《第三讲不定积分的计算方法.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第三讲不定积分的计算方法.ppt（40页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第三讲不定积分的计算方法现在学习的是第1页，共40页第五、六章 一元函数的积分本章学习要求：熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式.熟悉不定积分基本运算公式.熟练掌握不定积分和定积分的换元法和分部积分法.掌握简单的有理函数积分的部分分式法.理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系.熟悉牛顿莱布尼兹公式（微积分基本定理）.理解广义积分的概念.能运用牛顿莱布尼兹公式计算广义积分。掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。能熟练运用定积分表达和计算一些量：平面图形的面积、旋转体的体积、经济应用问题等。现在学习的是第2页，共40页第4节.不定积分的换元法 利用积分性质和简单的积分表可以求
2、出不少函数的原函数,但实际上遇到的积分凭这些方法是不能完全解决的.现在介绍与复合函数求导法则相对应的积分方法 不定积分换元法.现在学习的是第3页，共40页一.不定积分的第一换元法:看出点什么东西没有看出点什么东西没有?原函数原函数?被积表达式被积表达式?也是被积表达式也是被积表达式?现在学习的是第4页，共40页定理该定理称为不定积分的第一换元法,也叫“凑微分”法。证明过程请看书!现在学习的是第5页，共40页4.见过的凑微分公式(方法):比如:dx=d(x+1);dx=d(2x+1);dx=d(x-3)(1).dx=d(ax+b)/a.(2).xadx=d(xa+1)/(a+1).比如:xdx=
3、d(x2)/2下面介绍两大类型被积函数的积分方法:现在学习的是第6页，共40页被积函数只是关于三角函数的积分计算问题:1.相应的凑微分公式(方法):(3).cosxdx=dsinx.(4).sinxdx=-dcosx.2.被积函数出现正余弦函数的奇数次幂时:二.三角函数的积分计算例:方法:拆出个正余弦的1次幂,再凑微分现在学习的是第7页，共40页3.被积函数都是正余弦函数的偶数次幂时:目标:利用三角公式(半角公式)把次数降低!具体方法(公式):等式左边是三角函数的2次,右边只有1次,次数降低了!现在学习的是第8页，共40页三、三、有理函数的积分有理函数的积分1.有理函数:时,为假分式;时,为真
4、分式有理函数相除多项式+真分 式分解若干部分分式之和现在学习的是第9页，共40页例1解之前的引之前的引入例入例:现在学习的是第10页，共40页2.分母可以因式分解(1次因式)时:先将分母因式分解1次因式;再利用待定系数法分解部分分式的和;对每个部分分式的计算积分.例13采用部分分式法计算步骤:现在学习的是第11页，共40页真分式分解为部分分式:比较等式2边得:A=-3,B=5现在学习的是第12页，共40页=-3ln(x-2)+5ln(x-3)+C现在学习的是第13页，共40页例14解部分分式法现在学习的是第14页，共40页3.分母出现不能因式分解(2次因式)时:采用的积分公式是:该分母不能因式
5、分解看下面这个相对简单的例子,再看个综合例子:(注意,这例子比较难!)现在学习的是第15页，共40页解解:原式例例15.求现在学习的是第16页，共40页(书本P219 例题4)例16想想它分子怎么设？利用待定系数法求得:A=2,B=-1,C=3现在学习的是第17页，共40页这个积分容易计算了这个积分容易计算了这个积分是新问题这个积分是新问题:分母不能因式分解分母不能因式分解!凑微分凑微分分母不能分解分母不能分解,进行配方进行配方现在学习的是第18页，共40页凑微分凑微分换元换元u=x-1/2现在学习的是第19页，共40页凑微分凑微分凑微分凑微分基本公式基本公式现在学习的是第20页，共40页再看
6、这个再看这个,将分母变将分母变成成u2+1凑微分凑微分现在学习的是第21页，共40页基本公式基本公式现在学习的是第22页，共40页好难好难!？注意步骤,不着急!优势:在方法一定可以完成!现在学习的是第23页，共40页第一类换元法解决的问题难求易求若所求积分易求,则得第二类换元积分法.难求，四四.不定积分的第二换元法不定积分的第二换元法:现在学习的是第24页，共40页现在学习的是第25页，共40页1.定理现在学习的是第26页，共40页下面介绍几种情况及处理方法:2.第一种情况第一种情况:这是第这是第2换元积分的最主要的用途换元积分的最主要的用途目标通常是一次函数的根式通常是一次函数的根式现在学习
7、的是第27页，共40页例17解直接令根式为新的积分变元直接令根式为新的积分变元现在学习的是第28页，共40页例18解直接令根式为新的积分变元直接令根式为新的积分变元这是前面的有理分式的积分这是前面的有理分式的积分,可以计算了可以计算了现在学习的是第29页，共40页因式分解部分分式法凑微分法现在学习的是第30页，共40页例19解现在学习的是第31页，共40页3.第二种情况第二种情况:这是第这是第2换元积分的最主要的用途换元积分的最主要的用途目标被积函数是二次函数根式的情形:又分下面3种情况:2.第一种情况第一种情况:被积函数是(一次)函数的根式,直接令根式为新的积分变元:现在学习的是第32页，共40页相应的三角公式是:变形:或变形:现在学习的是第33页，共40页 求解解:令则 原式例20现在学习的是第34页，共40页例21解现在学习的是第35页，共40页例22解现在学习的是第36页，共40页现在学习的是第37页，共40页例23解现在学习的是第38页，共40页说明说明:被积函数含有时,除采用采用双曲代换消去根式,所得结果一致.或或三角代换外,还可利用公式现在学习的是第39页，共40页原式例例24.求解解:令则原式当 x 0 时,类似可得同样结果.现在学习的是第40页，共40页