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1、关于稳定性定义与稳定性条件第一页，讲稿共二十八页哦4.1.1 范数的概念范数的概念 1.向量的范数向量的范数 定义定义：n维向量空间维向量空间 的范数定义为的范数定义为:(4.1)2.矩阵的范数矩阵的范数 定义定义：mxn矩阵矩阵A的范数定义为的范数定义为:(4.2)第二页，讲稿共二十八页哦 (4.3)4.1.2 平衡状态平衡状态 系系统统没没有有输输入入作作用用时时，处处于于自自由由运运动动状状态态。当当系系统统到到达达某某状状态态，并并且且维维持持在在此此状状态态而而不不再再发发生生变变化化的的，这这样样的状态称为系统的的状态称为系统的平衡状态平衡状态。根根据据平平衡衡状状态态的的定定义义
2、可可知知,连连续续系系统统 的的平平衡衡状状态态 是是满满足足平平衡衡方方程程 即即 的的系系统统状状态态。离离散散系系统统 的的平平衡衡状状态态，是是对对所所有有的的k，都都满满足足平平衡衡方方程程 的的系系统状态。统状态。第三页，讲稿共二十八页哦 首先讨论线性系统 的平衡状态。由于平衡状态为 ，因此，当A为非奇异矩阵时，系统只有一个平衡状态 ；当A为奇异矩阵时，系统有无穷多个平衡状态。对于非线性系统，可能有一个平衡状态，也对于非线性系统，可能有一个平衡状态，也可能有多个平衡状态可能有多个平衡状态。这些平衡状态都可以由平衡方程解得。下面举例说明。第四页，讲稿共二十八页哦 例例4.1 求下列非
3、线性系统的平衡状态求下列非线性系统的平衡状态 解解 由平衡状态定义，平衡状态由平衡状态定义，平衡状态 应满足应满足:得非线性系统有得非线性系统有三个平衡状态三个平衡状态：,.第五页，讲稿共二十八页哦4.1.3 李雅普诺夫稳定性定义李雅普诺夫稳定性定义 1.稳定稳定 定义定义:如果对于任意给定的每个实数如果对于任意给定的每个实数 ,都对都对应存在着另一实数应存在着另一实数 ,使得从满足不等式使得从满足不等式 的任意初态的任意初态 出发的系统响应出发的系统响应,在所有的时间内都在所有的时间内都满足满足 则称系统的平衡状态则称系统的平衡状态 是是稳定稳定的的.若若 与与 的选取无关的选取无关,则称平
4、衡状态则称平衡状态 是是一致稳定一致稳定的的.第六页，讲稿共二十八页哦l2.渐近稳定渐近稳定 定定义义：若若平平衡衡状状态态 是是李李雅雅普普诺诺夫夫意意义义下下稳稳定定的的，并并且且当当 时时，,即即 ，则则称称平平衡状态是衡状态是渐进稳定渐进稳定的。的。3.大范围（渐近）稳定大范围（渐近）稳定 定定义义：如如果果对对任任意意大大的的 ，系系统统总总是是稳稳定定的的，则则称称系系统统是是大大范范围围（渐渐进进）稳稳定定的的。如如果果系系统统总总是是渐渐进进稳定的，则称系统是稳定的，则称系统是大范围渐进稳定大范围渐进稳定的。的。第七页，讲稿共二十八页哦 4.不稳定不稳定 定定义义：如如果果对对
5、于于某某一一实实数数 ，不不论论 取取多多小小，由由 内内出出发发的的轨轨迹迹，至至少少有有一一条条轨轨迹迹越越出出 ，则称平衡状态为则称平衡状态为不稳定不稳定.上上述述定定义义对对于于离离散散系系统统也也是是适适用用的的，只只是是将将连连续时间续时间t理解为离散时间理解为离散时间k。注注意意:稳稳定定性性讨讨论论的的是是系系统统没没有有输输入入（包包括括参参考考输输入入和和扰扰动动）作作用用或或者者输输入入作作用用消消失失以以后后的的自自由由运运动动状状态态。所所以以，通通常常通通过过分分析析系系统统的的零零输输入入响响应应，或或者者脉冲响应脉冲响应来分析系统的稳定性。来分析系统的稳定性。第
6、八页，讲稿共二十八页哦4.1.4 线性定常连续系统的稳定性条件线性定常连续系统的稳定性条件 1.SISO线性定常连续系统稳定的条件线性定常连续系统稳定的条件 设描述设描述SISO线性定常连续系统的微分方程为线性定常连续系统的微分方程为:(4.4)则系统的特征方程为则系统的特征方程为:(4.5)第九页，讲稿共二十八页哦 设设 特特 征征 方方 程程(4.5)有有k个个 实实 根根 ，r对对 共共 轭轭 复复 根根 ，则系统的脉冲响应为，则系统的脉冲响应为:(4.6)从上式可以看出：从上式可以看出：1）若若 ，均均为为负负实实部部，则则有有 ，因因此此，当当所有特征根的实部都为负时，系统是所有特征
7、根的实部都为负时，系统是稳定稳定的；的；2）若若 ，中中有有一一个个或或者者几几个个为为正正，则则有有 ，因因此此，当当特特征征根根中中有有一一个个或或者者几几个个为为正正实实部部时时，系统是系统是不稳定不稳定的；的；第十页，讲稿共二十八页哦l3）若）若 中有一个或者几个为零中有一个或者几个为零,而其它而其它 ，均为负，则有均为负，则有 为常数。若为常数。若 中有一个或者中有一个或者几个为零，而其它几个为零，而其它 、均为负，则均为负，则y(t)y(t)的稳态分的稳态分量则为正弦函数。因此，当特征根中有一个或者量则为正弦函数。因此，当特征根中有一个或者几个为零，而其它极点均为负实部时，系统是一
8、几个为零，而其它极点均为负实部时，系统是一种临界情况，称为种临界情况，称为临界稳定临界稳定的。临界稳定在李氏的。临界稳定在李氏稳定性意义下是稳定的，但在工程上是不允许系稳定性意义下是稳定的，但在工程上是不允许系统工作在临界稳定状态的，所以，临统工作在临界稳定状态的，所以，临界稳定在工程界稳定在工程上是不稳定的。上是不稳定的。结结论论：线线性性定定常常连连续续系系统统稳稳定定的的充充分分必必要要条条件件是是，系系统统的的全全部部特特征征根根或或闭闭环环极极点点都都具具有有负负实实部部，或或者者说说都位于复平面左半部。都位于复平面左半部。l 第十一页，讲稿共二十八页哦 2.MIMO线性定常连续系统
9、稳定的条件线性定常连续系统稳定的条件 描述描述MIMO线性定常连续系统的状态方程为：线性定常连续系统的状态方程为：（4.7）设设A有有相相异异特特征征值值 ，则则存存在在非非奇奇异异线线性性变变换换 ，使使 为对角矩阵，即为对角矩阵，即:非奇异线性变换后的状态方程的零输入解为非奇异线性变换后的状态方程的零输入解为:第十二页，讲稿共二十八页哦 由于由于 ，所以，原状态方程的零输入，所以，原状态方程的零输入解为解为:(4.8)可见可见 (4.9)将上式展开将上式展开,的每个元素都是的每个元素都是 的线性组合，的线性组合，所以可写成矩阵多项式所以可写成矩阵多项式:第十三页，讲稿共二十八页哦 所以所以
10、 (4.10)从上式可见，当从上式可见，当A A的所有特征值位于的所有特征值位于复平面左半平复平面左半平面面，即，即 ，则对任意，则对任意x(0)x(0)，有，有 ，系统，系统渐进稳定渐进稳定。只要有一个特征只要有一个特征值值的的实部大于零实部大于零，对对于于 ，系，系统统不稳定不稳定。当有特征值的当有特征值的实实部等于零部等于零，而其它特征值的，而其它特征值的实部小于零实部小于零，则随着时，则随着时间的增加，间的增加，x(t)趋于常值或者为正弦波，系统是趋于常值或者为正弦波，系统是李李雅普诺夫意义下稳定雅普诺夫意义下稳定的，或者称为的，或者称为临界稳定临界稳定的。的。第十四页，讲稿共二十八页
11、哦 当当A具具有有重重特特征征值值时时,x(t)含含有有 诸诸项，稳定性结论同上。项，稳定性结论同上。结结论论：MIMO线线性性定定常常连连续续系系统统稳稳定定的的充充分分必必要要条条件件是是，系系统统矩矩阵阵A的的全全部部特特征征值值具具有有负负实实部部，或或者者说说都都位位于于复复平平面面左左半部半部。第十五页，讲稿共二十八页哦4.1.5 线性定常离散系统的稳定线性定常离散系统的稳定性性 1.SISO线性定常离散系统稳定性条件线性定常离散系统稳定性条件 设线性定常离散系统的脉冲传递函数为设线性定常离散系统的脉冲传递函数为 ，则系统，则系统输出的输出的Z变换为变换为：(4.11)现在讨论系统
12、在现在讨论系统在单位脉冲序列离散信单位脉冲序列离散信(R(z)=1)作用下作用下的输出响应序列。的输出响应序列。第十六页，讲稿共二十八页哦 （1）有个互异的单极点有个互异的单极点 ，。Y(z)可以展成可以展成:相应的脉冲响应序列为相应的脉冲响应序列为:(4.12)如如果果所所有有的的极极点点在在单单位位圆圆内内,即即 ，则则 ，所以所以，系统是系统是渐近稳定渐近稳定的的。第十七页，讲稿共二十八页哦 如如果果其其中中有有一一个个极极点点在在单单位位圆圆上上，设设 ，而而其其余余极极点点均均在在单单位位圆圆内内，则则 ，所所以以，系系统是统是李雅普诺夫意义下稳定李雅普诺夫意义下稳定的，又称的，又称
13、临界稳定临界稳定。如如 果果有有 一一 个个 或或 一一 个个 以以 上上 的的 极极 点点在在单单 位位 圆圆 外外,则则 ，所以，系统是，所以，系统是不稳定不稳定的。的。第十八页，讲稿共二十八页哦 （2）有一对共轭复数极点有一对共轭复数极点 对应这一对复数极点的脉冲响应序列是对应这一对复数极点的脉冲响应序列是:由于特征方程是实系数，由于特征方程是实系数，所以，所以，必定是必定是共轭共轭的。的。设设 第十九页，讲稿共二十八页哦 代入上式得代入上式得:(4.13)由由此此可可见见，该该对对复复数数极极点点若若在在单单位位圆圆内内（），系系统统是是渐渐近近稳稳定定的的；若若在在单单位位圆圆外外（
14、），系系统统是是不不稳稳定定的的；在在单单位位圆圆上上（），系系统统是是临临界稳定的。界稳定的。第二十页，讲稿共二十八页哦（3）含有重极点含有重极点 不失一般性，设含有两重极点不失一般性，设含有两重极点 ，则，则Y(z)可展开为可展开为:对应的脉冲响应序列为对应的脉冲响应序列为:(4.14)第二十一页，讲稿共二十八页哦 显显然然，若若重重极极点点在在单单位位圆圆内内，即即 ，系系统统是是渐渐近近稳稳定定的的；重重极极点点在在单单位位圆圆外外,即即 ，系系统统是是不不稳稳定定的的；重重极极点点在在单单位位圆圆上上,即即 ，由由式式（4.14）可可得得:系统是系统是不稳定不稳定的。的。结结论论：线
15、线性性定定常常离离散散系系统统稳稳定定的的充充分分必必要要条条件件是是，闭闭环环脉脉冲冲传传递递函函数数的的所所有有极极点点都都位位于于平平面面的的单单位位圆圆内内。第二十二页，讲稿共二十八页哦 2.MIMO线性定常离散系统稳定性条件线性定常离散系统稳定性条件 设线性定常离散系统的状态方程为设线性定常离散系统的状态方程为:(4.15)做非奇异线性变换做非奇异线性变换 ,式式(4.15)变换为变换为:(4.16)第二十三页，讲稿共二十八页哦 （1）A有有n个互异的特征值个互异的特征值 ，总可以找到一个总可以找到一个非奇异阵非奇异阵P，使矩阵，使矩阵 化为化为对角对角型型，即，即 于是于是 (4.
16、17)根据状态转移矩阵的定义，方程根据状态转移矩阵的定义，方程(4.17)的解为的解为 (4.18)第二十四页，讲稿共二十八页哦 变换回原来的变量，有变换回原来的变量，有 (4.19)由式由式(4.19)看出：当看出：当 时，时，的充分必要条的充分必要条件是件是 ，。（2）特征值是特征方程的重根）特征值是特征方程的重根 不不失失一一般般性性，设设为为两两重重根根。经经非非奇奇异异线线性性变变换换可可以以化化为为下面的下面的约当型约当型：(4.20)第二十五页，讲稿共二十八页哦 状态方程状态方程(4.20)的状态转移矩阵为的状态转移矩阵为:齐次方程齐次方程(4.20)的解为的解为:(4.21)显然，当显然，当 时，时，都趋于零的充分必都趋于零的充分必要条件是要条件是 。第二十六页，讲稿共二十八页哦 结论结论：线性定常离散系统稳定的充分必要线性定常离散系统稳定的充分必要条件是条件是:所有特征值全部在复平面的单位所有特征值全部在复平面的单位圆内。圆内。第二十七页，讲稿共二十八页哦感感谢谢大大家家观观看看第二十八页，讲稿共二十八页哦