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1、第十一章高等数学中的辩证思想方法第十一章高等数学中的辩证思想方法第1页，此课件共48页哦第一节第一节 直与曲直与曲 直与曲是两个完全不同的数学概念。1、从直观形象看，前者平直后者弯曲；2、从几何特性来看，前者曲率为0，后者曲率不恒为0；3、从代数表达式来看，前者是线性方程，后者是非线性方程。因此,直与曲的差别是明显的,那么这两个差别如此显著的对立概念是否存在内在联系，能否在一定条件下互相转化呢？返回第2页，此课件共48页哦 恩格斯曾经指出“高等数学的主要基础之一是这样一个矛盾，在一定条件下直线和曲线应当是一回事。”高等数学正是利用直与曲以及其它一些矛盾的转化达到了初等数学所不能达到的目的。从高
2、等数学的思想方法中可以看出，直与曲除了有非直即曲的一面，也存在亦直亦曲的一面。存在直与曲之间的中介状态，通过这个中介状态实现直与曲的转化。第3页，此课件共48页哦 比如，曲线的渐近线是指,在曲线无限延伸时与一条定直线“无限接近，但永不相交”,其数学表达式如下确定:设曲线为yf（x），其渐近线为y=k xb，则 对于任意大的正数X,曲线y=f(x)上 当xX 时的那一部分是曲线还是直线？返回第4页，此课件共48页哦 答案当然应该是曲线。因为这部分是整个曲线yf（x）的一部分，这部分上每一点的曲率都不为0。但它又很象直线，而且延伸越远就越象直线,虽然每点曲率均不为0，但在延伸过程中，曲率无限趋近于
3、0。因此，在无限延伸部分就很难分出它是直线还是曲线，可以说它是“亦直亦曲”，是直线与曲线之间的一种中间状态。既是带有直线性质的曲线，也是具有“曲”性的“直线”，是直与曲对立的“中介”，它处于“亦直亦曲”的状态。返回第5页，此课件共48页哦 在高等数学中，利用直与曲的这种中介状态,实现局部范围内的“以直代曲”，是高等数学中的一种基本的辩证思想方法。例1求曲边梯形的面积。第一步：化整为零.首先，把曲边梯形的底边任意分成n段，然后以每一小段为底边，用平行于y轴的直线把曲边梯形分割成n个小的曲边梯形。返回第6页，此课件共48页哦第二步：以直代曲。在每个小曲边梯形中把曲边看成直边，于是就可以用这些小“直
4、边矩形”的面积近似地代小曲边梯形的面积。这样在分割的条件下实现了局部的“以直代曲”。第三步：积零为整。把n个小“直边矩形”的面积累加起来，用这n个小直边矩形的面积之和在整体上近似地代替原曲边梯形的面积。这种代替当然是有误差的,为了消除这种误差，还需进行第四步。第7页，此课件共48页哦第四步：取极限。通过取极限，再把分割无限加细，近似程度会越来越高，从而使小直边矩形面积的和转化为原来曲边梯形的面积。这样一来，局部的“直”经过无限积累又反过来转化为整体的“曲”，最后得出了曲边梯形的面积。这就是定积分定义中分割、求和、取极限的辩证思维过程。返回第8页，此课件共48页哦 必须指出：“直曲转化”是有条件
5、的，并非任何情况下都可“以直代曲”。如，求半径为r的半圆周长。如果我们不是用弦来代替圆弧，而是用平行于直径的线段来代替圆弧,则结果求得半圆周长为2r;返回 如果我们用平行于直径的线段与垂直于直径的线段构成的折线段来代替圆弧，则结果求得半圆周长为4r。这些显然都是错误结论.错误的根本原因在于“以直代曲”过程中，并不是用等价无穷小去代替。因此，在将直曲转化的辩证思想运用到具体问题中时，必须注意可转化的条件。第9页，此课件共48页哦第二节第二节 常量与变量常量与变量一、常量在一定条件下具有任意性一、常量在一定条件下具有任意性 比如，数列极限定义中的 又如，不定积分中的积分常数C 二、常量与变量的相对
6、性二、常量与变量的相对性 高等数学被称为变量数学，这是相对于初等数学而言的。其实在高等数学中，常量与变量既有着严格的区分，又相互依存，相互渗透，在一定条件下相互转换。返回第10页，此课件共48页哦如：在函数概念中，常量与变量是对于某一过程而言的.例如，某架飞机从甲地飞往乙地，在飞行过程中，我们说飞机离开甲地的距离;飞机上汽油的储存量;飞机离地面的高度等都是变量.而飞机上乘客的人数;飞机上行李的重量等都是常量.但是，飞机上行李的重量是否一定是常量呢？因为飞机离地面的高度在变化，飞机上行李的重量也在变化，只不过这个变化较之于飞机离开甲地的距离，飞机上汽油的储存量它变化很小，几乎没有变化，因此可以看
7、作常量。再如，在多元函数微积分中，为了研究某一个变量的性态，往往把其余变量看作常量。返回第11页，此课件共48页哦中学数学中变量与常量的转换应用举例例1：解方程第12页，此课件共48页哦 分析：由于该方程为三次方程，直接求出x较为困难，而 的平方等于3，故可以把常量3与变量x的地位转化一下，可以令 =y则原方程变为 从而就转化为关于y的方程，再把y用x表示，把y的值带进去就可以算出x的值。第13页，此课件共48页哦 例2：证明直线系(k+1)x+(1-k)y+(k-2)=0(k R)恒过定点。分析：就变量x，y而言，k是常量，但变与不变是相对的，把k作为变量，x，y当作常数去解，则原方程可化为
8、(x-y+1)k+(x+y-2)=0第14页，此课件共48页哦（x-y+1）k+(x+y-2)=0由于该式对任意的k都成立，从而有：解得故直线系恒过定点（）.第15页，此课件共48页哦例3：解方程第16页，此课件共48页哦分析：原方程化为：令 ，原方程化为：将 代入得 ，解题思路：将“常数”视为变量。第17页，此课件共48页哦例5：已知求证：第18页，此课件共48页哦第19页，此课件共48页哦第三节第三节 有限与无限有限与无限 潜无限：把无限看成永远在延伸着的(即不断在创造着的永远完成不了的)变程或进程的观点.例如认为自然数列1,2,3,n,是不断延伸的、永远完成不了的，就是潜无限的观点.我国
9、古代“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”也是一种朴素的潜无限思想.实无限：把无限看成可以自我完成的过程(或无穷整体)的观点.例如把自然数全体理解为一个真正的无限集合N=1,2,3,n,就是实无限的观点.返回第20页，此课件共48页哦 在数列极限的几何意义中，认为当nN时，从第N+1项起，以后的一切项a n都落在长度为2的邻域内，这也是实无限的观点。可以说，把微积分建立在极限基础之上，就是运用实无限观点的成果。从有限发展到无限，是认识上的一次重大飞跃。有限与无限之间存在着质的差异，这种差异在高等数学中，首先表现在式的运算方面。返回第21页，此课件共48页哦 又如，有限个连续函数的积是连续的，但无限
10、个连续函数的积却不一定连续；有限个可微分函数的和可微，有限个可积函数的和可积，如果把“有限”改为“无限”，则结论都不成立。在运算法则上，有限满足结合律、交换律与分配律，无限的情况则不能随意运用这些定律，否则将导致谬误的结论。11+11+11+=(11)+(11)+(11)+=0，11+11+11+=1(11)(1 1)=1,对于区间或区域而言，函数在有限区间(或区域)的性质，不能不加限制地推广到无限区间(或区域)上去：连续函数在任何有限闭区间上都可积，但不能断言该函数在无限区间上可积；返回第22页，此课件共48页哦 函数f(x)在()内的任何有限闭区间上一致连续,但f(x)在()内可能不一致连
11、续；函数级数 在有限区间上收敛，但在无限区间上可能不收敛。在数量关系上，一个有限集合与它的真子集之间不能建立一一对应关系,但一个无限集合就可以和它的真子集建立一一对应的关系。比如，N为自然数集,G为正偶数集，则N与G可以一一对应。一个无限区间可以和一个有限区间建立起一一对应关系.如无限区间()与有限区间 可以通过函数关系y=arctgx 建立一一对应。返回第23页，此课件共48页哦 同样，如图ABD与ACD面积不等，但它们中的与AD平行且等长的线段,“条数”是一样多.返回第24页，此课件共48页哦第四节第四节 抽象与具体抽象与具体 一、高度抽象是数学的主要特征一、高度抽象是数学的主要特征 1.
12、数学抽象就是要把对象理想化.数学是在纯粹状态下研究量与量的关系，它所研究的量与量的变化，是在理想条件下表现的纯粹的、独立的、真正的过程.各种数系：如自然数、有理数、实数、复数、超越数等；各种结构：代数结构、几何结构等；各种空间：欧氏空间、拓扑空间等；各种关系：如同构、同态等；各种属性：如连续性、确定性、随机性等.返回第25页，此课件共48页哦数学抽象主要经历了三个发展阶段:第一阶段：产生数的概念,使对象同一起来，撇开个体物的质的无限多样性和创造数的符号，即数字.2.数学的抽象有一系列的发展阶段 第二阶段：从算术过渡到代数，在代数中已经不使用个别的具体数字，而使用字母符号,具体的数字对字母符号而
13、言是特殊的东西.第三阶段：不仅是撇开符号的一切数字内容，而且从根本上撇开数学运算本身的量的内容.从运算角度来看，最初是数目的运算：32+42=52.发展为代数式的运算：a a2 2+b+b2 2 c c2 2 进一步抽象为代数系统的运算：（f+gf+g，f+gf+g）（）（f f，f f）（）（g g，g g）返回第26页，此课件共48页哦3.数学的研究方法几乎完全致力于用逻辑的方法处理抽象的概念和它们的相互关系.4.数学具有自身特有的符号语言来表述自身的内容.数列极限：导数概念：函数的导数 本来这个记号是一个整体记号,分子分母不可分，但有了复合函数微分法则之后，发现这个记法有巨大的优越性：返
14、回第27页，此课件共48页哦 只有引进经过精心设计的符号和改进公理化方法，数学才能不断地发展.中国古代数学的发展从另一个角度证明了这一点.中国古代数学的一个重要特点是用算筹，它支配中国古代数学达两千年之久，算筹的使用曾经促进中国古代数学的发展.然而，从公元前1世纪的九章算术到14世纪朱世杰的四元玉鉴，代数的内容有了很大发展，但在数学语言方面，仍采用算筹而没有任何改进.在九章算术中，由于处理的问题比较简单，不用符号用算筹，运算步骤和方法尚好理解；而在处理比较复杂的问题时，用算筹布列和文字叙述，就难以理解了.返回第28页，此课件共48页哦 朱世杰用“太”表示常数项，居中；用天、地、人、物表示四个未
15、知量，其系数分别放在“太”的下方、左方、右方和上方.上、下、左、右四个方位只能放四个未知量,如果有第五个未知量，就无处安排，要推广到n个就更不可能了.返回第29页，此课件共48页哦 李善兰用“微”的偏旁“彳”表示微分，用积的偏旁“禾”表示积分。彳人=禾第30页，此课件共48页哦二、高度抽象使数学具有广泛应用二、高度抽象使数学具有广泛应用 数学的高度抽象性，使数学概念、量的关系具有广容性的特点，我们能够用同一个数学模型来研究不同对象的问题，也可以把形形色色的同类型的具体问题，用相同或类似的数学方法来处理.比如解方程,19世纪以前,解方程占据着代数学舞台的中心，是代数学家最关心的问题.大约在三千年
16、前，巴比伦人实际上已经知道二次方程的求根公式.至于三次方程的公式解法直到 1500年左右，意大利数学家费罗（Ferro,14651526）才给出三次方程的公式解，但未发表.1545年，卡尔达诺发表了三次方程的公式解法.不久，卡尔达诺的学生费拉里（Ferrari，15221565）给出了四次方程的公式解.返回第31页，此课件共48页哦 在得到二次、三次和四次方程的根式解之后，人们自然要寻求五次或五次以上方程的根式解，但没有成功.1826年，挪威数学家阿贝尔证明，高于四次的一般方程没有根式解.18291832年间，法国数学家伽罗瓦(Galois,18111832)把一个代数方程是否有根式解，归结为
17、该方程的“群”的性质，并利用群的性质彻底解决了几个世纪以来数学家一直未能解决的问题，给出了代数方程可用根式解的判别准则.因此,数学的高度抽象，使它成为解决具体问题的锐利武器.三、数学抽象与具体的辩证关系三、数学抽象与具体的辩证关系 数学抽象与具体的辩证关系表现在数学概念自身的相互关系.比如函数概念，在抽象函数y=f(x)中，函数关系f是抽象的,只有在具体函数中，f才是具体的.返回第32页，此课件共48页哦共同点：都是函数；不同点：左边是抽象的，右边是具体的；左边是被动的，右边是主动的.返回第33页，此课件共48页哦第34页，此课件共48页哦第35页，此课件共48页哦第36页，此课件共48页哦第
18、37页，此课件共48页哦第五节第五节 局部与整体局部与整体 所谓点态性是指对一个关于x的命题P(x)，当讨论p(x)在点x0是否成立时，只考虑点x0或点x0的一个充分小的邻域内的点的性态.一、局部一、局部“点态性点态性”一般可分为三种情形：(1)单纯静点态：直接将x0代人命题p(x)中，只考虑P(x)在点x0的值，而不考虑p(x)在x0附近的其它点上的值.例如，判断函数f(x)在点x0是否有定义,求函数f(x)在点x0的函数值,求方程f(x)=0的实数根等，都是属于单纯静点态问题.返回第38页，此课件共48页哦(2)比较静点态：除了考虑p(x)在点x0的值外，还需考虑p(x)在x0附近的其它点
19、上的值，通过比较，得出p(x)在点x0是否为真.例如，判断函数f(x)在点x0是否有极值.(3)动点态：除了考虑p(x)在点x0的值外，还需考虑在x0的某邻域内p(x)运动变化的情形，从而得出p(x)在点x0是否为真例如，判别函数f(x)在x0是否存在极限，则属于动点态问题.二、整体二、整体“区间性区间性”所谓整体“区间性”是指当讨论一个关于x的命题P(x)是否成立时，必须考虑P(x)在整体区间上的性态.返回第39页，此课件共48页哦定积分的概念：一致连续概念：函数f(x)在某区间(a,b)上一致连续 闭区间上连续函数的性质定理是整体整体性质：有界性定理,最值性定理,它们都是在整个区间上考虑函
20、数的性态，因而属于函数的整体性质.返回第40页，此课件共48页哦三、局部性与整体性的辩证关系三、局部性与整体性的辩证关系 函数的局部性(点态性)与整体性(区间性)并不是孤立的，而是相互联系，相互转化.函数f(x)在区间(a,b)上一致连续是整体性概念,但如果将x1固定，x2为任意点x，则函数f(x)在点x1连续，这就将函数f(x)在区间(a,b)上的整体性质转化为函数f(x)在固定点x1的局部性质.反之，如果将(a,b)改为闭区间a,b，而函数f(x)在a,b上连续，则可以证明函数f(x)在a,b上一致连续,这又将函数的局部性质转化为整体性质.又如，函数f(x)在a,b上的定积分 是一个整体性
21、概念，但如果对任意x a，b，令返回第41页，此课件共48页哦 当f(x)在a,b上连续时，函数 是f(x)在a,b上的原函数,满足 ,而定积分 变成函数F(x)在点b的函数值。这样，将求函数f(x)在a,b上的定积分变成函数F(x)在点b的函数值。这样，将求函数f(x)在a,b上的定积分这一整体性问题,转化成为求函数F(x)在点b的函数值这一局部性问题。另外，局部性与整体性的相互转化是有条件的函数连续转化为一致连续，条件必须是闭区间；定积分能转化成函数F(x)在点b的值，条件是积分 能求出来。返回第42页，此课件共48页哦第六节第六节 偶然性与必然性偶然性与必然性 一、随机事件与必然事件一、
22、随机事件与必然事件 必然现象-事物的变化服从确定的因果关系 基本特点-具有严格的可预言性和可重复性 自然现象：随机现象-事物的变化具有多种的可能性随机 基本特点-具有不可预言性和不可重复性 必然事件-在一定条件下必然发生的事件概率论：不可能事件-在一定条件下必然不会发生的事件 随机事件-在一定条件下可能发生也可能不发生的事件返回第43页，此课件共48页哦 （2010上海文数）上海文数）10.从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取2张，则“抽出的2张均为红桃”的概率为（）（2010湖南文数）湖南文数）11.在区间-1,2上随即取一个数x，则x0,1的概率为（）第44页，此课件共48页哦 17、
23、18世纪牛顿力学的成就使人们认识到，引力既决定天空中行星和慧星的运行，又决定地球上物体的运动。以牛顿力学为基础的严格决定论看来，对自然现象的科学描述，偶然性是不起什么作用的，严格决定论的规律是描述自然现象及其过程的最普遍、最基本的规律。二、蝴蝶效应与偶然性二、蝴蝶效应与偶然性 科学本体论则认为，严格决定论并不是描述自然现象的唯一有效方法，现实世界中的绝大多数事物并不是稳定、有序和必然的，而是无序、变化莫测和偶然的。一个细微的、偶然的事件，常能产生意想不到的结果。英国古代民谣说:钉子缺，蹄铁卸；蹄铁卸,战马蹶；战马蹶，骑士绝；骑士绝，战事折；战事折，国家灭.返回第45页，此课件共48页哦 197
24、9年，美国混沌学专家洛仑兹(Lorenz）在一次国际演讲中说：“一只蝴蝶在巴西煽动翅膀会在得克萨斯引起龙卷风吗？”他的回答是肯定的。洛仑兹作为气象学家，他在计算机上模拟天气.然而，为了省事，没有让整个计算从头开始，而是把上一次的输出结果作为初值，直接输入计算机。一小时后，当洛仑兹看到输出结果时，发现天气变化同上一次的模拟有很大的偏离，相似性完全消失，变得面目全非。返回第46页，此课件共48页哦 他很快意识到，问题出在输入进去的那些数字上,在计算机的存储中，每个数保持6位十进制的值，例如0.506127输入时，为了节省空间，只打印三位数0.506。洛仑兹把这样经过四舍五入的较短数字作为输入的初值
25、，他认为这样做只有千分之一的误差,对结果不会产生什么影响。小小的数值误差相当于一阵小小的风，会自行地消失或相互抵消，不致引起天气的重大变化。然而，完全出乎人们的预料，这小小的误差竟产生了灾难性的后果,这就是所谓的蝴蝶效应。蝴蝶效应表明，“非本质”的偶然性在变化中所起的作用。蝴蝶煽动翅膀，这是偶然的，但蝴蝶效应的产生却是必然的。对于地球上如此变幻莫测的天气变化，没有“蝴蝶效应”是根本无法想象的。返回第47页，此课件共48页哦三、三、“偶然性偶然性”研究的现代理论研究的现代理论-混沌学混沌学“混沌”概念古已有之。庄子在应帝王中说：南海之帝为倏（shu），北海之帝为忽，中央之帝为混沌.倏：形容“极快”忽：计量单位 1忽=0.01毫米，形容“细微”混饨：指一种原始的、混乱无章的、变幻莫测的自然状态 现代混沌理论中的混沌与古代哲学家说的混沌是不同的，它已成为具有严格定义的、可用数学工具精确刻画的科学概念.返回第48页，此课件共48页哦