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1、1/21特征方程2.当当时,特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解设另一特解(u(x)待定)常数变易法:情形2代入方程得:是特征方程的重根取 u=x,则得因此原方程的通解为第1页/共20页2/21特征方程3.当当时,特征方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解:利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解:因此原方程的通解为第2页/共20页3/21小结小结:特征方程:实根 特 征 根通 解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.第3页/共20页4/21若特征方程含 k 重复根若特征方程含 k 重实根 r,则其通解中必含对应项则其通解中必含对应项特征方程:推广推广:第4页/共20页5/21例例1
2、.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程的通解为例2.求解初值问题解:特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为第5页/共20页6/21例例3.解:质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,在无外力作用下做自由运动,初始求物体的运动规律 立坐标系如图,设 t=0 时物体的位置为取其平衡位置为原点建 因此定解问题为由第六节例1(P323)知,位移满足第6页/共20页7/21方程:特征方程:特征根:利用初始条件得:故所求特解:方程通解:1)无阻尼自由振动情况无阻尼自由振动情况 (n=0)第7页/共20页8/21解的特征解的特征:简谐振动 A:振幅,:初相,周期:固有频率(
3、仅由系统特性确定)第8页/共20页9/21方程:特征方程:特征根:小阻尼:n k临界阻尼:n=k 解的特征解的特征解的特征第9页/共20页13/21第13页/共20页14/21例例4.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程通解为例5.解:特征方程:特征根:原方程通解:(不难看出,原方程有特解第14页/共20页15/21例例6.解:特征方程:即其根为方程通解:第15页/共20页16/21例例7.解:特征方程:特征根为则方程通解:第16页/共20页17/21内容小结内容小结特征根:(1)当时,通解为(2)当时,通解为(3)当时,通解为可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解.第17页/共20页18/21思考与练习思考与练习 求方程的通解.答案:通解为通解为通解为作业 P340 1(3),(6),(10);2(2),(3),(6);3第八节 第18页/共20页19/21备用题备用题为特解的 4 阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解.解:根据给定的特解知特征方程有根:因此特征方程为即故所求方程为其通解为第19页/共20页20/21感谢您的欣赏！第20页/共20页