和机动法求刚架的塑性极限载荷一、几个概念一、几个概念静力场静力场静力场静力场 ：处处满足平衡条件的内力分布：处处满足平衡条件的内力分布：处处满足平衡条件的内力分布：处处满足平衡条件的内力分布现考虑一个现考虑一个现考虑一个现考虑一个n n n n次超静定刚架，它有次超静定刚架，它有次超静定
35、刚架，它有次超静定刚架，它有n n n n个多余反力个多余反力个多余反力个多余反力设刚架中可能出现塑性铰的节点个数为设刚架中可能出现塑性铰的节点个数为设刚架中可能出现塑性铰的节点个数为设刚架中可能出现塑性铰的节点个数为m m。mm个节点处的弯矩个节点处的弯矩个节点处的弯矩个节点处的弯矩外力外力外力外力多余反力多余反力多余反力多余反力消去消去 得到的得到的m-n个方程反映了结构的平衡条件个方程反映了结构的平衡条件第三十四张，PPT共七十页，创作于2022年6月即即构成一个平衡体系构成一个平衡体系称称称称为为为为静力静力静力静力场场场场静力许可静力许可场 ：结构内处处不违反屈服条件的静力场结构内处
36、处不违反屈服条件的静力场结构内处处不违反屈服条件的静力场结构内处处不违反屈服条件的静力场结构内处处不违反屈服条件结构内处处不违反屈服条件结构内处处不违反屈服条件结构内处处不违反屈服条件称称称称为为为为静力静力静力静力许许许许可可可可场场场场静力法静力法：就是要在一切可能的静力就是要在一切可能的静力就是要在一切可能的静力就是要在一切可能的静力许许许许可可可可场场场场中中中中寻寻寻寻求取求取求取求取值值值值最最最最 大的外大的外大的外大的外载载载载荷。荷。荷。荷。第三十五张，PPT共七十页，创作于2022年6月二、例子二、例子二、例子二、例子图 8我们来考虑图我们来考虑图我们来考虑图我们来考虑图8
37、 8 8 8所示的平面刚架。所示的平面刚架。所示的平面刚架。所示的平面刚架。设各截面的塑性极限弯矩为设各截面的塑性极限弯矩为设各截面的塑性极限弯矩为设各截面的塑性极限弯矩为MMS S。在水平力在水平力在水平力在水平力3 3P P和竖直力和竖直力和竖直力和竖直力2 2P P的作用下，的作用下，的作用下，的作用下，求出结构最大可能承受的载荷求出结构最大可能承受的载荷求出结构最大可能承受的载荷求出结构最大可能承受的载荷P P。解：解：该结构的超静定次数该结构的超静定次数该结构的超静定次数该结构的超静定次数n=2n=2n=2n=2 节点节点节点节点，处可能出现塑性铰处可能出现塑性铰处可能出现塑性铰处可
38、能出现塑性铰,故故故故m=4m=4m=4m=4取节点取节点取节点取节点处的支座反力处的支座反力处的支座反力处的支座反力R R R R和和和和N N N N为多余反力，并规定弯矩的符号以刚架内侧为多余反力，并规定弯矩的符号以刚架内侧为多余反力，并规定弯矩的符号以刚架内侧为多余反力，并规定弯矩的符号以刚架内侧拉为正，拉为正，拉为正，拉为正，则则则则相相相相应应应应的平衡方程的平衡方程的平衡方程的平衡方程为为为为 静力法静力法静力法静力法 第三十六张，PPT共七十页，创作于2022年6月消去消去消去消去R R、N N，得到，得到，得到，得到m-n=2m-n=2个独立的平衡方程个独立的平衡方程个独立的
39、平衡方程个独立的平衡方程即即即即如果如果如果如果mmj j还满足屈服条件还满足屈服条件还满足屈服条件还满足屈服条件则则则则就构成一个静力就构成一个静力就构成一个静力就构成一个静力许许许许可可可可场场场场(29)第三十七张，PPT共七十页，创作于2022年6月利用（利用（利用（利用（30303030）式，条件（）式，条件（）式，条件（）式，条件（31313131）式可等价地写）式可等价地写）式可等价地写）式可等价地写为为为为 或或或或消去消去消去消去消去消去消去消去(32)(33)(34)第三十八张，PPT共七十页，创作于2022年6月而而而而 （负号对应于反向加载）对应于最大载荷值：（负号对应
40、于反向加载）对应于最大载荷值：（负号对应于反向加载）对应于最大载荷值：（负号对应于反向加载）对应于最大载荷值：当当当当(34)(34)(34)(34)式中的各式才可能成立。式中的各式才可能成立。式中的各式才可能成立。式中的各式才可能成立。为为为为存在存在存在存在静力静力静力静力许许许许可可可可场场场场的条件的条件的条件的条件(36)1.1.1.1.对应于的弯矩分布可通过回代过程来确定对应于的弯矩分布可通过回代过程来确定对应于的弯矩分布可通过回代过程来确定对应于的弯矩分布可通过回代过程来确定：塑性极限塑性极限塑性极限塑性极限载载载载荷荷荷荷说明：说明：说明：说明：2.2.2.2.二次超静定结构中
41、有三个节点二次超静定结构中有三个节点二次超静定结构中有三个节点二次超静定结构中有三个节点，成为塑性铰，成为塑性铰，成为塑性铰，成为塑性铰，结构变成机构而开始塑性流动。这说明（结构变成机构而开始塑性流动。这说明（结构变成机构而开始塑性流动。这说明（结构变成机构而开始塑性流动。这说明（36363636）式的的）式的的）式的的）式的的确是一个极限载荷。确是一个极限载荷。确是一个极限载荷。确是一个极限载荷。第三十九张，PPT共七十页，创作于2022年6月 机动机动机动机动法法法法 说明：说明：说明：说明：1.1.1.1.对于对于对于对于n n n n次超静定刚架，当出现（次超静定刚架，当出现（次超静定
42、刚架，当出现（次超静定刚架，当出现（n+1)n+1)n+1)n+1)个塑性铰时，结构就会个塑性铰时，结构就会个塑性铰时，结构就会个塑性铰时，结构就会 变成机构而产生塑性流动。变成机构而产生塑性流动。变成机构而产生塑性流动。变成机构而产生塑性流动。设可能出现塑性铰的节点数为设可能出现塑性铰的节点数为设可能出现塑性铰的节点数为设可能出现塑性铰的节点数为mm，则可能的破损机构的总数则可能的破损机构的总数则可能的破损机构的总数则可能的破损机构的总数不少于不少于不少于不少于m m m m2.2.2.2.对于对于对于对于n n n n次超静定刚架，可能出现塑性铰的节点数为次超静定刚架，可能出现塑性铰的节点
43、数为次超静定刚架，可能出现塑性铰的节点数为次超静定刚架，可能出现塑性铰的节点数为mm，可列出可列出可列出可列出 的独立的平衡方程个数为的独立的平衡方程个数为的独立的平衡方程个数为的独立的平衡方程个数为m-nm-n。这这这这m-nm-n个方程可利用虚功原理个方程可利用虚功原理个方程可利用虚功原理个方程可利用虚功原理与结构的与结构的与结构的与结构的m-nm-n个破损机构相对应，称这样的破损机构为个破损机构相对应，称这样的破损机构为个破损机构相对应，称这样的破损机构为个破损机构相对应，称这样的破损机构为基本机构基本机构其它的破损机构可通过基本机构组合而得到其它的破损机构可通过基本机构组合而得到其它的
44、破损机构可通过基本机构组合而得到其它的破损机构可通过基本机构组合而得到第四十张，PPT共七十页，创作于2022年6月3.3.3.3.每一个破损机构都是一个机动场。每一个破损机构都是一个机动场。每一个破损机构都是一个机动场。每一个破损机构都是一个机动场。设在塑性铰设在塑性铰设在塑性铰设在塑性铰 点两侧梁段的相对转角为点两侧梁段的相对转角为点两侧梁段的相对转角为点两侧梁段的相对转角为与外载荷相对应的广义位移为与外载荷相对应的广义位移为与外载荷相对应的广义位移为与外载荷相对应的广义位移为可表示为可表示为许可机动场许可机动场使外载荷在使外载荷在使外载荷在使外载荷在 上所作的总功取正值的机动场上所作的总
45、功取正值的机动场上所作的总功取正值的机动场上所作的总功取正值的机动场对于每一个运动机动场，当令外载荷作的总功与塑性铰的总对于每一个运动机动场，当令外载荷作的总功与塑性铰的总对于每一个运动机动场，当令外载荷作的总功与塑性铰的总对于每一个运动机动场，当令外载荷作的总功与塑性铰的总耗散功相等时，便得到一个载荷值。耗散功相等时，便得到一个载荷值。耗散功相等时，便得到一个载荷值。耗散功相等时，便得到一个载荷值。机动法就是要在一切可能的运动许可场中寻求取值最小的外载荷机动法就是要在一切可能的运动许可场中寻求取值最小的外载荷第四十一张，PPT共七十页，创作于2022年6月图 8我们来考虑图我们来考虑图我们来
46、考虑图我们来考虑图8 8 8 8所示的平面刚架。所示的平面刚架。所示的平面刚架。所示的平面刚架。设各截面的塑性极限弯矩为设各截面的塑性极限弯矩为设各截面的塑性极限弯矩为设各截面的塑性极限弯矩为MMS S。在水平力在水平力在水平力在水平力3 3P P和竖直力和竖直力和竖直力和竖直力2 2P P的作用下，的作用下，的作用下，的作用下，求出结构最大可能承受的载荷求出结构最大可能承受的载荷求出结构最大可能承受的载荷求出结构最大可能承受的载荷P P。解：解：解：解：可能的破损机构总数为可能的破损机构总数为可能的破损机构总数为可能的破损机构总数为基本机构的个数为基本机构的个数为基本机构的个数为基本机构的个
47、数为例如，取图例如，取图例如，取图例如，取图9 9 9 9中的（中的（中的（中的（a)a)a)a)和（和（和（和（b b b b）为基本机构。为基本机构。为基本机构。为基本机构。则（则（则（则（a)a)a)a)和（和（和（和（b b b b）这两种基本机构叠加：这两种基本机构叠加：这两种基本机构叠加：这两种基本机构叠加：消去消去消去消去 处的铰，得到机构（处的铰，得到机构（处的铰，得到机构（处的铰，得到机构（c c c c）。）。）。）。消去消去消去消去 处的铰，得到机构（处的铰，得到机构（处的铰，得到机构（处的铰，得到机构（d d d d）。）。）。）。第四十二张，PPT共七十页，创作于20
48、22年6月(d)成铰(c)成铰(b)成铰(a)成铰第四十三张，PPT共七十页，创作于2022年6月用机动法计算对应于每个破损机构的载荷值用机动法计算对应于每个破损机构的载荷值用机动法计算对应于每个破损机构的载荷值用机动法计算对应于每个破损机构的载荷值(a)成铰(b)成铰第四十四张，PPT共七十页，创作于2022年6月(c)成铰(d)成铰 第四十五张，PPT共七十页，创作于2022年6月以上四种载荷值中的最小者对应于机构以上四种载荷值中的最小者对应于机构以上四种载荷值中的最小者对应于机构以上四种载荷值中的最小者对应于机构(b),b),b),b),最先形成塑性最先形成塑性最先形成塑性最先形成塑性铰
49、的节点为铰的节点为铰的节点为铰的节点为,。结构的结构的结构的结构的塑性极限塑性极限塑性极限塑性极限载载载载荷荷荷荷讨论一种简便的方法：讨论一种简便的方法：讨论一种简便的方法：讨论一种简便的方法：在以上这些塑性流动机构中事先选取其中的某几个，并分别在以上这些塑性流动机构中事先选取其中的某几个，并分别在以上这些塑性流动机构中事先选取其中的某几个，并分别在以上这些塑性流动机构中事先选取其中的某几个，并分别计算出这几个机构所对应的计算出这几个机构所对应的计算出这几个机构所对应的计算出这几个机构所对应的“上限载荷上限载荷上限载荷上限载荷”。进而考察这些。进而考察这些。进而考察这些。进而考察这些“上限上限
50、上限上限载荷载荷载荷载荷”中取最小值的塑性流动机构，并将其铰点上的弯矩值取中取最小值的塑性流动机构，并将其铰点上的弯矩值取中取最小值的塑性流动机构，并将其铰点上的弯矩值取中取最小值的塑性流动机构，并将其铰点上的弯矩值取为极限弯矩，然后在根据平衡条件求出其它各节点处的弯矩为极限弯矩，然后在根据平衡条件求出其它各节点处的弯矩为极限弯矩，然后在根据平衡条件求出其它各节点处的弯矩为极限弯矩，然后在根据平衡条件求出其它各节点处的弯矩值。如果所有截面上弯矩的绝对值都没有超过极限弯矩，那么值。如果所有截面上弯矩的绝对值都没有超过极限弯矩，那么值。如果所有截面上弯矩的绝对值都没有超过极限弯矩，那么值。如果所有