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1、http:/mooker.80.hk关于二重积分的计算方法(2)第1页，讲稿共29张，创作于星期一http:/mooker.80.hk2 在直角坐标系下用平行在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区于坐标轴的直线网来划分区域域D，故二重积分可写为故二重积分可写为D则面积元素为则面积元素为一、利用直角坐标系计算二重积分一、利用直角坐标系计算二重积分第2页，讲稿共29张，创作于星期一http:/mooker.80.hk3(2)如果积分区域为：如果积分区域为：其中函数其中函数 、在区间在区间 上连续上连续.X型型第3页，讲稿共29张，创作于星期一http:/mooker.80.hk4回忆回忆：平
2、行截面面积为已知的立体的体积：平行截面面积为已知的立体的体积立体体积立体体积此方法关键是求此方法关键是求第4页，讲稿共29张，创作于星期一http:/mooker.80.hk5计算截面面积计算截面面积(红色部分即红色部分即A(x0)以以D为底为底,以曲面以曲面为顶的曲顶柱体的体积为顶的曲顶柱体的体积.应用计算应用计算“平行截平行截面面积为已知的立面面积为已知的立体求体积体求体积”的方法的方法.用二重积分的几何意义说明其计算法用二重积分的几何意义说明其计算法:是区间是区间为曲边的曲边梯形为曲边的曲边梯形.为底为底,曲线曲线 第5页，讲稿共29张，创作于星期一http:/mooker.80.hk6
3、A(x0)先对先对y后对后对x的二次积分的二次积分(累次累次积分积分)第6页，讲稿共29张，创作于星期一http:/mooker.80.hk7(2)积分区域积分区域为：为：先对先对x后对后对y的二次积分的二次积分也即也即其中函数其中函数 在区间在区间 上连续上连续.Y型型第7页，讲稿共29张，创作于星期一http:/mooker.80.hk81.当当D既不是既不是X-型区域也不是型区域也不是Y-型区域时型区域时,将将D分成几部分，使每部分是分成几部分，使每部分是X-型区域或是型区域或是Y-型区域型区域.2.当当D既是既是X-型区域也是型区域也是Y-型区域时型区域时,可以用两可以用两个公式进行计
4、算个公式进行计算.yx0yx0cdabD第8页，讲稿共29张，创作于星期一http:/mooker.80.hk9特殊地特殊地即等于两个定积分的乘积即等于两个定积分的乘积.D为矩形域为矩形域:则则则则axb,cyd第9页，讲稿共29张，创作于星期一http:/mooker.80.hk10二重积分是二重积分是化为化为两次定积分两次定积分来计算的，来计算的，关键关键是确是确定积分限定积分限.定限要注意的问题：定限要注意的问题：1.上限上限下限下限.2.内层积分的上，下限应为外层积分变量的函数内层积分的上，下限应为外层积分变量的函数.3.外层积分上，下限应为常数外层积分上，下限应为常数(后积先定限后积
5、先定限).4.4.二重积分的结果应为常数二重积分的结果应为常数.第10页，讲稿共29张，创作于星期一http:/mooker.80.hk11例例 计算计算其中其中D是由直线是由直线y=1,x=2及及y=x所围成的闭区域所围成的闭区域.解法解法1 1：先先y后后x xyx012y=xy=1x=2第11页，讲稿共29张，创作于星期一http:/mooker.80.hk12解法解法2 2：先先x后后yyx012y=xx=2 y第12页，讲稿共29张，创作于星期一http:/mooker.80.hk13解解例例 计算计算(1,1)第13页，讲稿共29张，创作于星期一http:/mooker.80.hk
6、14选取积分次序选取积分次序,不仅要看区域的特点不仅要看区域的特点,而且要看被积函数而且要看被积函数的特点的特点.凡遇如下形式积分凡遇如下形式积分:等等等等,一定要放在一定要放在后面积分后面积分.第14页，讲稿共29张，创作于星期一http:/mooker.80.hk15解解积分区域如图积分区域如图例例 改变积分改变积分 的次序的次序.第15页，讲稿共29张，创作于星期一http:/mooker.80.hk16例例交换积分次序：交换积分次序：解解原式原式=第16页，讲稿共29张，创作于星期一http:/mooker.80.hk17例例交换积分次序：交换积分次序：解解积分区域积分区域:原式原式=
7、第17页，讲稿共29张，创作于星期一http:/mooker.80.hk18例例 求证求证 左边的累次积分中左边的累次积分中,提示提示不能直接计算，不能直接计算，是是y的抽象函数的抽象函数,证毕证毕.要先交换积分次序要先交换积分次序.证明证明第18页，讲稿共29张，创作于星期一http:/mooker.80.hk19例例 求两个底圆半径为求两个底圆半径为R,且这两个圆柱面的方程分别为且这两个圆柱面的方程分别为 及及 解解 求所围成的求所围成的立体的体积立体的体积.第19页，讲稿共29张，创作于星期一http:/mooker.80.hk20解解曲面围成的立体如图曲面围成的立体如图.例例 求由下列
8、曲面所围成的立体体积，求由下列曲面所围成的立体体积，第20页，讲稿共29张，创作于星期一http:/mooker.80.hk21第21页，讲稿共29张，创作于星期一http:/mooker.80.hk22例例解解第22页，讲稿共29张，创作于星期一http:/mooker.80.hk23补充补充轮换轮换对称性结论对称性结论:若若D关于关于x,y满足轮换对称性满足轮换对称性(将将D的边界曲线的边界曲线方程中的方程中的x与与y交换位置交换位置,方程不变方程不变),则则第23页，讲稿共29张，创作于星期一http:/mooker.80.hk24证证所以所以,例例第24页，讲稿共29张，创作于星期一h
9、ttp:/mooker.80.hk25二重积分在直角坐标下的计算公式二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择（在积分中要正确选择积分次序积分次序）小结小结Y型型X型型（1）化二重积分为二次积分；）化二重积分为二次积分；（2）交换积分次序；）交换积分次序；题型题型第25页，讲稿共29张，创作于星期一http:/mooker.80.hk26作业作业习题习题8-2(1)8-2(1)(77(77页页)3.(1)(3)(4)4.5.6.(1)(2)7.(2)(3)第26页，讲稿共29张，创作于星期一http:/mooker.80.hk27 计算计算(学生练习学生练习）答案答案：第27页，讲稿共29张，创作于星期一http:/mooker.80.hk28解解由给出的积分画出相由给出的积分画出相应的积分区域应的积分区域练习练习第28页，讲稿共29张，创作于星期一http:/mooker.80.hk07.04.2023感感谢谢大大家家观观看看第29页，讲稿共29张，创作于星期一