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1、衍射和傅里叶光学的数理基础现在学习的是第1页，共52页傅里叶光学，就是采用傅里叶分析（频谱分傅里叶光学，就是采用傅里叶分析（频谱分析）的方法来分析光学问题。析）的方法来分析光学问题。所讨论的问题仍然是有关光波的传播、分解所讨论的问题仍然是有关光波的传播、分解与叠加（干涉、衍射）、光学系统的成像规与叠加（干涉、衍射）、光学系统的成像规律。律。傅里叶分析方法的引入，使人们对各种光学傅里叶分析方法的引入，使人们对各种光学现象的本质和内在规律有了更深入地了解和现象的本质和内在规律有了更深入地了解和认识。认识。傅里叶光学已成为光学中的一个分支。傅里叶光学已成为光学中的一个分支。第 二 章 衍射和傅立叶光
2、学的数理基础 现在学习的是第2页，共52页时间分解时间分解原子发光是断续，它总是发出具有一定持续时间的波原子发光是断续，它总是发出具有一定持续时间的波列，这样的光波不是单色光波，波动方程会变的很复列，这样的光波不是单色光波，波动方程会变的很复杂，它的特性也不能很容易得到。杂，它的特性也不能很容易得到。用这样的光波叠加、分解时，几乎无法对它进行计算。用这样的光波叠加、分解时，几乎无法对它进行计算。用傅里叶数学方法就可以把这样一个在时间上有限用傅里叶数学方法就可以把这样一个在时间上有限的波列，即一个的波列，即一个“多时间频率多时间频率”成分的成分的“多色多色”光光波，分解成许多无限长波列的简谐波，
3、即许多单频波，分解成许多无限长波列的简谐波，即许多单频率成分的单色光波的叠加。这是傅里叶方法用于光率成分的单色光波的叠加。这是傅里叶方法用于光学中的学中的“时间分解时间分解”。第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 现在学习的是第3页，共52页空间频谱分解空间频谱分解在传播中或与物质相互作用中，在空间上受到种种限在传播中或与物质相互作用中，在空间上受到种种限制的单色光波，其简谐波在空间范围内的延续性受到制的单色光波，其简谐波在空间范围内的延续性受到了破坏，也同样使得光波成为了非单色光。了破坏，也同样使得光波成为了非单色光。采用傅里叶方法把这些空间受限或空间调制的波面进行采用傅里叶方法把这些空间
4、受限或空间调制的波面进行分解，可以得到许多不同方向或不同空间频率的平面波分解，可以得到许多不同方向或不同空间频率的平面波成分，这个分解称为空间频谱分解。成分，这个分解称为空间频谱分解。第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 现在学习的是第4页，共52页对于诸如光的传播、叠加对于诸如光的传播、叠加(干涉干涉)、衍射及成像等光学现、衍射及成像等光学现象，传统的方法是在空间城中直接讨论。象，传统的方法是在空间城中直接讨论。利用傅里叶方法就可以把对这些现象的分析转化到频利用傅里叶方法就可以把对这些现象的分析转化到频率城中，用频谱分析方法进行讨论，因为有时候，在率城中，用频谱分析方法进行讨论，因为有时候
5、，在空间分析这些问题是很困难的。空间分析这些问题是很困难的。可以说，傅里叶分析方法促进了现代光学的发展。可以说，傅里叶分析方法促进了现代光学的发展。第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 现在学习的是第5页，共52页第一节第一节 常用非初等函数常用非初等函数 所谓初等函数，是指在自变量的定义域内，能用单一解析所谓初等函数，是指在自变量的定义域内，能用单一解析式对五种基本初等函数进行有限次数的四则运算和复合所式对五种基本初等函数进行有限次数的四则运算和复合所构成的函数。构成的函数。在函数论中，有五种函数被称为基本初等函数：幂函在函数论中，有五种函数被称为基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、
6、三角函数和反三角函数。数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。非初等函数是我们光学中常用的数学工具。非初等函数是我们光学中常用的数学工具。非初等函数是指在自变量的定义域中，不能用单一非初等函数是指在自变量的定义域中，不能用单一解析式表示的函数。解析式表示的函数。第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 现在学习的是第6页，共52页一、标准形式的一维非初等函数一、标准形式的一维非初等函数 sinc函数严格来说并不是非初等函数，但是。我们在函数严格来说并不是非初等函数，但是。我们在讨论衍射问题是会用到。讨论衍射问题是会用到。第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 1.矩形函数矩形函数矩形函数又
7、称为门函数，记为矩形函数又称为门函数，记为 现在学习的是第7页，共52页矩形函数曲线下面积为矩形函数曲线下面积为1，即该函数满足：，即该函数满足：在光学上，常用矩形函数表示狭缝衍射孔径和矩形光源等。在光学上，常用矩形函数表示狭缝衍射孔径和矩形光源等。第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 2.sinc函数函数 sinc函数定义为：函数定义为：现在学习的是第8页，共52页它的中央极大被称为中央主极大，其宽度为它的中央极大被称为中央主极大，其宽度为2。其余称为次极大，宽度为其余称为次极大，宽度为1。在光学中，单缝的夫琅和费衍射后得到的复振幅就是在光学中，单缝的夫琅和费衍射后得到的复振幅就是一个一个
8、sinc函数。函数。曲线下面积为曲线下面积为1：第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 sinc函数的另一个定义：函数的另一个定义：Sinc函数的性质函数的性质 此时自变量是一个角度此时自变量是一个角度。现在学习的是第9页，共52页将将sinc函数平方，就得到：函数平方，就得到：第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 3.函数函数 振幅的平方是光振幅的平方是光的强度，所以，的强度，所以，函数表示的是单缝衍函数表示的是单缝衍射得到的光强。射得到的光强。现在学习的是第10页，共52页二、一维非初等函数的一般形式二、一维非初等函数的一般形式 在实际使用中，当然不可能总是只用到标准的函在实际使用中，当
9、然不可能总是只用到标准的函数，更经常用的应该是它们的一般形式。数，更经常用的应该是它们的一般形式。1.比例缩放、平移和反射比例缩放、平移和反射 一个一维矩形函数经过比例缩放、平移和反射后，一个一维矩形函数经过比例缩放、平移和反射后，得到一个一般形式的矩形函数：得到一个一般形式的矩形函数：第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 现在学习的是第11页，共52页各参数的意义各参数的意义 第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 a纵纵向向缩缩放因子。它放因子。它确定了函数的确定了函数的纵纵向向缩缩放放比例及反射（以比例及反射（以为轴为轴反射）反射）。b纵纵向平移因子。向平移因子。横向平移因子。横向平移
10、因子。L横向横向缩缩放因子。它确放因子。它确定了函数的横向定了函数的横向缩缩放比例及放比例及反射（以反射（以x=x0为轴反射）为轴反射）现在学习的是第12页，共52页2.非初等函数的四则运算和复合非初等函数的四则运算和复合 将非初等函数进行四则运算和复合后就可以将非初等函数进行四则运算和复合后就可以表示较为复杂的物理过程。矩形调制波。表示较为复杂的物理过程。矩形调制波。第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 该矩形调制波可表示为：该矩形调制波可表示为：现在学习的是第13页，共52页三、常用二维非初等函数三、常用二维非初等函数 二维非初等函数的形式和描述它时选用的坐标系有关。坐二维非初等函数的形
11、式和描述它时选用的坐标系有关。坐标系的选取原则是有利于函数的简化运算。标系的选取原则是有利于函数的简化运算。所以，非对称物理量通常选择在直角坐标系中来描述，所以，非对称物理量通常选择在直角坐标系中来描述，而具有圆对称分布的物理量就选择在极坐标中描述。而具有圆对称分布的物理量就选择在极坐标中描述。如果一个二维函数可以表示为：如果一个二维函数可以表示为：第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 则则称称这这个二个二维维函数函数为为可分离可分离变变量函数。量函数。现在学习的是第14页，共52页可分离变量函数可分离变量函数我们可以将它当作两个一维函数的乘积，即可以分别对一我们可以将它当作两个一维函数的乘
12、积，即可以分别对一维函数进行处理，再把它们乘起来即可。维函数进行处理，再把它们乘起来即可。二维函数的可分离性与描述它时选取的坐标系有关。二维函数的可分离性与描述它时选取的坐标系有关。1.直角坐标系中的二维非初等函数直角坐标系中的二维非初等函数 第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 二维矩形函数二维矩形函数现在学习的是第15页，共52页二维矩形函数二维矩形函数 二维矩形函数在直角坐标系中是可分离变量函数，它二维矩形函数在直角坐标系中是可分离变量函数，它的定义为：的定义为：第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 在光学中，这样的一个二维矩形函数常用在光学中，这样的一个二维矩形函数常用来描述一个均
13、匀照明方形小孔的振幅透射来描述一个均匀照明方形小孔的振幅透射系数。系数。现在学习的是第16页，共52页二维矩形函数的一般形式可表示为：二维矩形函数的一般形式可表示为：第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 它表示的是中心位于它表示的是中心位于 边长为边长为的均匀照明矩形孔径的均匀照明矩形孔径的振幅透射系数。的振幅透射系数。现在学习的是第17页，共52页2.极坐标系中的二维非初等函数极坐标系中的二维非初等函数 圆域函数又称为圆柱函数圆域函数又称为圆柱函数，记为：，记为：第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 或 它在极坐标系中定义为：它在极坐标系中定义为：它在直角坐标系中的定义为：它在直角坐标系
14、中的定义为：现在学习的是第18页，共52页在光学中，圆在光学中，圆域函数常用来域函数常用来描述均匀照明描述均匀照明圆形孔径的透圆形孔径的透射系数。射系数。第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 现在学习的是第19页，共52页第二节第二节 光学中常用的特殊函数光学中常用的特殊函数 一、一、函数和梳状函数函数和梳状函数 狄拉克函数，也称为脉冲函数。狄拉克函数，也称为脉冲函数。第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 我们用我们用函数来表示任何在某种坐标系下高度集中函数来表示任何在某种坐标系下高度集中的量，如点电荷、点光源、质点以及又窄又强的电脉的量，如点电荷、点光源、质点以及又窄又强的电脉冲等。冲等
15、。对一个线性系统的复杂的输入，只需把复杂的输入分解对一个线性系统的复杂的输入，只需把复杂的输入分解成大量的成大量的函数的叠加，并对每个函数的叠加，并对每个函数适当加权定位。函数适当加权定位。我们只要知道系统对单个脉冲输入（即我们只要知道系统对单个脉冲输入（即函数）的响应，函数）的响应，则输出就可由系统对所有则输出就可由系统对所有函数的响应的叠加来获得，简函数的响应的叠加来获得，简化计算。化计算。正因为如此，在现代光学中正因为如此，在现代光学中函数的应用很广泛。函数的应用很广泛。现在学习的是第20页，共52页 函数又称为函数又称为“奇异函数奇异函数”或或“广义函数广义函数”，有两个原因：有两个原
16、因：一是一是函数没有确定的函数值，它只是一种极函数没有确定的函数值，它只是一种极限状态，并且它的极限状态与其余函数也不同，限状态，并且它的极限状态与其余函数也不同，它不收敛到一个定值，而是收敛到无穷大。它不收敛到一个定值，而是收敛到无穷大。二是二是函数不能像普通函数那样进行四则运算和函数不能像普通函数那样进行四则运算和乘幂运算，它对别的函数的作用只能通过积分乘幂运算，它对别的函数的作用只能通过积分来确定。来确定。第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 现在学习的是第21页，共52页1.一维一维函数的定义函数的定义 函数可以有两种不同的定义函数可以有两种不同的定义（1）分段函数形式的定义：）分段
17、函数形式的定义：第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 现在学习的是第22页，共52页 在光学中，在光学中，常用来表示位常用来表示位于坐标原点的具有单位光功率于坐标原点的具有单位光功率的点光源，这样的一个点光源，的点光源，这样的一个点光源，由于它所占的面积趋于零，所由于它所占的面积趋于零，所以在点光功率密度趋于无穷大。以在点光功率密度趋于无穷大。第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 即为即为 也可以被形象地比也可以被形象地比喻喻成如右成如右图图所示的正在不断向上拉伸的面所示的正在不断向上拉伸的面团团，这这时时无无论论将面将面团团拉得多高，面拉得多高，面团团的体的体积积、(这时这时不是面不是面
18、积积而是体而是体积积)总总是一定的，是一定的，而且，随着高度的增高，而且，随着高度的增高，宽宽度愈来愈度愈来愈窄。窄。中心在中心在 现在学习的是第23页，共52页（2）普通函数序列极限形式的定义）普通函数序列极限形式的定义 第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 设设是一个普通函数序列，是一个普通函数序列，在在时时具有无具有无穷穷大极大极值值，且，且对对于任意于任意，均有均有曲曲线线下面下面积积等于等于1。于是。于是函数可定函数可定义为义为：现在学习的是第24页，共52页 只要满足条件，所有的序列函数都可以用来定义只要满足条件，所有的序列函数都可以用来定义函函数。我们用矩形函数序列来说明数。我
19、们用矩形函数序列来说明函数的定义。函数的定义。第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 设设矩形函数矩形函数宽宽度度a，高度，高度为为1/a，其总面积为，其总面积为1，随着，随着宽度的减小，高度逐渐增大，宽度的减小，高度逐渐增大，当当a0时，高度时，高度1/a，此此时，矩形函数就演变成只在时，矩形函数就演变成只在x=0点有值的脉冲函数。点有值的脉冲函数。-2 -1-1/2 0 1/2 1 2现在学习的是第25页，共52页 从数学的观点来看，我们并不关心从数学的观点来看，我们并不关心函数本身函数本身的严格形式，而只关心它在积分号下的性态；从物的严格形式，而只关心它在积分号下的性态；从物理的角度来看
20、，我们只须把它看作足够窄，以至当理的角度来看，我们只须把它看作足够窄，以至当使它进一步变窄时不再影响我们所关心的结果使它进一步变窄时不再影响我们所关心的结果。第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 2.一维一维函数的性质函数的性质（1）积分性质）积分性质：函数的积分可以直接从定义推导出函数的积分可以直接从定义推导出来来：这一积分有时又称为这一积分有时又称为函数的强度。函数的强度。现在学习的是第26页，共52页根据根据函数的定义，还可以得到：函数的定义，还可以得到：函数的筛选性：函数的筛选性：第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 如果一个函数如果一个函数与与函数相乘并函数相乘并积积分分，则这则
21、这一一积积分有明确分有明确值值：函数的这一个性质的作用，是通过与连续函数相乘函数的这一个性质的作用，是通过与连续函数相乘的积分，筛选出连续函数在脉冲所在位置的一个函数值。的积分，筛选出连续函数在脉冲所在位置的一个函数值。现在学习的是第27页，共52页推论推论1:推论推论2：第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 若定义在区间，则有：（2）函数的乘积性质函数的乘积性质 设 在在x=x0点连续，则有：点连续，则有：现在学习的是第28页，共52页 函数的乘积性质又称抽样性质。它表示任一连续函数函数的乘积性质又称抽样性质。它表示任一连续函数与与函数相乘，其结果只能抽取该函数在函数相乘，其结果只能抽取该
22、函数在函数所在点函数所在点处的函数值，这个离散点为处的函数值，这个离散点为 第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 由这一性质，我们还可以得到这样的一个推论：由这一性质，我们还可以得到这样的一个推论：现在学习的是第29页，共52页（3）坐标缩放性质）坐标缩放性质 设设a为实常数，则有：为实常数，则有：第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 推论推论1：推论推论2：这就是这就是函数函数缩缩放性的含意。函数放性的含意。函数的面的面积现积现在是在是a而不是而不是1。现在学习的是第30页，共52页3.一维梳状函数一维梳状函数comb(x)（1）梳状函数的定义：）梳状函数的定义：呈周期排列的呈周期排列的
23、函数所组成的函数称为梳状函数，函数所组成的函数称为梳状函数，如图所示，如图所示，记为记为comb(x)，数学表达式为：，数学表达式为：第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 现在学习的是第31页，共52页（2）梳状函数的性质）梳状函数的性质 这其实就是间隔为这其实就是间隔为1，强度为，强度为1的的函数无穷序列，函数无穷序列，所以又称为单位脉冲序列或单位脉冲梳。在光学上，所以又称为单位脉冲序列或单位脉冲梳。在光学上，常用它来表示光栅常数为常用它来表示光栅常数为1的一维细缝光栅的振幅透射的一维细缝光栅的振幅透射系数。系数。第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 梳状函数的性质可由梳状函数的性质可由
24、函数的定义和性质直接求出。函数的定义和性质直接求出。梳状函数的筛选性梳状函数的筛选性 设设是定义在是定义在区间的连续函数，则有区间的连续函数，则有：现在学习的是第32页，共52页缩放性质：缩放性质：平移性质：设平移性质：设a和和x0皆为实常数，则有：皆为实常数，则有：第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 设设a为实常数，则有：为实常数，则有：这这是是强强度度为为，脉冲脉冲间间隔隔为为的函数无的函数无穷穷序列。其中，当序列。其中，当时时，脉冲，脉冲间间隔隔压缩压缩，当，当时时，脉冲，脉冲间间隔放大。隔放大。现在学习的是第33页，共52页乘法性质：乘法性质：除了常数除了常数a的缩放作用外，系统的
25、坐标原点同时的缩放作用外，系统的坐标原点同时向右平移了向右平移了x0/a。第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 这这一性一性质质又称又称为为函数的抽函数的抽样样性性质质。现在学习的是第34页，共52页4.二维二维函数和梳状函数函数和梳状函数 二维二维函数是可分离变量函数，即有函数是可分离变量函数，即有：第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 二二维维函数表示函数表示为为，它是位于坐它是位于坐标标平面平面上坐上坐标标原点原点处处的一个的一个单单位脉冲，当然，它的原点也可以位脉冲，当然，它的原点也可以在任意一点。在任意一点。现在学习的是第35页，共52页二维梳状函数是可分离变量函数，即有：二维梳
26、状函数是可分离变量函数，即有：第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 二二维维梳状函数表示梳状函数表示为为它是分布在平面它是分布在平面上的矩形网格上，上的矩形网格上，间间隔隔为为的二的二维单维单位脉冲序列，位脉冲序列，现在学习的是第36页，共52页二、贝塞尔函数二、贝塞尔函数1.n阶第一类贝塞尔函数的定义阶第一类贝塞尔函数的定义 第一类贝塞尔函数的定义为：第一类贝塞尔函数的定义为：第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 其中其中 函数具有以下性函数具有以下性质质：所以，当所以，当p为为正整数正整数时时，又称又称为阶为阶乘函数乘函数。现在学习的是第37页，共52页当当n为偶数时，有为偶数时，有
27、第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 为偶函数；当为为偶函数；当为n奇数时，有奇数时，有 为奇函数为奇函数。现在学习的是第38页，共52页2.贝塞尔函数的性质贝塞尔函数的性质 第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 现在学习的是第39页，共52页第三节第三节 傅立叶变换的基本概念及运算傅立叶变换的基本概念及运算 一、傅立叶级数及频谱的概念一、傅立叶级数及频谱的概念 1.傅立叶级数的定义傅立叶级数的定义 第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 设设周期周期为为的函数的函数满满足狄里赫利条件：足狄里赫利条件：（2）只存在有限个极）只存在有限个极值值点；点；（3）只存在有限个第一）只存在有限个第一
28、类间类间断点；断点；（4）绝对绝对可可积积，即，即（1）在）在区区间间分段分段连续连续；现在学习的是第40页，共52页则此函数可以被展开成傅立叶级数的形式：则此函数可以被展开成傅立叶级数的形式：其中其中:第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 以复指数函数表示的博里叶级数以复指数函数表示的博里叶级数 现在学习的是第41页，共52页由此可见：由此可见：第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 的基的基频频 称为 称为的的谐频谐频，或，或简简称称为频为频率。率。周期函数周期函数可以被分解可以被分解为为一系列一系列频频率率为为，复振幅复振幅为为的的谐谐波。波。现在学习的是第42页，共52页2.频谱的概
29、念频谱的概念 第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 按按频频率率的分布的分布图图形称形称为为的的频谱频谱。而。而通常是复数，所以又将它的模的通常是复数，所以又将它的模的值值随随的分布的分布图图称称为为的振幅的振幅频谱频谱，而，而的幅角随的幅角随的的变变化化图图就叫做就叫做的位相的位相频谱频谱。现在学习的是第43页，共52页 将一个给定的周期函数展开成傅里叶级数，将一个给定的周期函数展开成傅里叶级数，然后对它的各次谐波的频率和振幅进行分析，然后对它的各次谐波的频率和振幅进行分析，这就是频谱分析。这就是频谱分析。二、一维傅里叶变换的定义二、一维傅里叶变换的定义 第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理
30、基础 傅里叶变换可以表示为：傅里叶变换可以表示为：傅里叶逆变换表示为：傅里叶逆变换表示为：复指数函数复指数函数称称为为傅里叶傅里叶“核核”，它表示一个，它表示一个频频率率为为的的谐谐波成分。波成分。现在学习的是第44页，共52页用运算符号表示：用运算符号表示：第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 傅里叶变换可以表示为：傅里叶变换可以表示为：傅里叶逆变换表示为：傅里叶逆变换表示为：现在学习的是第45页，共52页三、广义傅里叶变换三、广义傅里叶变换 1.广义傅里叶变换的定义广义傅里叶变换的定义 第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 是一个存在狭是一个存在狭义义傅里叶傅里叶变换变换的的普通序列函
31、数，即有：普通序列函数，即有：（N为为整数）整数）如果如果可以表示可以表示为为的极限，即：的极限，即：现在学习的是第46页，共52页2.几种特殊函数的一维傅里叶变换几种特殊函数的一维傅里叶变换 第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 并且，当并且，当时时，的极限存在，于是可将的极限存在，于是可将的广的广义义傅里叶傅里叶变换变换定定义为义为：（1）矩形函数的傅里叶）矩形函数的傅里叶变换变换，则则它的傅里叶它的傅里叶变换为变换为：设设现在学习的是第47页，共52页（2）函数的傅里叶变换函数的傅里叶变换则它的傅里叶变换为则它的傅里叶变换为1。第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 设有一个设有一个函
32、数，其定函数，其定义为义为：根据梳状函数的定根据梳状函数的定义义和和函数的性质，可以得到：函数的性质，可以得到：（3）梳状函数的傅里叶梳状函数的傅里叶变换变换现在学习的是第48页，共52页四、二维傅里叶变换四、二维傅里叶变换1.直角坐标系中的二维傅里叶变换直角坐标系中的二维傅里叶变换（1）二维傅里叶变换的定义：）二维傅里叶变换的定义：第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 则则它的傅里叶它的傅里叶变换变换可表示可表示为为：是定是定义义在在设设平面上的空间函数，平面上的空间函数，即即为为的空的空间频谱间频谱。现在学习的是第49页，共52页（2）可分离变量函数的傅立叶变换）可分离变量函数的傅立叶变
33、换 一个二维函数在某种坐标系中若能写成两个一维一个二维函数在某种坐标系中若能写成两个一维函数的乘积，则称该函数在这种坐标系中是可分离函数的乘积，则称该函数在这种坐标系中是可分离变量函数。变量函数。第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 它的傅立叶变换为：它的傅立叶变换为：二维可分离变量函数的傅里叶变换可由两个一维傅里二维可分离变量函数的傅里叶变换可由两个一维傅里叶变换式的乘积来获得。叶变换式的乘积来获得。现在学习的是第50页，共52页2.极坐标系中的二维傅立叶变换极坐标系中的二维傅立叶变换（1）定义：若）定义：若第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 即有：即有：令 极坐标系中的二维傅立叶变换极坐标系中的二维傅立叶变换：现在学习的是第51页，共52页（2）圆对称函数的傅立叶变换）圆对称函数的傅立叶变换 圆对称函数：圆对称函数：第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 它的傅立叶变换它的傅立叶变换：也与幅角无关，可用表示也与幅角无关，可用表示为为 傅里叶傅里叶贝塞尔变换或零阶汉克尔变换贝塞尔变换或零阶汉克尔变换:逆变换逆变换:现在学习的是第52页，共52页