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1、例6.1 求微分方程 的通解.解：对所给方程两端依次积分三次，可得 其中C1,C2,C3为任意常数.第1页/共18页例6.2 求微分方程 满足下列初值条件的解.解：将所给方程积分一次，可得 其中C1为任意常数.由 得C1=0,从而再积分一次，得 其中C2为任意常数.由 得C2=0,于是所求特解为第2页/共18页例例.解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共18页型的微分方程 设原方程化为一阶方程设其通解为则得再一次积分,得原方程的通解二、二、机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共18页例6.3 求方程 满足下列初值条件的解.解：令 带入所给方程得用分离变量法解得其中C1为任意
2、常数.由 得C1=3,从而其中C2为任意常数.由 得C2=1,故所求特解为第5页/共18页例6.4 鱼雷攻击问题.某敌舰在某海域内沿正北方向航行时，我方战舰位于敌舰的正西方向1海里处，我舰发现敌舰后立刻发射鱼雷.敌舰以常速度v逃逸，鱼雷始终指向敌舰，追击速度为敌舰速度的2倍.问敌舰逃出多远时将被击毁？解：以我舰的初始位置为坐标原点(0,0),敌舰的初始位置 为点A(1,0)，建立直角坐标系，如图,设鱼雷的轨迹方程为y=y(x)，则其满足初始条件 在时刻t鱼雷的位置是P(x,y)，敌舰的位置是Q(1,vt).依题意，点Q应位于轨迹y(x)过点P的切线上.该切线的方程为 而鱼雷在t时刻已走过的距离
3、为 第6页/共18页上述两个方程联立消去vt得 两端关于x求导得 这是鱼雷运动轨迹所满足的微分方程.此方程不显含y,令 代入上述方程得分离变量后积分并利用初始条件 有 上述两式相减并将p=y代入，得到 第7页/共18页两端积分，并利用初始条件 有 这就是鱼雷追击敌舰的运动轨迹方程.因当鱼雷击中敌舰时，其横坐标x=1,代入上述方程得纵坐标y=2/3,即敌舰逃至距离点A(1,0)正北2/3海里处时将被鱼雷击毁.第8页/共18页例例.求解求解解:代入方程得分离变量积分得利用于是有两端再积分得利用因此所求特解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共18页对于型方程(n2)，可以令得如果能求出其
4、通解逐次积分n-1次，就可得到原方程的通解其中C1,C2.,Cn为任意常数.第10页/共18页三、三、型的微分方程 令故方程化为设其通解为即得分离变量后积分,得原方程的通解机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共18页例例6.5 求求解解代入方程得两端积分得(一阶线性齐次方程)故所求通解为解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共18页例例6.6 绳索仅受重力作用而下垂,解:取坐标系如图.考察最低点 A 到(:密度,s:弧长)弧段重力大小按静力平衡条件,有故有设有一均匀,柔软的绳索,两端固定,问该绳索的平衡状态是怎样的曲线?任意点M(x,y)弧段的受力情况:A 点受水平张力
5、HM 点受切向张力T两式相除得机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共18页则得定解问题:原方程化为两端积分得则有两端积分得故所求绳索的形状为悬 链 线机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共18页例6.7 求 的通解.解：此方程无法解出 可引入参数t，令则其中C1,C2为任意常数.两端再积分可得参数形式的解为第15页/共18页例例.解初值问解初值问题题解:令代入方程得积分得利用初始条件,根据积分得故所求特解为得机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共18页(A)1(1),(4),(8);2(3);作业作业 习题习题7.6第七节 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共18页感谢您的欣赏！第18页/共18页