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1、关于运筹学对偶单纯形法现在学习的是第1页，共14页方法：设原问题 max z=CX AX=b X 0 设B是一个基，令B=(P1,P2,Pm)，它对应的变量为 XB=(x1,x2,xm)当非基变量都为零时，可以得到XB=B-1b。若在B-1b中至少有一个负分量，设(B-1b)i 0,并且在单纯形表的检验数行中的检验数都为非正，即对偶问题保持可行解，它的各分量是 1、对应基变量x1，x2，xm的检验数是 i=ci zi=ci-CB B-1Pi =0，i=1,2,m 2、对应非基变量xm+1，xn的检验数是 j=cj zj=cj-CB B-1Pj 0，j=m+1,n现在学习的是第2页，共14页每次
2、迭代时，将基变量中的负分量每次迭代时，将基变量中的负分量xl取出（换出变量）取出（换出变量）,去替换非基变去替换非基变量中的量中的xk，要求在所有检验数仍保持非正（对偶问题可行性）的前提，要求在所有检验数仍保持非正（对偶问题可行性）的前提下，进行基变换。下，进行基变换。从原问题来看，经过每次迭代,原问题由非可行解往可行解更靠近，当原问题得到可行解时，便得到了最优解（原问题、对偶问题）。注意注意：1.对偶单纯形法不是解对偶问题的单纯形法，而是应用对偶原理求解原问题最优解的一种方法。当然，当求解得到原问题的最优解的同时，也就得到对偶问题的最优解。2.在具体计算中，不另外构造单纯形表格，而是在原始问
3、题的单纯形表格基础上进行对偶处理。现在学习的是第3页，共14页对偶单纯形法的计算步骤:(1)根据线性规划问题，列出初始单纯形表，检查b列的数值，若都为非负，并且检验数都为非正，则已得到最优解。停止计算；若b 列的数值至少还有一个负分量，检验数保持非正，那么进行计算。(3)(3)确定换入变量：检查xl所在行的各系数alj(j=1,2,n)。若所有的 alj0,则无可行解，停止计算。(2)先确定换出变量：若 min(B-1b)i|(B-1b)i 0=(B-1b)l对应的基变量xl为换出变量。（实际上，可取任何一个取负值的基变量作为换出变量。取最小的含义是尽快）现在学习的是第4页，共14页若存在al
4、j 0,(j=1,2,n)，计算按规则所对应的非基变量xk为换入变量(保持对偶问题解的可行性)。(4)以alk为主元素，进行迭代，即进行矩阵行变换。得新的单纯形表。重复（1）-（4）步，直到求出最优解为止。为什么要用下式来确定换入变量呢？原因如下：现在学习的是第5页，共14页现在学习的是第6页，共14页第l行变成：行变换将Pk变成单位向量，因为bl0，一定要求bl/alk0,要选主元素alk0。检验数变成（行变换）要保证可行性，就要有jnew 0，j=1,n),1,0,0,1,.0,0,(ln1lklklmlklklaaaaaabLLLL+),0,0,0,0,0(ln11klknklklmml
5、kkaaaaasssss-+LLLL现在学习的是第7页，共14页令T=j|alj0 当jT时，alj 0，从而jnew=j-al j/a al kk 0，满足可行性。当jT时，jnew=j-al j/a al kk=a al jj/a al j-k/a al k 由于j，k，a al k，a al j均小于0，从而上述括号内的比值均大于0。又由于alj0，为保证jnew 0，（jT）故只要选取就能有方括号内大于等于0，从而jnew 0。现在学习的是第8页，共14页 解:先将这问题转化（此时b可以是负的）,以便得到对偶问题的初始可行基 max z=-2x1-3x2-4x3 -x1-2x2-x3+
6、x4=-3 -2x1+x2-3x3+x5=-4 xj 0,j=1,2,3,4,5 建立这个问题的初始单纯形表例：用对偶单纯形法求解：min=2x1+3x2+4x3 x1+2x2+x3 3 2x1-x2+3x3 4 x1,x2,x3 0 现在学习的是第9页，共14页现在学习的是第10页，共14页现在学习的是第11页，共14页则 X*=（11/5，2/5，0，0，0）T为原问题的最优解。同时 Y*=（y1*，y2*）=（8/5，1/5）现在学习的是第12页，共14页对偶单纯形法特点:(1)简化计算：不引入人工变量将线性规划化成标准型,构造初始单纯形表(初始解是非可行解),只要检验数非负(最优检验数),就可以进行基的转换；(2)适于变量多于约束条件：当变量少于约束方程的个数时，可考虑变成对偶问题后，再用对偶单纯形法；(3)局限性：多数问题很难找到检验数为负(最优检验数)的初始可行解。但可用于灵敏度分析中简化计算。?现在学习的是第13页，共14页感感谢谢大大家家观观看看现在学习的是第14页，共14页