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1、关于函数奇偶性公开关于函数奇偶性公开课课第一张，PPT共五十一页，创作于2022年6月教学目标教学目标奇函数的概念；奇函数的概念；偶函数的概念；偶函数的概念；函数奇偶性的判断；函数奇偶性的判断；【重点重点】函数奇偶性的概念函数奇偶性的概念【难点难点】函数奇偶性的判断函数奇偶性的判断【教法教法】自学辅导法、讨论法、讲授法自学辅导法、讨论法、讲授法【学法学法】归纳归纳讨论讨论练习练习【教学手段教学手段】多媒体电脑与投影仪多媒体电脑与投影仪第二张，PPT共五十一页，创作于2022年6月 两个分别关于两个分别关于X轴、轴、y轴或原点轴或原点o对称的点，对称的点，其坐标各具有什么特征呢？其坐标各具有什么
2、特征呢？温故知新温故知新第三张，PPT共五十一页，创作于2022年6月第四张，PPT共五十一页，创作于2022年6月xyoxyo 观察下列两个函数图象并思考以下问题：观察下列两个函数图象并思考以下问题：（1）这两个函数图象有什么共同特征吗？）这两个函数图象有什么共同特征吗？（2）当自变量当自变量x x取一对相反数时取一对相反数时,相应的两个函数值如何相应的两个函数值如何?x-3-2-1 0 1 2 3 x-3-2 -1 0 1 2 3 第五张，PPT共五十一页，创作于2022年6月我们得到我们得到:1 这两个函数图象都关于这两个函数图象都关于y轴对称轴对称.2 从函数值对应表可以看到从函数值对
3、应表可以看到:当自变量当自变量x取一对相反数时取一对相反数时,相应的两个函数值相同相应的两个函数值相同.即点即点(x,f(x)在图象上在图象上,相应的点相应的点(-x,f(x)也在函数图象上。也在函数图象上。能否利用函数解析式来描述函数图象的特征呢？能否利用函数解析式来描述函数图象的特征呢？第六张，PPT共五十一页，创作于2022年6月Y=x2-xx当x1=1,x2=-1时，f(-1)=f(1)当x1=2,x2=-2时，f(-2)=f(2)对任意x，f(-x)=f(x)第七张，PPT共五十一页，创作于2022年6月偶函数的偶函数的图象图象关于关于Y轴对称轴对称.函数函数y=x2的图像的图像 偶
4、函数的图像特征偶函数的图像特征第八张，PPT共五十一页，创作于2022年6月偶函数的特征偶函数的特征:解析式的基本特征：解析式的基本特征：f(-x)=f(x)图像特征图像特征:关于关于y轴对称轴对称.设函数的定义域为数集设函数的定义域为数集D D，如果对于，如果对于任意的任意的都都有有 且且 f(-x)=)=f(x),),那那么么函函数数f(x)就就叫叫做做偶偶函函数数.1.1.偶函数的概念偶函数的概念概概 念念 形形 成成第九张，PPT共五十一页，创作于2022年6月再观察下列函数的图象，它们又有什么样的特点规律呢？yxOx0-x0 x-3-2-1 0 1 2 3 x-3-2 -1 1 2
5、3 第十张，PPT共五十一页，创作于2022年6月例如：对于函数例如：对于函数f(x)=xf(x)=x3 3-xx概概 念念 形形 成成(X,f(x)(-X,-f(x)返回第十一张，PPT共五十一页，创作于2022年6月奇函数的图像特征函数函数y=x3的图像的图像O奇函数的奇函数的图象图象关于关于原点对称原点对称.第十二张，PPT共五十一页，创作于2022年6月奇函数的特征奇函数的特征:解析式的基本特征解析式的基本特征：f(-x)=-f(x)图像特征图像特征:关于原点对称关于原点对称.2.2.奇函数的概念奇函数的概念概概 念念 形形 成成 设函数的定义域为数集设函数的定义域为数集D D，如果对
6、于，如果对于任意的任意的都都有有 且且f(-x)=-)=-f(x),),那那么么函函数数f(x)就就叫叫做做奇奇函函数数.第十三张，PPT共五十一页，创作于2022年6月下列函数是偶函数吗下列函数是偶函数吗?xy1xy1xy1-1。第十四张，PPT共五十一页，创作于2022年6月(1)定义域关于原点对称定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的先决条件。a,b-b,-axo对于奇、偶函数定义的几点说明:(2)(2)如果一个函数如果一个函数f f(x x)是奇函数或偶函数，是奇函数或偶函数，那么我们就说函数那么我们就说函数f f(x x)具有奇偶性具有奇偶性.(3)(3)函数的奇偶性是函数的整体性质函
7、数的奇偶性是函数的整体性质.第十五张，PPT共五十一页，创作于2022年6月一个函数一个函数f f(x x)是是偶偶函数的充要条件是函数的充要条件是,它的图象它的图象 是以是以y y轴为对称轴的轴为对称轴的轴轴对称图形对称图形;奇、偶函数的性质奇、偶函数的性质:一个函数一个函数f f(x x)是是奇奇函数充要条件是函数充要条件是,它的图象它的图象 是以坐标原点为对称中心的是以坐标原点为对称中心的中心中心对称图形对称图形.第十六张，PPT共五十一页，创作于2022年6月（1）图像法（2）定义法第十七张，PPT共五十一页，创作于2022年6月例例1.根据下列函数图象根据下列函数图象,判断函数奇偶性
8、判断函数奇偶性.yxyxyx-12yx-11偶奇非奇非偶奇第十八张，PPT共五十一页，创作于2022年6月课本例课本例4第十九张，PPT共五十一页，创作于2022年6月用定义法判断函数奇偶性解题步骤用定义法判断函数奇偶性解题步骤:(1)(1)先确定函数定义域先确定函数定义域,并判断并判断定义域是否关于原点对称定义域是否关于原点对称;(2)(2)求求f(-x)f(-x)，找，找 f(x)f(x)与与f(-x)f(-x)的关系的关系;若若f(-x)=f(x),f(-x)=f(x),则则f(x)f(x)是偶函数是偶函数;若若f(-x)=-f(x),f(-x)=-f(x),则则f(x)f(x)是奇函数
9、是奇函数.(3)3)作出结论作出结论.f(x)f(x)是偶函数或奇函数或非奇非偶函是偶函数或奇函数或非奇非偶函数或即是奇函数又是偶函数。数或即是奇函数又是偶函数。给出函数给出函数判断定义域判断定义域是否对称是否对称结论结论是是f(-x)f(-x)与与f(x)f(x)否否第二十张，PPT共五十一页，创作于2022年6月练习练习.判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性(1)f(x)=x3+2x；(2)f(x)=2x4+3x2；解解:f(-x)=(-x)3+2(-x)=-x3-2x=-(x3+2x)=-f(x)f(x)为奇函数为奇函数 f(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x4+3x2f(x)
10、为偶函数为偶函数函数定义域为函数定义域为R解解:函数定义域为函数定义域为R=f(x)第二十一张，PPT共五十一页，创作于2022年6月1奇偶性定义奇偶性定义:对于函数对于函数f(x),在它的定义域内，在它的定义域内，若有若有f(-x)=-f(x),则则f(x)叫做奇函数；叫做奇函数；若有若有f(-x)=f(x),则则f(x)叫做偶函数。叫做偶函数。2图象性质图象性质:奇函数的图象关于原点对称奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于偶函数的图象关于y轴对称轴对称.3判断奇偶性方法：判断奇偶性方法：图象法，定义法。图象法，定义法。4定义域关于原点对称定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提是函数
11、具有奇偶性的前提第二十二张，PPT共五十一页，创作于2022年6月第二十三张，PPT共五十一页，创作于2022年6月必做题必做题:课本课本P P5858 2(1)2(1)、（）、（）选做题：练习册组选做题：练习册组(10)、（、（14）作业作业第二十四张，PPT共五十一页，创作于2022年6月 检测题检测题一、填空：1、如果对于函数如果对于函数f f(x x)的定义域内任意一个的定义域内任意一个x x,都有都有那么函数那么函数f f(x x)就叫做就叫做偶函数偶函数.2、奇函数的图象关于奇函数的图象关于对称。对称。二、判断：二、判断：1、偶函数的图形不一定关于、偶函数的图形不一定关于y轴对称。
12、（轴对称。（）2、y=x 是奇函数。是奇函数。（）三、判断下列函数的奇偶性三、判断下列函数的奇偶性第二十五张，PPT共五十一页，创作于2022年6月第二十六张，PPT共五十一页，创作于2022年6月2.奇偶函数图象的性质奇偶函数图象的性质:(2)偶函数的图象关于偶函数的图象关于y轴对称轴对称.反过来反过来,如果一个如果一个函数的图象关于函数的图象关于y轴对称轴对称,那么这个函数为偶函数那么这个函数为偶函数.奇偶函数图象的性质可用于：奇偶函数图象的性质可用于：判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性.简化函数图象的画法简化函数图象的画法,(1)奇函数的图象关于原点对称奇函数的图象关于原点对称.反过来反过
13、来,如果一个如果一个函数的图象关于原点对称函数的图象关于原点对称,那么这个函数为奇函数那么这个函数为奇函数.第二十七张，PPT共五十一页，创作于2022年6月(6)f(x)=x+1解解:函数函数f(x)的定义域为定义域为R f(-x)=f(x)=0，又又 f(-x)=-f(x)=0，f(x)为既奇又偶函数为既奇又偶函数(5)f(x)=0 (x R)根据奇偶性根据奇偶性,函数可划分为四类函数可划分为四类:奇函数;偶函数;既奇又偶函数;非奇非偶函数.解解:函数定义域为函数定义域为R f(-x)=-x+1，-f(x)=-x-1,f(-x)f(x),且且f(-x)f(x).f(x)为非奇非偶函数为非奇
14、非偶函数.第二十八张，PPT共五十一页，创作于2022年6月判定函数的奇偶性的步骤：判定函数的奇偶性的步骤：(1)(1)先求函数的定义域；先求函数的定义域；若定义域不是关于原点对称的区间，则函数为非奇若定义域不是关于原点对称的区间，则函数为非奇非偶函数非偶函数.若定义域是关于原点对称的区间若定义域是关于原点对称的区间,进入第二步进入第二步;(2)计算计算f(x)化向化向 f(x)的解析式；的解析式；若等于若等于 f(x),则函数是偶函数则函数是偶函数,若等于若等于f(x),则函数是奇函数则函数是奇函数,若不等于若不等于 ,则函数是非奇非偶函数则函数是非奇非偶函数(3)(3)结论结论.有时判定有
15、时判定f(-x)=f(x)比较困难比较困难,可考虑判定可考虑判定f(-x)f(x)=0或判定或判定f(x)/f(-x)=1.第二十九张，PPT共五十一页，创作于2022年6月(4)f(x)=|x+1|-|x-1|f(x)既是偶函数既是偶函数,又是奇函数又是奇函数.解解:函数的定义域为函数的定义域为-1,1,第三十张，PPT共五十一页，创作于2022年6月1.1.两个定义两个定义:对于对于f(x)定义域内的任意一个定义域内的任意一个x,如果都有如果都有f(-x)=-=-f(x)f(x)为奇函数为奇函数.如果都有如果都有f(-x)=f(x)f(x)为偶函数为偶函数.一个函数为奇函数一个函数为奇函数
16、它的图象关于原点对称它的图象关于原点对称.一个函数为偶函数一个函数为偶函数它的图象关于它的图象关于y 轴对称轴对称.2.2.两个性质两个性质:3.3.判断函数奇偶性的步骤判断函数奇偶性的步骤 考查函数定义域是否关于原点对称；考查函数定义域是否关于原点对称；判断判断f(-x)f(x)之一是否成立；之一是否成立；作出结论作出结论.第三十一张，PPT共五十一页，创作于2022年6月例例3.3.已知已知f(x)f(x)是奇函数是奇函数,当当x0 x0时时,f(x)=x,f(x)=x2 22x,2x,求当求当 x x0 0时时,f(x),f(x)的解析式的解析式,并画出此函数并画出此函数f(x)f(x)
17、的图的图象象.xyo解解:f(x):f(x)是奇函数是奇函数,f(-x)=f(-x)=f(x).f(x).当当x0时时,f(x)=x22x,当当x x0 0时时,-x0,-x0,f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x,即-f(x)=(x2+2x),f(x)=-x2-2x.第三十二张，PPT共五十一页，创作于2022年6月偶函数定义：如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x）=f(x)。那么f(x)就叫偶函数。第三十三张，PPT共五十一页，创作于2022年6月奇函数定义：如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x）=-f(x)那么f(x)就叫奇函数。思考思考:偶函数与奇函数图象
18、有什么特征呢?第三十四张，PPT共五十一页，创作于2022年6月判断函数奇偶性步骤判断函数奇偶性步骤:(1)先确定函数定义域先确定函数定义域,并判断并判断定义域是否关于原点对称定义域是否关于原点对称;(2)确定确定f(x)与与f(-x)的关系的关系;(3)作出结论作出结论.若若f(-x)=f(x)或或f(-x)-f(x)=0,则则f(x)是偶函数是偶函数;若若f(-x)=-f(x)或或f(-x)+f(x)=0,则则f(x)是奇函数是奇函数.第三十五张，PPT共五十一页，创作于2022年6月思考1：函数f(x)=2x+1是奇函数吗？是偶函数吗？xy012f(x)=2x+1-1分析：函数的定义域为
19、R 但是f(-x)=2(-x)+1 =-2x+1 f(-x)-f(x)且f(-x)f(x)f(x)既不是奇函数也不是偶函数。（也称为非奇非偶函数）如右图所示：图像既不关于原点对称也不关于y轴对称。思思考：考：思考2：完成课本页的练习第三十六张，PPT共五十一页，创作于2022年6月小结：奇偶性定义奇偶性定义:对于函数对于函数f(x),在它的定义域内，把任意在它的定义域内，把任意一个一个x换成换成-x，(x,-x均在定义域内）均在定义域内）若有若有f(-x)=-f(x),则则f(x)叫做奇函数；叫做奇函数；若有若有f(-x)=f(x),则则f(x)叫做偶函数。叫做偶函数。定义域关于原点对称是函数
20、具有奇偶性的必定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必 要条件。要条件。性质性质:奇函数的图象关于原点对称奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于偶函数的图象关于y轴对称轴对称.判断奇偶性方法：图象法，定义法。判断奇偶性方法：图象法，定义法。第三十七张，PPT共五十一页，创作于2022年6月yx-11-11-xx第三十八张，PPT共五十一页，创作于2022年6月引 例1.已知函数已知函数f(x)=x2,求求f(-2),f(2),f(-1),f(1),及及f(-x),并画并画出它的图象出它的图象解解:f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4f(-2)=f(2)f(-1)=(-1)2=1 f(1)
21、=1f(-1)=f(1)f(-x)=(-x)2=x2f(-x)=f(x)思考思考:(1)这两个函数图象有什么共同特征吗？这两个函数图象有什么共同特征吗？(2)从解析式上如何体现上述特征？从解析式上如何体现上述特征？第三十九张，PPT共五十一页，创作于2022年6月第四十张，PPT共五十一页，创作于2022年6月2.已知已知f(x)=x3,画出它的图象画出它的图象,并求出并求出f(-2),f(2),f(-1),f(1)及及f(-x)解解:f(-2)=(-2)3=-8,f(2)=8f(-2)=-f(2)f(-1)=(-1)3=-1,f(1)=1 f(-1)=-f(1)f(-x)=(-x)3=-x3
22、 f(-x)=-f(x)思考思考:通过练习通过练习,你发现了什么规律你发现了什么规律?(-x,-y)(x,y)第四十一张，PPT共五十一页，创作于2022年6月注意：注意：(1)(1)函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性性,函数的奇偶性是函数的整体性质函数的奇偶性是函数的整体性质;而而函数的单函数的单调性是函数的局部性质调性是函数的局部性质.(2)(2)由由函函数数的的奇奇偶偶性性定定义义可可知知，函函数数具具有有奇奇偶偶性性的的一一个个必必要要条条件件是是，对对于于定定义义域域内内的的任任意意一一个个x，则则-x也也一一定定是是定定义义域域内内的的一一个
23、个自自变变量量(即即定定义义域域关于原点对称关于原点对称)第四十二张，PPT共五十一页，创作于2022年6月例例2.判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性:解:(1)对于函数 ，其定义域为 ，因为对定义域内的每一个x,都有所以函数 为奇函数。（1）（2）先确定定义域先确定定义域,再验证再验证f(x)f(x)与与f f(-x)(-x)之间的关系之间的关系.(3)第四十三张，PPT共五十一页，创作于2022年6月（5）（4）定义域关于原 点对称是函数具有奇偶性的必要条件。定义域不关于原点对称，所以f(x)为非奇非偶函数。解：（4）（5 5）,故函数f(x)为既是奇函数也是偶函数。第四十四张，PP
24、T共五十一页，创作于2022年6月例例3.判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性 定义域对称的非零常数函数仅是偶函数定义域对称的非零常数函数仅是偶函数,而而零函数既是奇函数又是偶函数零函数既是奇函数又是偶函数.第四十五张，PPT共五十一页，创作于2022年6月Y=x2-xx当x1=1,x2=-1时，f(-1)=f(1)当x1=2,x2=-2时，f(-2)=f(2)对任意x，f(-x)=f(x)f(-x)=f(x)注注:当自变量当自变量x x取一对相反数时取一对相反数时,相应的两个函数值相同相应的两个函数值相同.即点即点(x,f(x)(x,f(x)在图象上在图象上,相应的点相应的点(-x,f(
25、x)(-x,f(x)也在函数图象上也在函数图象上(x,f(x)(-x,f(x)返回第四十六张，PPT共五十一页，创作于2022年6月例如：对于函数例如：对于函数f(x)=xf(x)=x3 3有有 f(-1)=(-1)3=-1 f(1)=1f(-2)=(-2)3=-8 f(2)=8 f(-x)=(-x)3=-x3f(-1)=-f(1)f(-2)=-f(2)f(-x)=-f(x)-xx概概 念念 形形 成成注注:当自变量当自变量x取一对相反数时取一对相反数时,相应的两个函数值相反相应的两个函数值相反,即点即点(x,f(x)在图象上在图象上,相应的点相应的点(-x,-f(x)也在函数图象上也在函数图
26、象上(X,f(x)(-X,-f(x)返回第四十七张，PPT共五十一页，创作于2022年6月例2.判断下列函数的奇偶性：定义法定义法第四十八张，PPT共五十一页，创作于2022年6月解解:函数定义域为函数定义域为Rf(x)为奇函数为奇函数解解:函数函数定义域为定义域为 0,+)定义域不关于原点对称，定义域不关于原点对称，f(x)为非奇非偶函数为非奇非偶函数-230 xy第四十九张，PPT共五十一页，创作于2022年6月奇函数偶函数既奇又偶函数非奇非偶函数 根据奇偶性,函数可划分为四类:第五十张，PPT共五十一页，创作于2022年6月感谢大家观看4/6/2023第五十一张，PPT共五十一页，创作于2022年6月