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1、数学规划模型数学规划模型 实际问题中的优化模型x决策变量f(x)目标函数gi(x)0约束条件多元函数条件极值决策变量个数n和约束条件个数m较大最优解在可行域的边界上取得数学规划线性规划非线性规划整数规划重点在模型的建立和结果的分析第1页/共85页企业生产计划企业生产计划4.1奶制品的生产与销售奶制品的生产与销售 空间层次工厂级：根据外部需求和内部设备、人力、原料等条件，以最大利润为目标制订产品生产计划；车间级：根据生产计划、工艺流程、资源约束及费用参数等，以最小成本为目标制订生产批量计划。时间层次若短时间内外部需求和内部资源等不随时间变化，可制订单阶段生产计划，否则应制订多阶段生产计划。本节课
2、题第2页/共85页例例1加工奶制品的生产计划加工奶制品的生产计划1桶牛奶 3公斤A1 12小时 8小时 4公斤A2 或获利24元/公斤 获利16元/公斤 50桶牛奶 时间480小时 至多加工100公斤A1制订生产计划，使每天获利最大制订生产计划，使每天获利最大 35元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少?可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元?A1的获利增加到30元/公斤，应否改变生产计划？每天：第3页/共85页1桶牛奶 3公斤A1 12小时 8小时 4公斤A2 或获利24元/公斤 获利16元/公斤 x1桶牛奶生产A1x2桶牛奶生产A2获利243x1获利164 x2原料供应 劳动时间
3、 加工能力 决策变量决策变量 目标函数目标函数 每天获利约束条件约束条件非负约束 线性规划模型(LP)时间480小时 至多加工100公斤A150桶牛奶每天第4页/共85页模型分析与假设模型分析与假设 比例性可加性连续性xi对目标函数的“贡献”与xi取值成正比xi对约束条件的“贡献”与xi取值成正比xi对目标函数的“贡献”与xj取值无关xi对约束条件的“贡献”与xj取值无关xi取值连续A1,A2每公斤的获利是与各自产量无关的常数每桶牛奶加工出A1,A2的数量和时间是与各自产量无关的常数A1,A2每公斤的获利是与相互产量无关的常数每桶牛奶加工出A1,A2的数量和时间是与相互产量无关的常数加工A1,
4、A2的牛奶桶数是实数线性规划模型线性规划模型第5页/共85页模型求解模型求解 图解法图解法 x1x20ABCDl1l2l3l4l5约束条件目标函数 Z=0Z=2400Z=3600z=c(常数)等值线c在B(20,30)点得到最优解目标函数和约束条件是线性函数可行域为直线段围成的凸多边形目标函数的等值线为直线最优解一定在凸多边最优解一定在凸多边形的某个顶点取得。形的某个顶点取得。第6页/共85页模型求解模型求解 软件实现软件实现 LINDO6.1max72x1+64x2st2）x1+x2503）12x1+8x24804）3x1100endOBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)3360.
5、000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX120.0000000.000000X230.0000000.000000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.00000048.0000003)0.0000002.0000004)40.0000000.000000NO.ITERATIONS=2DORANGE(SENSITIVITY)ANALYSIS?No20桶牛奶生产A1,30桶生产A2，利润3360元。第7页/共85页结果解释结果解释 OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)3360.000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX120.00
6、00000.000000X230.0000000.000000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.00000048.0000003)0.0000002.0000004)40.0000000.000000NO.ITERATIONS=2原料无剩余时间无剩余加工能力剩余40max72x1+64x2st2）x1+x2503）12x1+8x24804）3x1100end三种资源“资源”剩余为零的约束为紧约束（有效约束）第8页/共85页结果解释结果解释 OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)3360.000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX120.000
7、0000.000000X230.0000000.000000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.00000048.0000003)0.0000002.0000004)40.0000000.000000NO.ITERATIONS=2最优解下“资源”增加1单位时“效益”的增量原料增加1单位,利润增长48时间增加1单位,利润增长2加工能力增长不影响利润影子价格35元可买到1桶牛奶，要买吗？3548,应该买！聘用临时工人付出的工资最多每小时几元？2元！第9页/共85页RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED:OBJCOEFFICIENTRANGESVA
8、RIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLECOEF INCREASE DECREASEX1 72.000000 24.000000 8.000000X2 64.000000 8.000000 16.000000RIGHTHANDSIDERANGESROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLERHS INCREASE DECREASE2 50.000000 10.000000 6.6666673 480.000000 53.333332 80.0000004100.000000INFINITY40.000000最优解不变时目标函数系数允许变化范围DORANGE(S
9、ENSITIVITY)ANALYSIS?Yesx1系数范围(64,96)x2系数范围(48,72)A1获利增加到30元/千克，应否改变生产计划x1系数由24 3=72增加为30 3=90，在允许范围内不变！(约束条件不变)第10页/共85页结果解释结果解释 RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED:OBJCOEFFICIENTRANGESVARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLECOEFINCREASEDECREASEX172.00000024.0000008.000000X264.0000008.00000016.000000RIGHTHAND
10、SIDERANGESROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLERHS INCREASE DECREASE250.00000010.0000006.6666673480.00000053.33333280.0000004100.000000INFINITY40.000000影子价格有意义时约束右端的允许变化范围原料最多增加10时间最多增加5335元可买到1桶牛奶，每天最多买多少？最多买10桶!(目标函数不变)第11页/共85页例例2奶制品的生产销售计划奶制品的生产销售计划 在例1基础上深加工1桶牛奶3千克A112小时8小时4公斤A2或获利24元/公斤获利16元/公斤0.8千克B12
11、小时,3元1千克获利44元/千克0.75千克B22小时,3元1千克获利32元/千克制订生产计划，使每天净利润最大制订生产计划，使每天净利润最大 30元可增加1桶牛奶，3元可增加1小时时间，应否投资？现投资150元，可赚回多少？50桶牛奶,480小时至多100公斤A1B1，B2的获利经常有10%的波动，对计划有无影响？第12页/共85页1桶牛奶3千克A112小时8小时4千克A2或获利24元/千克获利16元/kg0.8千克 B12小时,3元1千克获利44元/千克0.75千克B22小时,3元1千克获利32元/千克出售x1千克A1,x2千克A2，X3千克B1,x4千克B2原料供应 劳动时间 加工能力
12、决策决策变量变量 目标目标函数函数 利润约束约束条件条件非负约束 x5千克A1加工B1，x6千克A2加工B2附加约束 第13页/共85页模型求解模型求解 软件实现软件实现 LINDO6.1OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)3460.800VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX10.0000001.680000X2168.0000000.000000X319.2000010.000000X40.0000000.000000X524.0000000.000000X60.0000001.520000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.0000003
13、.1600003)0.0000003.2600004)76.0000000.0000005)0.00000044.0000006)0.00000032.000000NO.ITERATIONS=2DORANGE(SENSITIVITY)ANALYSIS?No第14页/共85页OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)3460.800VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX10.0000001.680000X2168.0000000.000000X319.2000010.000000X40.0000000.000000X524.0000000.000000X60.0000001.5
14、20000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.0000003.1600003)0.0000003.2600004)76.0000000.0000005)0.00000044.0000006)0.00000032.000000NO.ITERATIONS=2结果解释结果解释每天销售168千克A2和19.2千克B1，利润3460.8（元）8桶牛奶加工成A1，42桶牛奶加工成A2，将得到的24千克A1全部加工成B1除加工能力外均为紧约束第15页/共85页结果解释结果解释OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)3460.800VARIABLEVALUEREDUCEDCO
15、STX10.0000001.680000X2168.0000000.000000X319.2000010.000000X40.0000000.000000X524.0000000.000000X60.0000001.520000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.0000003.1600003)0.0000003.2600004)76.0000000.0000005)0.00000044.0000006)0.00000032.000000增加1桶牛奶使利润增长3.1612=37.92增加1小时时间使利润增长3.2630元可增加1桶牛奶，3元可增加1小时时间，应否投资？
16、现投资150元，可赚回多少？投资150元增加5桶牛奶，可赚回189.6元。（大于增加时间的利润增长）第16页/共85页结果解释结果解释B1,B2的获利有10%的波动，对计划有无影响RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED:OBJCOEFFICIENTRANGESVARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLECOEFINCREASEDECREASEX124.0000001.680000INFINITYX216.0000008.1500002.100000X344.00000019.7500023.166667X432.0000002.026667INF
17、INITYX5-3.00000015.8000002.533334X6-3.0000001.520000INFINITYDORANGE(SENSITIVITY)ANALYSIS?YesB1获利下降10%，超出X3系数允许范围B2获利上升10%，超出X4系数允许范围波动对计划有影响波动对计划有影响生产计划应重新制订：如将x3的系数改为39.6计算，会发现结果有很大变化。第17页/共85页4.2 自来水输送与货机装运自来水输送与货机装运生产、生活物资从若干供应点运送到一些需求点，怎样安排输送方案使运费最小，或利润最大；运输问题各种类型的货物装箱，由于受体积、重量等限制，如何搭配装载，使获利最高，或
18、装箱数量最少。第18页/共85页其他费用:450元/千吨 应如何分配水库供水量，公司才能获利最多？若水库供水量都提高一倍，公司利润可增加到多少？元/千吨甲乙丙丁A160130220170B140130190150C190200230/引水管理费例例1 自来水输送自来水输送收入：900元/千吨支出A：50B：60C：50甲：30；50乙：70；70丙：10；20丁：10；40水库供水量(千吨)小区基本用水量(千吨)小区额外用水量(千吨)（以天计）第19页/共85页总供水量：160确定送水方案使利润最大问题问题分析分析A：50B：60C：50甲：30；50乙：70；70丙：10；20丁：10；40
19、总需求量(300)每个水库最大供水量都提高一倍每个水库最大供水量都提高一倍利润=收入(900)其它费用(450)引水管理费利润(元/千吨)甲乙丙丁A290320230280B310320260300C260250220/供应限制B,C类似处理问题讨论问题讨论 确定送水方案使利润最大需求约束可以不变第23页/共85页求解求解OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)88700.00VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX110.00000020.000000X12100.0000000.000000X130.00000040.000000X140.00000020.000000X
20、2130.0000000.000000X2240.0000000.000000X230.00000010.000000X2450.0000000.000000X3150.0000000.000000X320.00000020.000000X3330.0000000.000000这类问题一般称为“运输问题”(TransportationProblem)总利润 88700（元）A(100)B(120)C(100)甲(30;50)乙(70;70)丙(10;20)丁(10;40)4010050305030第24页/共85页如何装运，使本次飞行获利最大？三个货舱最大载重(吨),),最大容积(米3 3)例
21、例2 货机装货机装运运重量（吨）空间(米3/吨）利润（元/吨）货物1184803100货物2156503800货物3235803500货物4123902850三个货舱中实际载重必须与其最大载重成比例前仓：10；6800中仓：16；8700后仓：8；5300飞机平衡第25页/共85页决策决策变量变量 xij-第i 种货物装入第j 个货舱的重量(吨）i=1,2,3,4,j=1,2,3(分别代表前、中、后仓)模型假设模型假设 每种货物可以分割到任意小；货机装运货机装运每种货物可以在一个或多个货舱中任意分布；多种货物可以混装，并保证不留空隙；模型建立模型建立 第26页/共85页货舱容积 目标目标函数函
22、数(利润利润)约束约束条件条件货机装运货机装运模型建立模型建立 货舱重量 10；680016；87008；5300 xij-第i 种货物装入第j 个货舱的重量第27页/共85页约束约束条件条件平衡要求 货物供应 货机装运货机装运模型建立模型建立 10；680016；87008；5300 xij-第i 种货物装入第j 个货舱的重量第28页/共85页OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)121515.8VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX110.000000400.000000X120.00000057.894737X130.000000400.000000X2110.00
23、00000.000000X220.000000239.473679X235.0000000.000000X310.0000000.000000X3212.9473690.000000X333.0000000.000000X410.000000650.000000X423.0526320.000000X430.000000650.000000货物2：前仓10,后仓5；货物3:中仓13,后仓3；货物4:中仓3。货机装运货机装运模型求解模型求解 最大利润约121516元货物供应点货舱需求点平衡要求运输问题运输问题的扩展第29页/共85页 如果生产某一类型汽车，则至少要生产8080辆，那么最优的生产计
24、划应作何改变？例例1 汽车厂生产计汽车厂生产计划划 汽车厂生产三种类型的汽车，已知各类型每辆车对钢材、劳动时间的需求，利润及工厂每月的现有量。小型中型大型现有量钢材（吨）1.535600劳动时间（小时）28025040060000利润（万元）234制订月生产计划，使工厂的利润最大。4.3 汽车生产与原油采购汽车生产与原油采购第30页/共85页设每月生产小、中、大型汽车的数量分别为x1,x2,x3汽车厂生产计划汽车厂生产计划 模型建立模型建立 小型中型大型现有量钢材1.535600时间28025040060000利润234线性规划模型(LP)第31页/共85页模型模型求解求解 3）模型中增加条件
25、：x1,x2,x3均为整数，重新求解。OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)632.2581VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX164.5161290.000000X2167.7419280.000000X30.0000000.946237ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.0000000.7311833)0.0000000.003226结果为小数，怎么办？1）舍去小数：取x1=64，x2=167，算出目标函数值z=629，与LP最优值632.2581相差不大。2）试探：如取x1=65，x2=167；x1=64，x2=168等，计算函数值z，通
26、过比较可能得到更优的解。但必须检验它们是否满足约束条件。为什么？第32页/共85页IP可用LINDO直接求解整数规划(IntegerProgramming,简记IP)“gin3”表示“前3个变量为整数”，等价于：ginx1ginx2ginx3IP的最优解x1=64，x2=168，x3=0，最优值z=632max2x1+3x2+4x3st1.5x1+3x2+5x3600280 x1+250 x2+400 x360000endgin3OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)632.0000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX164.000000-2.000000X2168.0
27、00000-3.000000X30.000000-4.000000模型求解模型求解 IP结果输出第33页/共85页其中3个子模型应去掉，然后逐一求解，比较目标函数值，再加上整数约束，得最优解：方法1：分解为8个LP子模型汽车厂生产计划汽车厂生产计划 若生产某类汽车，则至少生产8080辆，求生产计划。x1,x2,x3=0或 80 x1=80，x2=150，x3=0，最优值z=610第34页/共85页LINDO中对0-1变量的限定：inty1inty2inty3方法2：引入0-1变量，化为整数规划M为大的正数，可取1000OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)610.0000VARIAB
28、LEVALUEREDUCEDCOSTX180.000000-2.000000X2150.000000-3.000000X30.000000-4.000000Y11.0000000.000000Y21.0000000.000000Y30.0000000.000000 若生产某类汽车，则至少生产8080辆，求生产计划。x1=0 或 80 x2=0 或 80 x3=0 或 80最优解同前第35页/共85页NLP虽然可用现成的数学软件求解(如LINGO,MATLAB)，但是其结果常依赖于初值的选择。方法3：化为非线性规划非线性规划（Non-LinearProgramming，简记NLP）实践表明，本例
29、仅当初值非常接近上面方法算出的最优解时，才能得到正确的结果。若生产某类汽车，则至少生产8080辆，求生产计划。x1=0 或 80 x2=0 或 80 x3=0 或 80第36页/共85页应如何安排原油的采购和加工？例例2 原油采购与加原油采购与加工工 市场上可买到不超过1500吨的原油A：购买量不超过500吨时的单价为10000元/吨；购买量超过500吨但不超过1000吨时，超过500吨的 部分8000元/吨；购买量超过1000吨时，超过1000吨的部分6000元/吨。售价4800元/吨售价5600元/吨库存500吨库存1000吨汽油甲(A 50%)原油A原油B汽油乙(A 60%)第37页/共
30、85页决策决策变量变量 目标目标函数函数问题问题分析分析 利润：销售汽油的收入 -购买原油A的支出 难点：原油A的购价与购买量的关系较复杂甲(A 50%)AB乙(A 60%)购买xx11x12x21x224.8千元/吨5.6千元/吨原油A的购买量,原油A,B生产汽油甲,乙的数量c(x)购买原油A的支出利润利润(千元千元)c(x)如何表述？第38页/共85页原油供应 约束约束条件条件 x 500吨单价为10千元/吨；500吨 x 1000吨，超过500吨的8千元/吨；1000吨 x 1500吨，超过1000吨的6千元/吨。目标目标函数函数购买x ABx11x12x21x22库存500吨库存100
31、0吨第39页/共85页目标函数中c(x)不是线性函数，是非线性规划；对于用分段函数定义的c(x)，一般的非线性规划软件也难以输入和求解；想办法将模型化简，用现成的软件求解。汽油含原油A的比例限制约束约束条件条件甲(A 50%)AB乙(A 60%)x11x12x21x22第40页/共85页x1,x2,x3以价格10,8,6(千元/吨)采购A的吨数目标目标函数函数 只有当以10千元/吨的价格购买x1=500(吨)时，才能以8千元/吨的价格购买x2方法1 非线性规划模型，可以用LINGO求解模型求解模型求解x=x1+x2+x3,c(x)=10 x1+8x2+6x3 500吨 x 1000吨，超过50
32、0吨的8千元/吨增加约束x=x1+x2+x3,c(x)=10 x1+8x2+6x3 第41页/共85页方法1：LINGO求解Model:Max=4.8*x11+4.8*x21+5.6*x12+5.6*x22-10*x1-8*x2-6*x3;x11+x12x+500;x21+x220;2*x12-3*x220;x=x1+x2+x3;(x1-500)*x2=0;(x2-500)*x3=0;x1500;x2500;x30;x110;x120;x210;x220;x10;x20;x30;endObjectivevalue:4800.000VariableValueReducedCostX11500.0
33、0000.0000000E+00X21500.00000.0000000E+00X120.0000000E+000.0000000E+00X220.0000000E+000.0000000E+00X10.1021405E-1310.00000X20.0000000E+008.000000X30.0000000E+006.000000X0.0000000E+000.0000000E+00LINGO得到的是局部最优解，还能得到更好的解吗？用库存的500吨原油A、500吨原油B生产汽油甲，不购买新的原油A，利润为4,800千元。第42页/共85页y1,y2,y3=1以价格10,8,6(千元/吨)采购
34、A增加约束方法2 0-1线性规划模型，可用LINDO求解y1,y2,y3=0或1OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)5000.000VARIABLE VALUE REDUCEDCOSTY1 1.000000 0.000000Y2 1.000000 2200.000000Y3 1.000000 1200.000000X11 0.000000 0.800000X21 0.000000 0.800000X121500.0000000.000000X221000.0000000.000000X1 500.000000 0.000000X2 500.000000 0.000000X3 0.0
35、00000 0.400000X1000.0000000.000000购买1000吨原油A，与库存的500吨原油A和1000吨原油B一起，生产汽油乙，利润为5,000千元。x1,x2,x3以价格10,8,6(千元/吨)采购A的吨数y=0 x=0 x0y=1优于方法1的结果第43页/共85页b1b2b3b4方法3 b1 x b2，x=z1b1+z2b2，z1+z2=1，z1,z2 0,c(x)=z1c(b1)+z2c(b2).c(x)x1200090005000050010001500b2 x b3，x=z2b2+z3b3，z2+z3=1，z2,z3 0,c(x)=z2c(b2)+z3c(b3).
36、b3 x b4，x=z3b3+z4b4，z3+z4=1，z3,z4 0,c(x)=z3c(b3)+z4c(b4).直接处理处理分段线性函数c(x)第44页/共85页IP模型，LINDO求解，得到的结果与方法2相同.处理分段线性函数，方法3更具一般性bk x bk+1yk=1,否则,yk=0方法3 bk x bk+1,x=zkbk+z k+1bk+1zk+zk+1=1，zk,zk+1 0,c(x)=zkc(bk)+zk+1c(bk+1).c(x)x1200090005000050010001500b1b2b3b4对于k=1,2,3第45页/共85页分派问题4.4 接力队选拔和选课策略接力队选拔和
37、选课策略若干项任务分给一些候选人来完成，每人的专长不同，完成每项任务取得的效益或需要的资源就不同，如何分派任务使获得的总效益最大，或付出的总资源最少。若干种策略供选择，不同的策略得到的收益或付出的成本不同，各个策略之间有相互制约关系，如何在满足一定条件下作出决择，使得收益最大或成本最小。第46页/共85页丁的蛙泳成绩退步到115”2；戊的自由泳成绩进步到57”5,组成接力队的方案是否应该调整？如何选拔队员组成4 4 100100米混合泳接力队?例例1 混合泳接力队的选拔混合泳接力队的选拔 甲乙丙丁戊蝶泳106”857”2118”110”107”4仰泳115”6106”107”8114”2111
38、”蛙泳127”106”4124”6109”6123”8自由泳58”653”59”457”2102”45名候选人的百米成绩穷举法：组成接力队的方案共有5!=120种。第47页/共85页目标函数若选择队员i参加泳姿j 的比赛，记xij=1,否则记xij=0 0-1规划模规划模型型 cij(秒)队员i 第j 种泳姿的百米成绩约束条件每人最多入选泳姿之一ciji=1i=2i=3i=4i=5j=166.857.2787067.4j=275.66667.874.271j=38766.484.669.683.8j=458.65359.457.262.4每种泳姿有且只有1 1人 第48页/共85页模型求解模型
39、求解 最优解：x14=x21=x32=x43=1,其它变量为0;成绩为253.2(秒)=413”2MIN66.8x11+75.6x12+87x13+58.6x14+67.4x51+71x52+83.8x53+62.4x54SUBJECTTOx11+x12+x13+x14=1x41+x42+x43+x44=1x11+x21+x31+x41+x51=1x14+x24+x34+x44+x54=1ENDINT20输入LINDO求解 甲乙丙丁戊蝶泳106”857”2118”110”107”4仰泳115”6106”107”8114”2111”蛙泳127”106”4124”6109”6123”8自由泳58”
40、653”59”457”2102”4甲自由泳、乙蝶泳、丙仰泳、丁蛙泳.第49页/共85页丁蛙泳c43=69.675.2，戊自由泳c54=62.457.5,方案是否调整？方案是否调整？敏感性分析？乙蝶泳、丙仰泳、丁蛙泳、戊自由泳IP规划一般没有与LP规划相类似的理论，LINDO输出的敏感性分析结果通常是没有意义的。最优解：x21=x32=x43=x51=1,成绩为417”7c43,c54 的新数据重新输入模型，用LINDO求解 指派(Assignment)问题：每项任务有且只有一人承担，每人只能承担一项，效益不同，怎样分派使总效益最大.讨论讨论甲自由泳、乙蝶泳、丙仰泳、丁蛙泳.原方案第50页/共8
41、5页为了选修课程门数最少，应学习哪些课程？例例2 选课策略选课策略要求至少选两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课 课号课名学分所属类别先修课要求1微积分5数学2线性代数4数学3最优化方法4数学；运筹学微积分；线性代数4数据结构3数学；计算机计算机编程5应用统计4数学；运筹学微积分；线性代数6计算机模拟3计算机；运筹学计算机编程7计算机编程2计算机8预测理论2运筹学应用统计9数学实验3运筹学；计算机微积分；线性代数选修课程最少，且学分尽量多，应学习哪些课程？第51页/共85页0-1规划模型规划模型 决策变量决策变量 目标函数目标函数 xi=1选修课号i 的课程（xi=0不选）选修课程总数最少约
42、束条件约束条件最少2门数学课，3门运筹学课，2门计算机课。课号课名所属类别1微积分数学2线性代数数学3最优化方法数学；运筹学4数据结构数学；计算机5应用统计数学；运筹学6计算机模拟计算机；运筹学7计算机编程计算机8预测理论运筹学9数学实验运筹学；计算机第52页/共85页先修课程要求最优解：x1=x2=x3=x6=x7=x9=1,其它为0；6门课程，总学分210-1规划模型规划模型 约束条件约束条件x3=1必有x1=x2=1模型求解（LINDO）课号课名先修课要求1微积分2线性代数3最优化方法微积分；线性代数4数据结构计算机编程5应用统计微积分；线性代数6计算机模拟计算机编程7计算机编程8预测理
43、论应用统计9数学实验微积分；线性代数第53页/共85页学分最多多目标优化的处理方法：化成单目标优化。两目标两目标(多目标多目标)规划规划 讨论：选修课程最少，学分尽量多，应学习哪些课程？讨论：选修课程最少，学分尽量多，应学习哪些课程？课程最少以学分最多为目标，不管课程多少。以课程最少为目标，不管学分多少。最优解如上，6门课程，总学分21。最优解显然是选修所有9门课程。第54页/共85页多目标规划多目标规划 在课程最少的前提下以学分最多为目标。最优解：x1=x2=x3=x5=x7=x9=1,其它为0；总学分由21增至22。注意：最优解不唯一！课号课名学分1微积分52线性代数43最优化方法44数据
44、结构35应用统计46计算机模拟37计算机编程28预测理论29数学实验3 LINDO无法告诉优化问题的解是否唯一。可将x9=1易为x6=1增加约束 ，以学分最多为目标求解。第55页/共85页多目标规划多目标规划 对学分数和课程数加权形成一个目标，如三七开。最优解：x1=x2=x3=x4=x5=x6=x7=x9=1，其它为0；总学分28。课号课名学分1微积分52线性代数43最优化方法44数据结构35应用统计46计算机模拟37计算机编程28预测理论29数学实验3 第56页/共85页讨论与思考讨论与思考最优解与 1=0，2=1的结果相同学分最多多目标规划多目标规划 最优解与 1=1，2=0的结果相同课
45、程最少第57页/共85页4.5 饮料厂的生产与检修饮料厂的生产与检修单阶段生产计划多阶段生产计划生产批量问题生产批量问题企业生产计划企业生产计划考虑与产量无关的固定费用给优化模型求解带来新的困难外部需求和内部资源随时间变化第58页/共85页 安排生产计划,满足每周的需求,使4周总费用最小。存贮费:每周每千箱饮料 0.2千元。例例1 饮料厂的生产与检修计划饮料厂的生产与检修计划 在4周内安排一次设备检修，占用当周15千箱生产能力，能使检修后每周增产5千箱，检修应排在哪一周?周次需求量(千箱)生产能力(千箱)成本(千元/千箱)115305.0225405.1335455.4425205.5合计10
46、0135某种饮料4周的需求量、生产能力和成本第59页/共85页问题分析问题分析除第4周外每周的生产能力超过每周的需求；生产成本逐周上升；前几周应多生产一些。周次需求能力11530225403354542520合计100135成本5.05.15.45.5 饮料厂在第1周开始时没有库存；从费用最小考虑,第4周末不能有库存；周末有库存时需支出一周的存贮费；每周末的库存量等于下周初的库存量。模模型型假假设设 第60页/共85页目标函数约束条件产量、库存与需求平衡 决策变量 能力限制 非负限制 模型建立模型建立x1x4：第14周的生产量y1y3：第13周末库存量周次需求能力115302254033545
47、42520成本5.05.15.45.5存贮费:0.2(千元/周千箱)第61页/共85页模型求解模型求解 4周生产计划的总费用为528(千元)最优解：x1x4：15，40，25，20；y1y3：0，15，5.周次需求能力11530225403354542520成本5.05.15.45.5产量15402520库存01550LINDO求解第62页/共85页检修计划检修计划0-1变量wt：wt=1=1检修安排在第t周(t=1,2,3,4）在4周内安排一次设备检修，占用当周15千箱生产能力，能使检修后每周增产5千箱，检修应排在哪一周?检修安排在任一周均可周次需求能力1153022540335454252
48、0成本5.05.15.45.5约束条件能力限制 产量、库存与需求平衡条件不变 第63页/共85页增加约束条件：检修1 1次检修计划检修计划目标函数不变0-1变量wt：wt=1检修安排在第t周(t=1,2,3,4）LINDO求解总费用由528千元降为527千元检修所导致的生产能力提高的作用,需要更长的时间才能得到充分体现。最优解：w1=1,w2,w3,w4=0;x1x4：15,45,15,25；y1y3：0,20,0.第64页/共85页例例2 饮料的生产批量问题饮料的生产批量问题 安排生产计划,满足每周的需求,使4周总费用最小。存贮费:每周每千箱饮料 0.2千元。饮料厂使用同一条生产线轮流生产多
49、种饮料。若某周开工生产某种饮料,需支出生产准备费8千元。某种饮料4周的需求量、生产能力和成本周次需求量(千箱)生产能力(千箱)成本(千元/千箱)115305.0225405.1335455.4425205.5合计100135第65页/共85页生产批量问题的一般提法生产批量问题的一般提法ct 时段t 生产费用(元/件)；ht 时段t(末)库存费(元/件)；st 时段t 生产准备费(元)；dt 时段t 市场需求(件)；Mt 时段t 生产能力(件)。假设初始库存为0制订生产计划,满足需求,并使T个时段的总费用最小。决策变量决策变量 xt 时段t 生产量；yt 时段t(末)库存量；wt=1时段t 开工
50、生产 (wt=0不开工)。目标目标约束约束第66页/共85页混合混合0-1规划模型规划模型 最优解：x1x4：15，40，45，0；总费用：554.0(千元)生产批量问题的一般提法生产批量问题的一般提法将所给参数代入模型，用LINDO求解第67页/共85页生产中通过切割、剪裁、冲压等手段，将原材料加工成所需大小6钢管和易拉罐下料钢管和易拉罐下料原料下料问题原料下料问题按照工艺要求，确定下料方案，使所用材料最省，或利润最大第68页/共85页问题1.如何下料最节省?例例1 钢管下料钢管下料 问题2.客户增加需求：原料钢管:每根19米 4米50根 6米20根 8米15根 客户需求节省的标准是什么？由