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1、第1页/共174页第2页/共174页点线面第3页/共174页截切第4页/共174页第5页/共174页第6页/共174页第7页/共174页第8页/共174页第9页/共174页第10页/共174页21 投影的形成及常用的投影方法投影方法中心投影法平行投影法直角投影法（正投影法）斜角投影法画透视图画斜轴测图画工程图样及正轴测图第11页/共174页中心投影法中心投影法 投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。度量性较差投影特性投射线投射中心物体投影面投影物体位置改变，投影大小也改变第12页/共174页平行投影法平行投影法斜角投影法投投 影影 特特 性性投影大小与物体和投影面之间的距
2、离无关。度量性较好工程图样多数采用正投影法绘制。投射线互相平行且垂直于投影面投射线互相平行且倾斜于投影面直角（正）投影法第13页/共174页 Pb AP采用多面投影。过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。B1B2B3 点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。一、点在一个投影面上的投影a 2.2.1 2.2.1 点的投影点的投影解决办法？第14页/共174页HWV二、点的三面投影二、点的三面投影投影面正面投影面（简称正 面或V面）水平投影面（简称水 平面或H面）侧面投影面（简称侧 面或W面）投影轴oXZOX轴 V面与H面的交线OZ轴 V面与W面的交线OY轴 H面与W面的交
3、线Y三个投影面互相垂直第15页/共174页WHVoX空间点A在三个投影面上的投影a 点A的正面投影a点A的水平投影a 点A的侧面投影空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。a aa AZY第16页/共174页WVHXYZOVHWAaa a xaazay向右翻向下翻不动投影面展开aaZaa yayaXYYO azx第17页/共174页XYZOVHWAaa a 点的投影规律点的投影规律:a a OX轴 aax=a az=y=A到V面的距离a ax=a ay=z=A到H面的距离aay=a az=x=A到W面的距离xaazayYZaza XYayOaaxaya a a OZ轴第18页/共174页
4、a aax例：已知点的两个投影，求第三投影。a a aaxazaz解法一:通过作45线使a az=aax解法二:用圆规直接量取a az=aaxa 第19页/共174页三、两点的相对位置三、两点的相对位置 两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。判断方法：x 坐标大的在左 y 坐标大的在前 z 坐标大的在上b aa a b bB点在A点之前、之右、之下。XYHYWZ第20页/共174页四、重影点：空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点。A、C为H面的重影点a a c c 被挡住的投影加()()A、C为哪个投影面的重影点呢？a c第21页/共174页a
5、a a b b b直线的投影直线的投影 两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。直线对一个投影面的投影特性一、直线的投影特性一、直线的投影特性ABab直线垂直于投影面投影重合为一点 积聚性直线平行于投影面投影反映线段实长 ab=AB直线倾斜于投影面投影比空间线段短 ab=ABcosABabAMBabm第22页/共174页 直线在三个投影面中的投影特性投影面平行线投影面平行线平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜投影面垂直线投影面垂直线正平线（平行于面）侧平线（平行于面）水平线（平行于面）正垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）一般位置直线一般位置直线与三
6、个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面第23页/共174页b a aba b b aa b ba 投影面平行线投影面平行线 在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面倾角的实大。另两个投影面上的投影平行于相应的投影 轴。水平线侧平线正平线投投 影影 特特 性：性：与H面的夹角:与V面的角:与W面的夹角:实长实长实长ba aa b b 第24页/共174页 反映线段实长。且垂直于相应的投影轴。投影面垂直线投影面垂直线铅垂线正垂线侧垂线 另外两个投影，在其垂直的投影面上，投影有积聚性。投影特性投影特性:c(d)cdd c a b a(b)a b e f efe(f)
7、第25页/共174页 一般位置直线一般位置直线投影特性：投影特性：三个投影都缩短。即:都不反映空间线段的实长及与三个投影面夹角的实大，且与三根投影轴都倾斜。abb a b a 第26页/共174页二、直线与点的相对位置二、直线与点的相对位置 若点在直线上,则点的投影必在直线的同名投影上。并将线段的同名投影分割成与空间相同的比例。即：若点的投影有一个不在直线的同名投影上，则该点必不在此直线上。判别方法：AC/CB=ac/cb=a c /c b ABCVHbcc b a a定比定理第27页/共174页点C不在直线AB上例1：判断点C是否在线段AB上。abca b c c abca b 点C在直线A
8、B上第28页/共174页例2：判断点K是否在线段AB上。a b k 因k 不在a b 上，故点K不在AB上。应用定比定理abka b k 另一判断法?第29页/共174页三、两直线的相对位置空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉。两直线平行投影特性：空间两直线平行，则其各同名投影必相互平行，反之亦然。aVHc bcdABCDb d a 第30页/共174页abcdc a b d 例1：判断图中两条直线是否平行。对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。AB/CD第31页/共174页b d c a cbadd b a c 对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平行，空间
9、直线不一定平行。求出侧面投影后可知：AB与CD不平行。例2：判断图中两条直线是否平行。求出侧面投影如何判断？第32页/共174页HVABCDKabcdka b c k d abcdb a c d kk 两直线相交两直线相交判别方法：若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。交点是两直线的共有点第33页/共174页cabb a c d k kd例：过C点作水平线CD与AB相交。先作正面投影第34页/共174页d b a abcdc1(2 )3(4)两直线交叉两直线交叉投影特性：同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。“交点”是两直线上的一 对重影
10、点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。、是面的重影点，、是H面的重影点。为什么？123 4 两直线相交吗？第35页/共174页 两直线垂直相交（或垂直交叉）两直线垂直相交（或垂直交叉）直角的投影特性：若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。设 直角边BC/H面因 BC AB,同时BC Bb所以 BC ABba平面直线在H面上的投影互相垂直即 abc为直角因此 bc ab故 bc ABba平面又因 BC bcABCabcHa c b abc.证明：第36页/共174页d abca b c d例：过C点作直线与AB垂直相交。AB为正平线,正面投影反映直角。.第37页/共174
11、页 小 结 点与直线的投影特性，尤其是特殊位置 直线的投影特性。点与直线及两直线的相对位置的判断方 法及投影特性。定比定理。直角定理，即两直线垂直时的投影特性。重点掌握：第38页/共174页一、点的投影规律aaZayayaXYYO xa za a a OX轴 aax=a az=y=A到V面的距离a ax=a ay=z=A到H面的距离aay=a az=x=A到W面的距离 a a OZ轴第39页/共174页二、各种位置直线的投影特性 一般位置直线三个投影与各投影轴都倾斜。投影面平行线 在其平行的投影面上的投影反映线段实长及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相应的投影轴。投影面垂直线 在其垂直的投
12、影面上的投影积聚为一点。另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。第40页/共174页三、直线上的点 点的投影在直线的同名投影上。点分线段成定比，点的投影必分线段的投影 成定比定比定理。四、两直线的相对位置 平行 相交 交叉（异面）同名投影互相平行。同名投影相交，交点是两直线的共有点，且符合空间一个点的投影规律。同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。“交点”是两直线上一对重影点的投影。第41页/共174页五、相互垂直的两直线的投影特性 两直线同时平行于某一投影面时，在该 投影面上的投影反映直角。两直线中有一条平行于某一投影面时，在该投影面上的投影反映直角。两直线均为一般位置直线
13、时，在三个投影面上的投影都不 反映直角。直角定理第42页/共174页2.2.3 2.2.3 平面的投影平面的投影一、平面的表示法abca b c 不在同一直线上的三个点abca b c 直线及线外一点abca b c dd 两平行直线abca b c 两相交直线abca b c 平面图形第43页/共174页二、平面的投影特性二、平面的投影特性平行垂直倾斜投 影 特 性 平面平行投影面-投影就把实形现 平面垂直投影面-投影积聚成直线 平面倾斜投影面-投影类似原平面实形性类似性积聚性 平面对一个投影面的投影特性第44页/共174页 平面在三投影面体系中的投影特性平面在三投影面体系中的投影特性平面对
14、于三投影面的位置可分为三类：投影面垂直面 投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜 正垂面 侧垂面 铅垂面 正平面 侧平面 水平面第45页/共174页abca c b c b a 投影面垂直面投影面垂直面类似性类似性积聚性铅垂面投影特性：在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。另外两个投影面上的投影有类似性。为什么？是什么位置的平面？第46页/共174页a b c a b c abc 投影面平行面投影面平行面积聚性积聚性实形性水平面投影特性：在它所平行的投
15、影面上的投影反映实形。另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。第47页/共174页a b c a c b abc 一般位置平面一般位置平面三个投影都类似。投影特性：第48页/共174页三、平面上的直线和点三、平面上的直线和点判断直线在平面内的方法 定 理 一若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。定 理 二若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。平面上取任意直线第49页/共174页abcb c a abcb c a d mnn m d例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试 在平面内任作一条直线。解法一解法二根据定理二根据定理一有多少解？有
16、无数解。第50页/共174页例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到 H面的距 离为10mm。n m nm10c a b cab 唯一解！有多少解？第51页/共174页 平面上取点 先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。bacc a k b k 面上取点的方法：首先面上取线abca b k c d kd利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解第52页/共174页bckada d b c ada d b c k bc例2：已知AC为正平线，补全平行四边形 ABCD的水平投影。解法一解法二第53页/共174页2
17、.3 几何元素的相对位置几何元素的相对位置相对位置包括平行、相交和垂直。一、平行问题 直线与平面平行 平面与平面平行包括 直线与平面平行定理：若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必相互平行。第54页/共174页n a c b m abcmn例1：过M点作直线MN平行于平面ABC。有无数解有多少解？第55页/共174页正平线例2：过M点作直线MN平行于V面和平面 ABC。c b a m abcmn唯一解n 第56页/共174页 两平面平行 若一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。f h
18、 abcdefha b c d e c f b d e a abcdef第57页/共174页二、相交问题二、相交问题直线与平面相交平面与平面相交 直线与平面相交 直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。要讨论的问题：求直线与平面的交点。判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可 见性。我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。第58页/共174页abcmnc n b a m 平面为特殊位置例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。空间及投影分析 平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。求交点 判别可见性由水平投影可知，KN段在平面前，
19、故正面投影上k n 为可见。还可通过重影点判别可见性。k 1(2)作 图k21第59页/共174页km(n)bm n c b a ac 直线为特殊位置空间及投影分析 直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。求交点 判别可见性 点位于平面上，在前；点位于MN上，在后。故k 2 为不可见。1(2)k 21作图用面上取点法第60页/共174页 两平面相交 两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。要讨论的问题：求两平面的交线方法：确定两平面的两个共有点。确定一个共有点及交线的方向。只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。判
20、别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别可见性。第61页/共174页可通过正面投影直观地进行判别。abcdefc f d b e a m(n)空间及投影分析 平面ABC与DEF都为正垂面，它们的正面投影都积聚成直线。交线必为一条正垂线，只要求得交线上的一个点便可作出交线的投影。求交线 判别可见性作 图 从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。nm能否不用重影点判别？能!如何判别？例：求两平面的交线MN并判别可见性。第62页/共174页b c f h a e abcefh1(2)空间及投影分析 平面EFH是一水平面，它的正面投影有积聚性。a b 与e f 的交点m 、b c
21、与f h 的交点n 即为两个共有点的正面投影，故m n 即MN的正面投影。求交线 判别可见性点在FH上，点在BC上，点在上，点在下，故fh可见，n2不可见。作 图mn 2 nm 1 第63页/共174页c d e f a b abcdef投影分析 N点的水平投影n位于def的外面，说明点N位于DEF所确定的平面内，但不位于DEF这个图形内。所以ABC和DEF的交线应为MK。nn m kmk 互交第64页/共174页 小 结重点掌握：二、如何在平面上确定直线和点。三、两平面平行的条件一定是分别位于两平面 内的两组相交直线对应平行。四、直线与平面的交点及平面与平面的交线是 两者的共有点或共有线。解
22、题思路：空间及投影分析 目的是找出交点或交线的已知投影。判别可见性 尤其是如何利用重影点判别。一、平面的投影特性，尤其是特殊位置平面的 投影特性。第65页/共174页要要 点点一、各种位置平面的投影特性 一般位置平面 投影面垂直面 投影面平行面三个投影为边数相等的类似多边形类似性。在其垂直的投影面上的投影积聚成直线 积聚性。另外两个投影类似。在其平行的投影面上的投影反映实形 实形性。另外两个投影积聚为直线。第66页/共174页二、平面上的点与直线 平面上的点一定位于平面内的某条直线上 平面上的直线 过平面上的两个点。过平面上的一点并平行于该平面上的某条直线。三、平行问题 直线与平面平行 直线平
23、行于平面内的一条直线。两平面平行 必须是一个平面上的一对相交直线对应平行 于另一个平面上的一对相交直线。第67页/共174页四、相交问题 求直线与平面的交点的方法 一般位置直线与特殊位置平面求交点，利用 交点的共有性和平面的积聚性直接求解。投影面垂直线与一般位置平面求交点，利用 交点的共有性和直线的积聚性，采取平面上 取点的方法求解。求两平面的交线的方法 两特殊位置平面相交，分析交线的空间位置，有时可找出两平面的一个共有点，根据交线 的投影特性画出交线的投影。一般位置平面与特殊位置平面相交，可利用 特殊位置平面的积聚性找出两平面的两个共 有点，求出交线。第68页/共174页2.4 2.4 换面
24、法换面法一、问题的提出一、问题的提出 如何求一般位置直线的实长？如何求一般位置平面的真实大小？换 面 法：物体本身在空间的位置不动，而用某一新投影面（辅助投影面）代替原有投影面，使物体相对新的投影面处于解题所需要的有利位置，然后将物体向新投影面进行投射。解决方法：更换投影面。第69页/共174页VHAB a b ab二、新投影面的选择原则二、新投影面的选择原则1.新投影面必须对空间物体处于最有利的解 题位置。平行于新的投影面 垂直于新的投影面2.新投影面必须垂直于某一保留的原投影面，以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。Pa1b1第70页/共174页VHA a a axX 更换一次投影面 旧投
25、影体系 X VH 新投影体系P1HX1 A点的两个投影：a，a A点的两个投影：a，a1 新投影体系的建立三、点的投影变换规律三、点的投影变换规律X1P1a1ax1 VHXP1HX1 a aa1axax1.第71页/共174页ax1 VHXP1HX1 a aa1VHA a axXX1P1a1ax1 新旧投影之间的关系 aa1 X1 a1ax1=a ax 点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影 到原投影轴的距离。axa 一般规律：点的新投影和与它有关的原投影的连线，必垂直 于新投影轴。.第72页/共174页 XVHaa ax更换H面 求新投影的作图方法 VHXP1HX1 由点的不变投影向新投
26、影轴作垂线，并在垂线上量取一段距离，使这段距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。aa X1P1V a1axax1ax1更换V面a1作图规律：.第73页/共174页 更换两次投影面先把V面换成平面P1，P1 H，得到中间新投影体系:P1HX1 再把H面换成平面P2，P2 P1，得到新投影体系:X2 P1 P2 新投影体系的建立按次序更换AaVH a axXX1P1a1ax1P2X2ax2a2 第74页/共174页ax2 a aXVH 求新投影的作图方法a2X1HP1X2P1P2 作图规律 a2a1 X2 轴 a2ax2=aax1a1 axax1 .第75页/共174页VHAB a b ab四、换
27、面法的四个基本问题四、换面法的四个基本问题1.把一般位置直线变换成投影面平行线用P1面代替V面，在P1/H投影体系中，AB/P1。X1HP1P1a1b1空间分析：换H面行吗？不行！作图：例：求直线AB的实长及与H面的夹角。a b abXVH新投影轴的位置？a1b1与ab平行。.第76页/共174页a1b1VH a aXB b bA2.把一般位置直线变换成投影面垂直线空间分析：a b abXVHX1H1P1P1P2X2作图：X1P1a1b1X2P2二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。X2轴的位置？a2 b2ax2a2 b2.与a1b1垂直一次换面把直线变成投影面平行线；第77页/共174页
28、一般位置直线变换成投影面垂直线，需经几次变换？a b c abcdVHABCDX d 3.把一般位置平面变换成投影面垂直面 如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。P1X1c1b1 a1 d1空间分析：在平面内取一条投影面平行线，经一次换面后变换成新投影面的垂直线，则该平面变成新投影面的垂直面。作图方法：两平面垂直需满足什么条件？能否只进行一次变换？思考：若变换H面，需在面内取什么位置直线？正平线！第78页/共174页 a b c acbXVH例：把三角形ABC变换成投影面垂直面。HP1X1作 图 过 程：在平面内取一条水平 线AD。d d 将AD变换
29、成新投影 面的垂直线。d1a1 d1c1 反映平面对哪个投影面的夹角？.第79页/共174页a1 b1需经几次变换？一次换面,把一般位置平面变换成新投影面的垂直面；二次换面，再变换成新投影面的平行面。X2P1P24.把一般位置平面变换成投影面平行面ab a c b XVHc作 图：AB是水平线空间分析：a2c2b2c1X2轴的位置？平面的实形.X1HP1.与其平行第80页/共174页b1 距离dd1X1HP1X2P1P2c2 d 例1：求点C到直线AB的距离，并求垂足D。c c b a abXVH 五、换面法的应用五、换面法的应用 如下图：当直线AB垂直于投影面时，CD平行于投影面，其投影反映
30、实长。APBDCca b d作图:求C点到直线AB的距离，就是求垂线CD的实长。空间及投影分析：c1 a1 a2 b2 d2 过c1作线平行于x2轴。.如何确定d1点的位置？第81页/共174页b a abcdc 例2：已知两交叉直线AB和CD的公垂线的长度 为MN，且AB为水平线，求CD及MN的投影。MNm d a1b1m1n1c1d1n空间及投影分析：VHXHP1X1圆半径=MNn m 当直线AB垂直于投影面时，MN平行于投影面，这时它的投影m1n1=MN,且m1n1 c1d1。P1ACDNMc1d1a1m1b1n1B作图：请注意各点的投影如何返回？求m点是难点。.第82页/共174页空间
31、及投影分析：AB与CD都平行于投影面时，其投影的夹角才反映实大（60），因此需将AB与C点所确定的平面变换成投影面平行面。例3:过C点作直线CD与AB相交成60角。d X1HP1X1P1P2ab a c b XVHc作 图：c2c1a1 b1a2d2db2 几个解？两个解！已知点C是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线AB上，求等边三角形的投影。思考：如何解？解法相同！60D点的投影如何返回？.第83页/共174页P2P1X2H P1X1c d b a dacbd1c1a1d2b1c2a2 b2VHX例4：求平面ABC和ABD的两面角。空间及投影分析：由几何定理知：两面角为两平面同时与第三平面垂
32、直相交时所得两交线之间的夹角。在投影图中,两平面的交线垂直于投影面时，则两平面垂直于该投影面，它们的投影积聚成直线，直线间的夹角为所求。.第84页/共174页 小 结 本章主要介绍了投影变换的一种常用方法 换面法。一、换面法就是改变投影面的位置，使它与所给物 体或其几何元素处于解题所需的特殊位置。二、换面法的关键是要注意新投影面的选择条件，即必须使新投影面与某一原投面保持垂直关系，同时又有利于解题需要，这样才能使正投影规 律继续有效。三、点的变换规律是换面法的作图基础，四个基本 问题是解题的基本作图方法，必需熟练掌握。第85页/共174页换面法的四个基本问题：2.把一般位置直线变成投影面垂直线
33、1.把一般位置直线变成投影面平行线3.把一般位置平面变成投影面垂直面4.把一般位置平面变成投影面平行面变换一次投影面变换一次投影面变换两次投影面变换两次投影面需先在面内作一条投影面平行线第86页/共174页四、解题时一般要注意下面几个问题：分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中 物体与原投影面的相对位置，并把这些条件 抽象成几何元素（点、线、面等）。根据要求得到的结果，确定出有关几何元 素对新投影面应处于什么样的特殊位置（垂 直或平行），据此选择正确的解题思路与方 法。在具体作图过程中，要注意新投影与原投影 在变换前后的关系，既要在新投影体系中正 确无误地求得结果，又能将结果返回到原投 影体系
34、中去。第87页/共174页VWH2.5.1 2.5.1 体的投影及三视图体的投影及三视图一、体的投影 体的投影，实质上是构成该体的所有表面的投影总和。第88页/共174页二、三面投影与三视图二、三面投影与三视图1.1.视图的概念视图的概念主视图(front view)体的正面投影俯视图(vertical view)体的水平投影左视图(left view)体的侧面投影2.2.三视图之间的度量对应关系三视图之间的度量对应关系三等关系主视俯视长相等且对正主视左视高相等且平齐俯视左视宽相等且对应长高宽宽长对正宽相等高平齐 视图就是将物体向投影面投射所得的图形。第89页/共174页3.3.三视图之间的方
35、位对应关系三视图之间的方位对应关系 主视图反映：上、下 、左、右 俯视图反映：前、后 、左、右 左视图反映：上、下 、前、后上下左右后前上下前后左右第90页/共174页基本体的形成及其三视图基本体的形成及其三视图 常见的基本几何体平面基本体曲面基本体第91页/共174页点的可见性规定：若点所在的平面的投影可见，点的投影也可见；若平面的投影积聚成直线，点的投影也可见。由于棱柱的表面都是平面，所以在棱柱的表面上取点与在平面上取点的方法相同。一、平面基本体一、平面基本体1.1.棱柱棱柱 棱柱的三视图 棱柱面上取点 a a a (b)b 棱柱的组成 b 由两个底面和几个侧棱面组成。侧棱面与侧棱面的交线
36、叫侧棱线，侧棱线相互平行。在图示位置时，六棱柱的两底面为水平面，在俯视图中反映实形。前后两侧棱面是正平面，其余四个侧棱面是铅垂面，它们的水平投影都积聚成直线，与六边形的边重合。第92页/共174页()s s 2.2.棱锥棱锥 棱锥的三视图 在棱锥面上取点 k k k b a c abc a(c)b s n n 棱锥的组成 n 由一个底面和几个侧棱面组成。侧棱线交于有限远的一点锥顶。同样采用平面上取点法。棱锥处于图示位置时，其底面ABC是水平面，在俯视图上反映实形。侧棱面SAC为侧垂面，另两个侧棱面为一般位置平。第93页/共174页 圆柱面的俯视图积聚成一个圆，在另两个视图上分别以两个方向的轮廓
37、素线的投影表示。二、回转体二、回转体1.1.圆柱体圆柱体 圆柱体的三视图 轮廓线素线的投影与曲面的 可见性的判断 圆柱面上取点 a a a 圆柱面上与轴线平行的任一直线称为圆柱面的素线。圆柱体的组成由圆柱面和两底面组成。圆柱面是由直线AA1绕与它平行的轴线OO1旋转而成。A1AOO1 直线AA1称为母线。利用投影的积聚性第94页/共174页 在图示位置，俯视图为一圆。另两个视图为等边三角形，三角形的底边为圆锥底面的投影，两腰分别为圆锥面不同方向的两条轮廓素线的投影。圆锥面是由直线SA绕与它相交的轴线OO1旋转而成。S称为锥顶，直线SA称为母线。圆锥面上过锥顶的任一直线称为圆锥面的素线。O1O
38、圆锥体的组成 s s 2.2.圆锥体圆锥体 圆锥体的三视图 轮廓线素线的投影与 曲面的可见性的判断 圆锥面上取点 k 辅助直线法辅助圆法(n)sn k(n)k 由圆锥面和底面组成。SA如何在圆锥面上作直线？过锥顶作一条素线。圆的半径？第95页/共174页 三个视图分别为三个和圆球的直径相等的圆，它们分别是圆球三个方向轮廓线的投影。3.3.圆球圆球 圆母线以它的直径为轴旋转而成。圆球的三视图 轮廓线的投影与曲 面可见性的判断 圆球面上取点 k 辅助圆法k k 圆球的形成圆的半径？第96页/共174页2.6 2.6 平面体及回转体的截切平面体及回转体的截切截切：用一个平面与立体相交，截去立体的一部
39、分。截平面 用以截切物体的平面。截交线 截平面与物体表面的交线。截断面 因截平面的截切，在物体上形 成的平面。讨论的问题：截交线的分析和作图讨论的问题：截交线的分析和作图。第97页/共174页2.6.1 2.6.1 平面体的截切平面体的截切一、平面截切的基本形式一、平面截切的基本形式 截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其 形状取决于平面体的形状及截平面对平面体的截切 位置。截交线的每条边是截平面与棱面的交线。求截交线的实质是求两平面的交线截交线的性质：第98页/共174页二、平面截切体的画图二、平面截切体的画图 求截交线的两种方法：求各棱线与截平面的交点棱线法。求各棱面与截平面的交线棱
40、面法。关键是正确地画出截交线的投影。求截交线的步骤：截平面与体的相对位置 截平面与投影面的相对位置确定截交线的投影特性确定截交线的形状 空间及投影分析 画出截交线的投影 分别求出截平面与棱面的交线，并连接成多边形。第99页/共174页例1 1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。3 3 2 2 1 1(4(4)1 1 2 2 4 4 3 3 1 12 24 4 空间分析交线的形状？3 3 投影分析 求截交线 分析棱线的投影 检查 尤其注意检查截 交线投影的类似性截平面与体的几个棱面相交？截交线在俯、左视图上的形状？立体立体第100页/共174页例1 1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。我们采用
41、的是哪种解题方法？棱线法！第101页/共174页例2 2：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。1 12 21 1(2(2)、两点分别同时位于三个面上。三面共点：2 2 1 1 注意：要逐个截平面分析和绘制截交线。当平面体只有局部被截切时，先假想为整体被截切，求出截交线后再取局部。第102页/共174页例2 2：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。第103页/共174页例 3:求八棱柱被平面P截切后的俯视图。P P 截交线的形状？1 1 5 5 4 4 3 3 2 2 8 8 7 7 6 6 截交线的投影特性？2 2 3 3 6 6 7 7 1 1 8 8 4 4 5 5 求截交线1 15 54 4
42、7 76 63 32 28 8分析棱线的投影检查截交线的投影第104页/共174页例 3:求八棱柱被平面P截切后的俯视图。第105页/共174页2.6.2 2.6.2 回转体的截切一、回转体截切的基本形式一、回转体截切的基本形式截交线的性质：截交线是截平面与回转体表面的共有线。截交线的形状取决于回转体表面的形状及 截平面与回转体轴线的相对位置。截交线都是封闭的平面图形。第106页/共174页二、求平面与回转体的截交线的一般步骤二、求平面与回转体的截交线的一般步骤 空间及投影分析 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线 的相对位置，以便确定截交线的形状。分析截平面与投影面的相对位置，明确截交 线
43、的投影特性，如积聚性、类似性等。找出 截交线的已知投影，予见未知投影。画出截交线的投影当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可 见性。先找特殊点，补充中间点。第107页/共174页 圆柱体的截切 截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截平面与圆柱轴线的相对位置垂直圆椭圆平行两平行直线倾斜P PV VP PP PV VP PP PV VP P第108页/共174页例1 1：求左视图空间及投影分析求截交线分析圆柱体轮廓素线的投影截平面与体的相对位置截平面与投影面的相对位置解题步骤：同一立体被多个平面截切，要逐个截平面进行截交线的分析和作图。第109页/共174页
44、例1 1：求左视图空间及投影分析求截交线分析圆柱体轮廓素线的投影截平面与体的相对位置截平面与投影面的相对位置解题步骤：立体立体第110页/共174页例2 2：求左视图立体立体第111页/共174页例2 2：求左视图第112页/共174页例3 3：求俯视图立体立体第113页/共174页例3 3：求俯视图第114页/共174页截交线的已知投影？例4 4：求左视图找特殊点补充中间点光滑连接各点分析轮廓素线的投影截交线的侧面投影是什么形状？截交线的空间形状？第115页/共174页例4 4：求左视图找特殊点找中间点光滑连接各点分析轮廓素线的投影第116页/共174页 椭圆的长、短轴随截平面与圆柱轴线夹角
45、的变化而改变。4545什么情况下投影为圆呢？截平面与圆柱轴线成4545时。第117页/共174页例5 5：求左视图例5 5：求左视图虚实分界点第118页/共174页 圆锥体的截切 根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截交线有五种形状。过锥顶两相交直线P PV V圆P PV V=90=90P PV V椭圆抛物线P PV V=双曲线P PV V=0=0第119页/共174页例:圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。截交线的空间形状？截交线的投影特性？找特殊点如何找椭圆另一根轴的端点？补充中间点光滑连接各点分析轮廓线的 投影第120页/共174页例:圆锥被正垂面截切，求 截交线，并完成三视图。
46、第121页/共174页 球体的截切 平面与圆球相交，截交线的形状都是圆，但根据截平面与投影面的相对位置不同，其截交线的投影可能为圆、椭圆或积聚成一条直线。第122页/共174页例：求半球体截切后的俯视图和左视图。水平面截圆球的截交线的投影，在俯视图上为部分圆弧，在侧视图上积聚为直线。两个侧平面截圆球的截交线的投影，在侧视图上为部分圆弧，在俯视图上积聚为直线。第123页/共174页例：求半球体截切后的俯视图和左视图。第124页/共174页 复合回转体的截切 首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回转体的截交线，并依次将其连接。例：求作顶尖的俯视图第125页
47、/共174页 小 结 一、平面体的截交线一般情况下是由直线组成 的封闭的平面多边形，多边形的边是截平截平 面与棱面的交线面与棱面的交线。求截交线的方法：棱线法 棱面法二、平面截切回转体，截交线的形状取决于截 平面与被截立体轴线的相对位置。截交线是截平面与回转体表面的共有线。第126页/共174页 当截交线的投影为非圆曲线时，要先找特殊点，再补充中间点，最后光滑连接各点。注意分析平面体的棱线和回转体轮廓素线的投影。分析截平面与被截立体对投影面的相对 位置，以确定截交线的投影特性。求截交线三、解题方法与步骤 空间及投影分析 分析截平面与被截立体的相对位置，以 确定截交线的形状。第127页/共174
48、页 当单体被多个截平面截切时，要逐个截 平面进行截交线的分析与作图。当只有 局部被截切时，先按整体被截切求出截 交线，然后再取局部。求复合回转体的截交线，应首先分析复 合回转体由哪些基本回转体组成以及它 们的连接关系，然后分别求出这些基本 回转体的截交线，并依次将其连接。第128页/共174页平面体与回转体相贯回转体与回转体相贯多体相贯2.7.1 2.7.1 概 述1.1.相贯的形式相贯的形式 两立体相交叫作相贯，其表面产生的交线叫做相贯线。本章主要讨论常用不同立体相交时其表面相贯线的投影特性及画法。第129页/共174页2.2.相贯线的主要性质相贯线的主要性质 其作图实质是找出相贯的两立体表
49、面的若干共有点的投影。共有性 表面性相贯线位于两立体的表面上。相贯线是两立体表面的共有线。封闭性 相贯线一般是封闭的空间折线（通常由直线和曲线组成）或空间曲线。第130页/共174页1.1.相贯线的性质相贯线的性质 相贯线是由若干段平面曲线（或直线）所组成的空间折线，每一段是平面体的棱面与回转体表面的交线。2.7.2 平面体与回转体相贯平面体与回转体相贯2.2.作图方法作图方法 分析各棱面与回转体表面的相对位置，从而确 定交线的形状。求出各棱面与回转体表面的截交线。连接各段交线，并判断可见性。求交线的实质是求各棱面与回转面的截交线。第131页/共174页例1：补全主视图 空间分析：四棱柱的四个
50、棱面分别与圆柱面相交，前后两棱面与圆柱轴线平行，截交线为两段直线；左右两棱面与圆柱轴线垂直，截交线为两段圆弧。投影分析：由于相贯线是两立体表面的共有线，所以相贯线的侧面投影积聚在一段圆弧上，水平投影积聚在矩形上。第132页/共174页例1：补全主视图第133页/共174页例2：求作主视图第134页/共174页例2：求作主视图第135页/共174页1.1.相贯线的性质相贯线的性质 相贯线一般为光滑封闭的空间曲线，它是两回转体表面的共有线。2.7.3 2.7.3 回转体与回转体相贯回转体与回转体相贯2.2.作图方法作图方法 利用投影的积聚性直接找点。用辅助平面法。先找特殊点。作图过程作图过程 补充